2022年广西北部湾经济区初中学业水平模拟数学试题（二）（含原卷版+解析版）

这是一份2022年广西北部湾经济区初中学业水平模拟数学试题（二）（含原卷版+解析版），共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1. 若海平面以上10m记作+10m，则海平面以下15m记作（ ）
A. ﹣15mB. ﹣5mC. 15mD. 5m
2. 第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京将成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．下列各届冬奥会会徽部分图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截至2021年6月5日，免费接种数量已超过700000000剂次，将700000000用科学计数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对的面上的汉字是 （ ）
A. 青B. 春C. 梦D. 想
5. 如图所示，直线，有一块直角三角板的三个顶点刚好落在三条直线上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）
A. 越来越小 B. 不变 C. 越来越大 D. 无法确定
7. 中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A 10B. 89C. 165D. 294
8. 文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”，一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以某点为位似中心，作出与位似比为k的位似，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A. B. C. D.
10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A. B. ﹣1C. D.
11. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
B.
C. D.
12. 如图，等边中，，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 分解因式：______．
14. 正六边形的每一个外角是___________度
15. 某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是_____．
16. 如图，四边形是菱形，点是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线长分别为12和16时，则阴影部分面积为_________．
17. 在平面直角坐标系中，将点A(3，4)绕点B(1，0)旋转90°，得到点A的对应点的坐标为______.
18. 如图，抛物线与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是______．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19 计算：
20. 先化简，再求值：（）÷，然后从﹣1，1，3中选择适当的数代入求值．
21. 如图，在Rt中，．
（1）请用尺规作图法，在边AC上求作一点D，使得BD将分为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在第（1）问的条件下，若，求点D到AB的距离．
22. 随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交、地铁上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查（问卷调查表如表所示）并将调查结果绘制成图1和图2所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
如何看待数字化阅读问卷调查表
您好！这是一份关于您如何看待数字化阅读问卷调查表，请在表格中选择一项您最认同的观点，在其后空格内打“√”，非常感谢您的合作．
（1）本次接受调查的总人数是______人．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，观点E的百分比是______，表示观点B的扇形的圆心角度数为______度．
（4）假如你是该研究机构的一名成员，请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提出你的建议．
23. 数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．
猜想证明：∵．∴①当且仅当，即时，，∴；
②当，即时，，∴．
综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．
猜想运用：
（1）对于函数，当______时，函数y最小值为______．
变式探究：
（2）对于函数，当______时，函数y的最小值为______．
拓展应用：
（3）疫情期间，为了解决疑似人员临隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图．设每间离房的面积为S（m2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
24. 天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元．
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
25. 如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_________；
②若直线n的函数表达式为，求关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，求直线l的函数表达式．
26. 已知为的外接圆，．
（1）如图1，延长至点，使，连接．
①求证：为直角三角形；
②若的半径为4，，求的值；
（2）如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明．
2022年广西北部湾经济区初中学业水平考试模拟卷（二）
数学（解析版）
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）
1. 若海平面以上10m记作+10m，则海平面以下15m记作（ ）
A. ﹣15mB. ﹣5mC. 15mD. 5m
【答案】A
【解析】
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答．
【详解】若海平面以上10m，记作＋10m，则海平面以下15m，记作−15m，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2. 第24届冬奥会计划于2022年2月4日在北京开幕，北京将成为全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．下列各届冬奥会会徽部分图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；进行判断即可．
【详解】解：由题意知A、B、D均不是中心对称图形
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形解题的关键在于熟练掌握中心对称图形的定义．
3. 我国是世界上免费为国民接种新冠疫苗最多的国家，截至2021年6月5日，免费接种数量已超过700000000剂次，将700000000用科学计数法表示为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将700000000写成a×10n（1＜|a|＜10，n为正整数）的形式即可．
【详解】解：700000000=．
故选C．
【点睛】本题主要考查了运用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数写成a×10n（1＜|a|＜10，n为正整数）的形式，确定a、n的值成为解答本题的关键．
4. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“点”字所在面相对的面上的汉字是 （ ）
