广西南宁2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷（WORD解析版）

这是一份广西南宁2020-2021学年七年级下学期期末数学试卷（WORD解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列各数中，无理数是（ ）
A．B．C．0.5D．﹣
2．下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．调查某种品牌笔芯的使用寿命
B．旅客上飞机前的安检
C．了解某城市空气质量情况
D．调查春节晚会小品类节目的收视率
3．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路MN旁有一村庄P，现要建一个汽车站，且有A，B，C，D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在（ ）
A．点A处B．点B处C．点C处D．点D处
4．下列计算正确的是（ ）
A．＝±3B．＝﹣2C．＝﹣3D．±＝5
5．已知实数a，b满足a＞b，那么下列结论错误的是（ ）
A．a+1＞b+1B．a﹣1＞b﹣1C．﹣2a＞﹣2bD．2a＞2b
6．已知点P（x，y）在第四象限，且点P到x轴，y轴的距离分别为2，5．则点P的坐标为（ ）
A．（5，﹣2）B．（﹣2，5）C．（2，﹣5）D．（﹣5，2）
7．下列各组图形中，表示AD是△ABC中BC边的高的图形为（ ）
A．B．
C．D．
8．下列四个命题：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④在△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC为直角三角形，其中，真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．若等腰三角形的两条边的长分别为3cm和7cm，则它的周长是（ ）
A．10cmB．13cmC．17cmD．13cm或17cm
10．如图，一块直角三角板EOF与一把直尺ABCD放置在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数
为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．65°
11．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其曾记载：今有七雀、四燕，集称之衡，雀惧重，燕惧轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀两斤半．问燕、雀一枚各重几何？译文：今有7只雀和4只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．7只雀、4只燕总重量为40两（1斤＝16两）．问雀、燕每只各重多少两？（每只雀的重量相同、每只燕的重量相同）设每只雀重x两，每只燕重y两，则可列二元一次方程组为（ ）
A．B．
C．D．
12．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图①，△MBC中，M是BC上一点，则有，如图②，△ABC中，M是BC上一点，且BM＝BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是1，则△ADN的面积是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若xa﹣1+y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝ ．
14．比较大小：4 （用“＞”、“＜”或“＝”填空）．
15．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 ．
16．若方程组的解也是方程x+ky＝0的解，则k＝ ．
17．阅读理解：我们把“称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果＞0，则x的取值范围为 ．
18．在平面直角坐标系中，点P位于原点，第1秒钟向右移动1个单位，第2秒钟向上移动2个单位，第3秒钟向左移动3个单位，第4秒钟向下移动4个单位，第5秒钟向右移动5个单位，…依此类推，经过2021秒钟后，点P的坐标是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：﹣12+﹣（﹣2）×．
20．（6分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
21．（8分）如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3）B（﹣5，1），C（﹣2，0），将△ABC先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后得到△A1B1C1．
（1）在图中画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）连接BA1，若点Q在y轴上，且△QBA1的面积为6，请直接写出点Q的坐标．
22．（8分）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：AD∥BE；
（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数．
23．（8分）某学校开展居家体育训练，倡导学生在家开展体育锻炼．返校后，校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每天开展体育锻炼所用时长”进行了调查，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：
根据上述信息，回答下列问题：
（1）在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为 ；
（2）m＝ ，n＝ ；
（3）补全频数分布直方图；
（4）如果该校共有学生2000人，请你估计“平均每天开展体育锻炼的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？
24．（8分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 ．
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+3d的平方根．