A. 青B. 春C. 梦D. 想
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方体展开字型和型找对面的方法即可求解．
【详解】解：展开图中“点”与“春”是对面，
“亮”与“想”是对面，
“青”与“梦”是对面；
故选：B．
【点睛】本题考查正方体的展开图；熟练掌握正方体展开图找对面的方法是解题的关键．
5. 如图所示，直线，有一块直角三角板的三个顶点刚好落在三条直线上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的性质可知，进而可求，再根据平行线的性质可知．
【详解】解：如图所示：

，
．
．
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形熟练运用平行线的性质进行角的转化和计算．
6. 如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是（ ）
A. 越来越小 B. 不变 C. 越来越大 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据杠杆原理及的值随着的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，
∴当阻力及阻力臂不变时，动力×动力臂为定值，且定值＞0，
∴动力随着动力臂的增大而减小，
∵杠杆向下运动时度数越来越小，此时的值越来越大，
又∵动力臂，
∴此时动力臂也越来越大，
∴此时的动力越来越小，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性，熟练掌握相关知识是解决本题的关键．
7. 中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A. 10B. 89C. 165D. 294
【答案】D
【解析】
【分析】类比十进制“满十进一”，可以表示满5进1的数从左到右依次为：2×5×5×5，1×5×5，3×5，4，然后把它们相加即可．
【详解】依题意，还在自出生后的天数是：
2×5×5×5+1×5×5+3×5+4=250+25+15+4=294，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数运算的实际应用，解答的关键是运用类比的方法找出满5进1的规律列式计算．
8. 文明出行，遵守交通规则“红灯停，绿灯行”，一个十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】让绿灯亮的时间除以时间总数60即为所求的概率．
【详解】解：一共是60秒，绿的是25秒，
所以绿灯的概率是；
故选：D．
【点睛】本题考查概率的基本计算，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以某点为位似中心，作出与的位似比为k的位似，则位似中心的坐标和k的值分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心和位似比．
【详解】解：如图所示：位似中心F的坐标为：(2,2)，
k的值为：
故选B.
10. 构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A. B. ﹣1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，根据构造的直角三角形，设AC＝x，再用x表示出CD，即可求出tan22.5°的值.
【详解】解：作Rt△ABC，使∠C＝90°，∠ABC＝90°，∠ABC＝45°，延长CB到D，使BD＝AB，连接AD，设AC＝x，则：BC＝x，AB＝，CD＝，
故选：B.
【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含45°的直角三角形，再作辅助线得到22.5°的直角三角形.
11. 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
I．当P在线段AD上时，即时，如解图1
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项CD错误；
II．当P在线段CD上时，即时，如解图2：
依题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
12. 如图，等边中，，点D，点E分别是边BC，CA上的动点，且，连接AD、BE交于点F，当点D从点B运动到点C时，则点F的运动路径的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，作过A、B、F作⊙O，为点F的轨迹，然后计算出的长度即可．
【详解】解：如图：作过A、B、F作⊙O，过O作OG⊥AB
∵等边
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°
∵
∴△BCE≌△ABC
∴∠BAD=∠CBE
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC=60°
∴∠ABE+∠BAD=60°
∴∠AFB=120°
∵∠AFB是弦AB同侧的圆周角
∴∠AOB=120°
∵OG⊥AB，OA=OB
∴∠BOG=∠AOG=∠AOB=60°，BG=AB=
∴∠OBG=30°
设OB=x，则OG=x
∴，解得x=或x=-（舍）
∴的长度为．
故选B
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质、勾股定理以及圆周角定理，根据题意确定点F的轨迹是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平方差公式直接因式分解即可求解．
【详解】解：原式＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，关键在于熟练掌握平方差公式的应用．
14. 正六边形的每一个外角是___________度
【答案】60°．
【解析】
【详解】试题分析：∵正六边形的每个外角都相等，并且外角和是360°，
∴正六边形的一个外角的度数为：360°÷6＝60°，
故答案为60．
点睛：本题考查的是多边形的外角和的知识，掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．
15. 某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是_____．
【答案】5
【解析】
【分析】先根据平均数的定义计算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数．
【详解】∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，
∴x=5×5﹣4﹣4﹣5﹣6=6，
∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6，
∴这组数据的中位数是5．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平均数和中位数，弄清题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．平均数为一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；将一组数据按从小到大顺序排列，处于最中间位置的一个位置的一个数据，或是最中间两个数据的平均数称为中位数．
16. 如图，四边形是菱形，点是两条对角线的交点，过点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分，当菱形的两条对角线长分别为12和16时，则阴影部分面积为_________．
【答案】48
【解析】
【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出菱形的面积，再根据菱形是中心对称图形判断出阴影的面积是菱形面积的一半即可解答．
【详解】如图所示：
∵菱形的两条对角线的长分别为12和16，
菱形的面积，
∵是菱形两条对角线的交点，菱形是中心对称图形，
∴，四边形四边形，
四边形四边形，
∴阴影部分的面积，
故答案为：48．
【点睛】本题考查了菱形的性质、中心对称图形的性质、菱形的面积公式，熟知菱形的面积公式，利用菱形的性质判断出阴影的面积是菱形面积的一半是解答的关键．
17. 在平面直角坐标系中，将点A(3，4)绕点B(1，0)旋转90°，得到点A的对应点的坐标为______.
【答案】(-3，2)或(5，-2)
【解析】
【分析】分顺时针和逆时针旋转两种情形计算求解．
【详解】如图，当逆时针旋转到处时，过点A作AC⊥x轴，垂足C，过点作D⊥x轴，垂足为D，
∵∠BD+∠ABC=90°，∠A+∠ABC=90°，点A(3，4)，点B(1，0)，
∴∠BD=∠A，BC=2，AC=4，OB=1，OC=3，
∵∠DB=∠ACB=90°，BA=B，
∴△BD≌△BAC，
∴D=BC=2，BD=AC=4，DO=3，
∴(-3，2)；
当顺时针旋转到处时，过点作E⊥x轴，垂足为E，
同理可证，∴△BE≌△BAC，
∴E=BC=2，BE=AC=4，
∴ (5，-2)；
故答案为：(-3，2)或(5，-2)．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，点的坐标与象限的关系，分类思想，熟练掌握分类思想，正确进行坐标与线段的转化是解题的关键．
18. 如图，抛物线与x轴的一个交点A在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，则a的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，当顶点C与D点重合，可以知道顶点坐标为（1，3）且抛物线过（﹣1，0），则它与x轴的另一个交点为（3，0），由此可求出a；当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2）且抛物线过（-2，0），则它与x轴的另一个交点为（8，0），由此也可求a，然后由此可判断a的取值范围．
【详解】顶点C是矩形DEFG上（包括边界和内部）的一个动点，
当顶点C与D点重合，顶点坐标为（1，3），则抛物线解析式y=a（x﹣1）2+3，
由，解得﹣≤a≤﹣；
当顶点C与F点重合，顶点坐标为（3，2），则抛物线解析式y=a（x﹣3）2+2，
由，解得﹣≤a≤﹣；
∵顶点可以在矩形内部，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，矩形的性质，二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 计算：
【答案】11
【解析】
【分析】根据含乘方的有理数混合运算法则计算即可．
【详解】解：原式
【点睛】本题考察含乘方的有理数的混合运算，掌握有理数混合运算法则是解题的关键．
20. 先化简，再求值：（）÷，然后从﹣1，1，3中选择适当的数代入求值．
【答案】；．
【解析】
【分析】根据分式的运算法则进行运算求解，最后代入求值即可．
【详解】解：
=
=
=；
∵，，，
∴，，
当时，．
【点睛】本题考查分式的化简求值，注意运算顺序为：先算乘除，再算加减，有括号先算括号内的；另外本题选择合适的数时要注意选择的数不能使分母为0．
21. 如图，在Rt中，．
（1）请用尺规作图法，在边AC上求作一点D，使得BD将分为两个等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在第（1）问的条件下，若，求点D到AB的距离．
【答案】（1）见解析 （2）点D到AB的距离为
【解析】
【分析】（1）作AC的垂直平分线交AC于D，连接BD，根据直角三角形斜边上的中线性质得到．
（2）过点D作，垂足为E，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，线段BD即为所求．（还可以作另外两边直角边的垂直平分线）
【小问2详解】
过点D作，垂足为E
∵DE⊥AB，
∴．
∴
∵D是AC中点，
∴，
∵BC＝5，
∴
即点D到AB的距离为．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图操作及直角三角形斜边上的中线性质，相似三角形的性质与判定，解决此题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
22. 随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交、地铁上的“低头族”越来越多．某研究机构针对“您如何看待数字化阅读”问题进行了随机问卷调查（问卷调查表如表所示）并将调查结果绘制成图1和图2所示的统计图（均不完整）．请根据统计图中提供的信息，解答下列问题：
如何看待数字化阅读问卷调查表
您好！这是一份关于您如何看待数字化阅读问卷调查表，请在表格中选择一项您最认同的观点，在其后空格内打“√”，非常感谢您的合作．
（1）本次接受调查的总人数是______人．
（2）请将条形统计图补充完整．
（3）在扇形统计图中，观点E的百分比是______，表示观点B的扇形的圆心角度数为______度．
（4）假如你是该研究机构的一名成员，请根据以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提出你的建议．
【答案】（1）5000
（2）条形统计图补充完整见解析
（3）4%，18 （4）应充分利用数字化阅读获取信息方便等优势，但不要成为“低头族”而影响人际交往
【解析】
【分析】（1）根据A类观点人数÷A类所占的百分比＝调查的人数即可求得结果；
（2）根据各类调查的人数，可得条形统计图；
（3）根据E类观点人数÷调查总人数×100%＝所占的百分比即可求解；