25．（10分）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某校准备在某超市为书法课购买一批毛笔和宣纸，已知40支毛笔和100张宣纸需要236元，30支毛笔和200张宣纸需要222元．
（1）求毛笔和宣纸的单价；
（2）该校准备购买毛笔50支，宣纸a张（a＞50），该超市给出以下两种优惠方案：
方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
方案B：购买的宣纸超出200张的部分打七五折，毛笔不打折．
若该校准备购买的宣纸超过200张，则选择哪种方案更划算？请说明理由．
26．（12分）如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．下列各数中，无理数是（ ）
A．B．C．0.5D．﹣
【分析】根据无理数定义，无限不循环小数叫做无理数，逐项进行判定即可得出答案．
【解答】解：A．因为是无限不循环小数，所以是无理数，故A选项符合题意；
B．因为是分数，所以是有理数，故B选项不符合题意；
C．因为0.5是有限小数，所以0.5是有理数，故C选项不不符合题意；
D．因为＝﹣2，所以﹣是负整数，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题主要考查了无理数，熟练掌握无理数的定义进行判定是解决本题的关键．
2．下列调查中，最适合采用全面调查的是（ ）
A．调查某种品牌笔芯的使用寿命
B．旅客上飞机前的安检
C．了解某城市空气质量情况
D．调查春节晚会小品类节目的收视率
【分析】根据全面调查与抽样调查的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．
【解答】解：A．调查某种品牌笔芯的使用寿命，可采取抽样调查，因此选项A不符合题意；
B．旅客上飞机前的安检，可采用全面调查，因此选项B符合题意；
C．了解某城市空气质量情况，可采取抽样调查，因此选项C不符合题意；
D．调查春节晚会小品类节目的收视率，可采取抽样调查，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查全面调查与抽样调查，理解全面调查与抽样调查的意义和适用的具体问题情境是正确判断的关键．
3．如图，某地进行城市规划，在一条新修公路MN旁有一村庄P，现要建一个汽车站，且有A，B，C，D四个地点可供选择．若要使汽车站离村庄最近，则汽车站应建在（ ）
A．点A处B．点B处C．点C处D．点D处
【分析】根据垂线段最短得出即可．
【解答】解：建在点C处，根据垂线段最短，
故选：C．
【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短的知识点是解此题的关键．
4．下列计算正确的是（ ）
A．＝±3B．＝﹣2C．＝﹣3D．±＝5
【分析】根据算术平方根，立方根、平方根逐项进行判断即可．
【解答】解：A.＝3，因此选项A不符合题意；
B．因为（﹣2）3＝﹣8，所以＝﹣2，因此选项B符合题意；
C.＝|﹣3|＝3，因此选项C不符合题意；
D．±＝±5，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查平方根，算术平方根，立方根，理解平方根、立方根的意义是正确判断的前提．
5．已知实数a，b满足a＞b，那么下列结论错误的是（ ）
A．a+1＞b+1B．a﹣1＞b﹣1C．﹣2a＞﹣2bD．2a＞2b
【分析】根据不等式的性质判断即可．
【解答】解：A、不等式a＞b两边都加1，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意；
B、不等式a＞b两边都减1，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意；
C、不等式a＞b两边都乘﹣2，不等号的方向改变，原变形错误，故此选项符合题意；
D、不等式a＞b两边都乘2，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，注意不等式的两边都乘或除以一个负数，不等号的方向改变．
6．已知点P（x，y）在第四象限，且点P到x轴，y轴的距离分别为2，5．则点P的坐标为（ ）
A．（5，﹣2）B．（﹣2，5）C．（2，﹣5）D．（﹣5，2）
【分析】根据第四象限点的坐标符号和点P到x轴、y轴的距离可得答案．
【解答】解：点P（x，y）点在第四象限，且点P到x轴、y轴的距离分别为2、5，
则点P的坐标为（5，﹣2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离＝纵坐标的绝对值，到y轴的距离＝横坐标的绝对值．
7．下列各组图形中，表示AD是△ABC中BC边的高的图形为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据高的定义：”过三角形的顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线“解答．
【解答】解：△ABC的高AD是过顶点A与BC垂直的线段，只有D选项符合．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的高线，属于基础题，熟记概念是解题的关键．
8．下列四个命题：①过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；④在△ABC中，若∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC为直角三角形，其中，真命题的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据平行线公理判断①；根据对顶角的定义判断②；根据平行线的判定定理判断③；根据三角形内角和定理判断④．
【解答】解：①这是平行线公理，故①正确；
②相等的角不一定是对顶角，例如角平分线所得到的两个角相等，但这两个角不是对顶角，故②错误；
③没有说在同一平面内，故③错误；
④设∠A＝x°，则∠B＝x°，∠C＝x°，
∴x+x+x＝180，
∴x＝，
∴△ABC不是直角三角形，故④错误；
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理，熟练掌握平行线公理，对顶角的定义，平行线的判定定理，三角形内角和定理是解题的关键．
9．若等腰三角形的两条边的长分别为3cm和7cm，则它的周长是（ ）
A．10cmB．13cmC．17cmD．13cm或17cm
【分析】等腰三角形两边的长为3cm和7cm，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17（cm）．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
10．如图，一块直角三角板EOF与一把直尺ABCD放置在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数
为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．65°
【分析】过点O作OM∥AD，交EF于点M，则AD∥BC∥OM，由平行线的性质得到，∠2＝∠EOM，∠1＝∠FOM，等量代换得到∠1+∠2＝90°，据此求解即可．
【解答】解：如图，过点O作OM∥AD，交EF于点M，
∵AD∥BC，
∴AD∥BC∥OM，
∴∠2＝∠EOM，∠1＝∠FOM，
∵∠EOF＝∠EOM+∠FOM＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，
∵∠1＝25°，
∴∠2＝90°﹣∠1＝65°，
故选：D．
【点评】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，同位角相等是解题的关键．
11．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其曾记载：今有七雀、四燕，集称之衡，雀惧重，燕惧轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀两斤半．问燕、雀一枚各重几何？译文：今有7只雀和4只燕，分别聚集而用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．7只雀、4只燕总重量为40两（1斤＝16两）．问雀、燕每只各重多少两？（每只雀的重量相同、每只燕的重量相同）设每只雀重x两，每只燕重y两，则可列二元一次方程组为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设每只雀重x两，每只燕重y两，根据“7只雀、4只燕总重量为40两；将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设每只雀重x两，每只燕重y两．
∵7只雀、4只燕总重量为40两，
∴7x+4y＝40；
∵将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等，
∴6x+y＝3y+x．
联立两方程组成方程组．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
12．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图①，△MBC中，M是BC上一点，则有，如图②，△ABC中，M是BC上一点，且BM＝BC，N是AC的中点，若△ABC的面积是1，则△ADN的面积是（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接CD，由中线的性质得S△ADN＝S△CDN，同理S△ABN＝S△CBN，设S△ADN＝S△CDN＝a，则S△ABN＝S△CBN＝，再求出S△CDM＝S△BC＝﹣a，S△ACM＝S△ABC＝，然后由面积关系求出a＝，即可解决问题．
【解答】解：连接CD，如图：
∵N是AC的中点，
∴＝＝1，
∴S△ADN＝S△CDN，
同理：S△ABN＝S△CBN，
设S△ADN＝S△CDN＝a，
∵△ABC的面积是1，
∴S△ABN＝S△CBN＝，
∴S△BCD＝S△ABD＝﹣a，
∵BM＝BC，
∴＝，
∴＝＝，＝＝，
∴S△CDM＝3S△BDM，S△ACM＝3S△ABM，
∴S△CDM＝S△BCD＝×（﹣a）＝﹣a，S△ACM＝S△ABC＝，
∵S△ACM＝S四边形CMDN+S△ADN＝S△CDM+S△CDN+S△ADN，
即：＝﹣a+a+a，
解得：a＝，
∴S△ADN＝，
故选：B．
【点评】本题考查三角形的面积，解题的关键是掌握等高的三角形面积比等于底边的比．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．若xa﹣1+y＝1是关于x，y的二元一次方程，则a＝ 2 ．
【分析】利用二元一次方程定义可得答案．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．
【解答】解：∵xa﹣1+y＝1是关于x，y的二元一次方程，
∴a﹣1＝1，
解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二元一次方程定义，掌握二元一次方程定义是解答本题的关键．
14．比较大小：4 ＜ （用“＞”、“＜”或“＝”填空）．
【分析】比较它们的平方即可．
【解答】解：∵42＝16，（）2＝18，
∴42＜18，
∴4＜．
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数的比较大小，属于简单题，解题的关键是通过比较它们平方来比较这两数的大小．
15．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是 八 ．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）•180＝3×360，
解得n＝8．
则这个多边形的边数是八．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
16．若方程组的解也是方程x+ky＝0的解，则k＝ 2 ．
【分析】先解方程组，求出x、y的值，然后代入x+ky＝0中，即可求出k的值．
【解答】解：解方程组得：；
将x、y的值代入x+ky＝0中，得2﹣k＝0，解得k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
17．阅读理解：我们把“称作二阶行列式，规定它的运算法则为，例如＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果＞0，则x的取值范围为 x＞ ．
【分析】根据新定义列出关于x的不等式，再进一步求解即可．
【解答】解：根据题意得4x﹣3（3﹣x）＞0，
去括号，得：4x﹣9+3x＞0，
移项、合并，得：7x＞9，
系数化为1，得：x＞，
故答案为：x＞．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
18．在平面直角坐标系中，点P位于原点，第1秒钟向右移动1个单位，第2秒钟向上移动2个单位，第3秒钟向左移动3个单位，第4秒钟向下移动4个单位，第5秒钟向右移动5个单位，…依此类推，经过2021秒钟后，点P的坐标是 （1011，﹣1010） ．
【分析】画出图形，探究规律后利用规律即可解决问题．
【解答】解：观察图形可知经过2017秒钟后，点P在第四象限的直线y＝﹣x+1上，
∵2021÷4＝505余1，
∴P2021的横坐标为1+2×505＝1011，
∴y＝﹣1011+1＝﹣1010，
∴P（1011，﹣1010）．
故答案为（1011，﹣1010）．
【点评】本题考查坐标与图形的性质、规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考中考常考题型．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）计算：﹣12+﹣（﹣2）×．
【分析】首先计算乘方、开方和开立方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：﹣12+﹣（﹣2）×
＝﹣1+（﹣2）+2×3
＝﹣3+6
＝3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
20．（6分）解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【解答】解：，
由①得：x≤1，
由②得，x＞﹣4，
∴不等式组的解集为﹣4＜x≤1，
解集在数轴上表示为：
．
【点评】此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
21．（8分）如图，平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，3）B（﹣5，1），C（﹣2，0），将△ABC先向右平移4个单位，再向下平移2个单位后得到△A1B1C1．
（1）在图中画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）求△A1B1C1的面积；
（3）连接BA1，若点Q在y轴上，且△QBA1的面积为6，请直接写出点Q的坐标．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△A1B1C1的面积；
（3）设Q点的坐标为（0，t），利用三角形面积公式得到×6×|t﹣1|＝6，然后解方程求出t得到E点坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（1，1）；
（2）△A1B1C1的面积＝3×3﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2＝4；
（3）设Q点的坐标为（0，t），
∵△QBA1的面积为6，
∴×6×|t﹣1|＝6，解得t＝3或t＝﹣1，
∴Q点的坐标为（0，3）或（0，﹣1）．
【点评】本题考查了作图﹣平移变换：作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
22．（8分）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：AD∥BE；
（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论；
（2）根据AB∥CD，∠2＝60°，得到∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC＝60°，又根据∠BAC＝2∠EAC，得到∠BAC＝∠ACD＝40°，最后根据平角的定义可求出∠DCE的度数，从而可求得∠B的度数．
【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD∥BE；
（2）∵AB∥CD，∠2＝60°，
∴∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，∠B＝∠DCE，
∴∠EAC+∠BAC＝60°，
∵∠BAC＝2∠EAC，
∴∠EAC＝20°，
∴∠BAC＝∠ACD＝40°，
∵∠1+∠ACD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴∠B＝∠DCE＝80°．
【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练运用定理进行推理是解答此题的关键．
23．（8分）某学校开展居家体育训练，倡导学生在家开展体育锻炼．返校后，校学生会随机抽取了部分学生，就“平均每天开展体育锻炼所用时长”进行了调查，以下是根据相关数据绘制的统计图的一部分：
根据上述信息，回答下列问题：
（1）在本次随机抽取的样本中，调查的样本容量为 200 ；
（2）m＝ 20 ，n＝ 25 ；
（3）补全频数分布直方图；
（4）如果该校共有学生2000人，请你估计“平均每天开展体育锻炼的时长不少于30分钟”的学生大约有多少人？
【分析】（1）从两个统计图可得体育锻炼时间在“10﹣20分钟”的人数40人，占调查人数的20%，可求出调查人数，即可得到样本容量．
（2）扇形图表示单位“1”，所有的百分数的和为1，与条形统计图的数字对应．根据频数、频率、总数之间的关系可求出m、n的值．
（3）求出20﹣30分钟时间段的人数，即可补全条形统计图．
（4）锻炼的时长不少于30分钟的百分数为25%+5%＝30%，再代入总人数2000，求解可得600人．
【解答】解：（1）40÷20%＝200（人），即样本容量为200，
故答案为：200；
（2）n%＝50÷200×100%＝25%，即n＝25，
m%＝1﹣25%﹣5%﹣30%﹣20%＝20%．即m＝20，
故答案为：20，25；
（3）200×20%＝40（人），补全条形统计图如图所示：
（4）2000×（25%+5%）＝600（人），
答：锻炼的时长不少于30分钟”学生大约有600人．
【点评】此题考查的是条形统计图和扇形图的应用，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
24．（8分）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）实数m的值是 2﹣ ．
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求2c+3d的平方根．
【分析】（1）通过A，B在数轴上表示的数进行运算．
（2）化简绝对值进行运算．
（3）根据非负数的意义进行解答．
【解答】解：∵点B在点A右侧2个单位处，
∴点B所表示的数m为：﹣+2，即2﹣．
故答案为：2﹣．
，则m+1＞0，m﹣1＜0，
∴|m+1|+|m﹣1|＝m+1+1﹣m＝2；
答：|m+1|+|m﹣1|的值为2．
（3）∵|2c+4|与互为相反数，
∴，
∴|2c+4|＝0，且，
解得：c＝﹣2，d＝4，
∴2c+3d＝8，
∴2c+3d的平方根为±2．
答：2c+3d的平方根为±2．
【点评】本题考查数轴，非负数及二次根式的运算，解题关键是熟练掌握绝对值与平方根的意义．
25．（10分）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某校准备在某超市为书法课购买一批毛笔和宣纸，已知40支毛笔和100张宣纸需要236元，30支毛笔和200张宣纸需要222元．
（1）求毛笔和宣纸的单价；
（2）该校准备购买毛笔50支，宣纸a张（a＞50），该超市给出以下两种优惠方案：
方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
方案B：购买的宣纸超出200张的部分打七五折，毛笔不打折．
若该校准备购买的宣纸超过200张，则选择哪种方案更划算？请说明理由．
【分析】（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，根据“40支毛笔和100张宣纸需要236元，30支毛笔和200张宣纸需要222元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求出毛笔和宣纸的单价；
（2）利用总价＝单价×数量，可分别用含a的代数式表示出选择两种方案所需费用，分0.36a+232＜0.27a+268，0.36a+232＝0.27a+268及0.36a+232＞0.27a+268三种情况，求出a的取值范围或a的值，进而可得出：当200＜a＜400时，选择方案A划算；当a＝400时，选择两种方案费用相同；当a＞400时，选择方案B划算．
【解答】解：（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：毛笔的单价为5元，宣纸的单价为0.36元．
（2）选择方案A所需费用为5×50+0.36（a﹣50）＝0.36a+232（元）；
选择方案B所需费用为5×50+0.36×200+0.75×0.36（a﹣200）＝0.27a+268（元）．
当0.36a+232＜0.27a+268时，a＜400，
∵a＞200，
∴200＜a＜400；
当0.36a+232＝0.27a+268时，a＝400；
当0.36a+232＞0.27a+268时，a＞400．
答：当200＜a＜400时，选择方案A划算；当a＝400时，选择两种方案费用相同；当a＞400时，选择方案B划算．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，利用含a的代数式表示出选择两种方案所需费用．
26．（12分）如图①，在△ABC 中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．
（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．
【分析】（1）在△ABC中，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝110°，根据角平分线的定义得出∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，求出∠PBC+∠PCB＝55°，再在△BPC中，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据三角形外角性质得出∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，求出∠MBC+∠NCB＝180°+∠A，根据角平分线的定义得出∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，求出∠QBC+∠QCB＝90°+A，根据三角形内角和定理求出即可；
（3）根据角平分线的定义得出∠ACF＝2∠BCF，∠ABC＝2∠EBC，根据三角形外角性质得出∠ECF＝∠EBC+∠E，求出∠A＝2∠E，求出∠EBQ＝90°，分为四种情况：①∠EBQ＝3∠E＝90°，②∠EBQ＝3∠Q，③∠Q＝3∠E，④∠E＝3∠Q，再求出答案即可．
【解答】解：（1）∵∠A＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠PBC＝ABC，∠PCB＝ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝55°，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝125°；
（2）∵∠MBC＝∠ACB+∠A，∠NCB＝∠ABC+∠A，
∴∠MBC+∠NCB＝∠ACB+∠A+∠ABC+∠A＝180°+∠A，
∵点Q是∠MBC和∠NCB的角平分线的交点，
∴∠QBC＝MBC，∠QCB＝NCB，
∴∠QBC+∠QCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°+∠A）＝90°+A，
∴∠Q＝180°﹣（∠QBC+∠QCB）＝180°﹣（90°+A）＝90°﹣A；
（3）∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠BCF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠BC+2∠E，
∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，
即∠E＝A，
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝∠ABC+MBC
＝（∠ABC+∠A+∠ACB）
＝90°，
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分为四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，∠A＝2∠E＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，∠A＝2∠E＝135°，
综合上述，∠A的度数是45°或60°或120°或135°．
【点评】本题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，角平分线的定义等知识点，要掌握①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，②三角形的内角和等180°，还用了分类讨论思想．