根据B类观点人数÷调查总人数×100%＝所占的百分比，然后根据360°×B类观点人数所占百分比＝圆心角度数即可求解；
（4）根据调查结合统计图，给出建设性建议即可．
【小问1详解】
（人）
则本次接受调查的总人数是5000人；
【小问2详解】
C类观点人数=5000×30%=1500（人）
如图所示
【小问3详解】
持观点 E 的人数所占的百分比=200÷5000×100%=4%
250÷5000×100%=5%
360°×5%=18°
则观点 B的扇形的圆心角度数为18°
【小问4详解】
应充分利用数字化阅读获取信息方便等优势，但不要成为“低头族”而影响人际交往．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．扇形统计图能清楚地表示出各部分的量与总量的关系
23. 数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题．
猜想发现：由；；；；；
猜想：如果，，那么存在（当且仅当时等号成立）．
猜想证明：∵．∴①当且仅当，即时，，∴；
②当，即时，，∴．
综合上述可得：若，，则成立（当日仅当时等号成立）．
猜想运用：
（1）对于函数，当______时，函数y的最小值为______．
变式探究：
（2）对于函数，当______时，函数y最小值为______．
拓展应用：
（3）疫情期间，为了解决疑似人员的临隔离问题．高速公路检测站入口处，检测人员利用检测站的一面墙（墙的长度不限），用63米长的钢丝网围成了9间相同的矩形隔离房，如图．设每间离房的面积为S（m2）．问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？
【答案】（1）1，2 （2）4，5
（3）每间隔离房长为米，宽为米时，可使每间隔离房的面积S最大，最大面积为米2
【解析】
【分析】（1）根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可；
（2）将原式转换为，再根据材料中方法计算即可；
（3）设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意列出方程，然后根据两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴当时，，
此时，
只取，
即时，函数的最小值为2．
【小问2详解】
解：∵，
∴，，
∴，
∴当时，，
此时，
∴，（舍去），
即时，函数的最小值为5.
【小问3详解】
解：设每间隔离房与墙平行的边为米，与墙垂直的边为米，依题意得：
，
即，
∵，，
∴，
即，
整理得：，
即，
∴当时，
此时，，
即每间隔离房长为米，宽为米时，的最大值为．
【点睛】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题．
24. 天水市某商店准备购进、两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多20元，用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同．商店将种商品每件的售价定为80元，种商品每件的售价定为45元．
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过1560元的资金购进、两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，请设计出的不同取值范围内，销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．
【答案】（1）种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元；（2）该商店有5种进货方案；（3）①当时，（2）中的五种方案都获利600元；②当时，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；③当时，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．
【解析】
【分析】（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元，然后根据“用2000元购进种商品和用1200元购进种商品的数量相同”的等量关系列分式方程解答即可；
（2）设购进种商品件，购进种商品件，再根据“商店计划用不超过1560元的资金半”和“种商品的数量不低于种商品数量的一半”两个等量关系，列不等式组确定出a的整数值即可；
（3）设销售、两种商品总获利元，然后列出y与a和m的关系式，然后分m=15、10＜m＜15、15＜m＜20三种情况分别解答，最后再进行比较即可．
【详解】（1）设种商品每件的进价为元，种商品每件的进价为元．
依题意得，解得，
经检验是原方程的解且符合题意
当时，．
答：种商品每件的进价为50元，种商品每件的进价为30元；
（2）设购进种商品件，购进种商品件，
依题意得
解得，
∵为整数∴．
∴该商店有5种进货方案；
（3）设销售、两种商品总获利元，
则．
①当时，，与的取值无关，即（2）中的五种方案都获利600元；
②当时，，随的增大而增大，
∴当时，获利最大，即在（2）的条件下，购进种商品18件，购进种商品22件，获利最大；
③当时，，随的增大而减小，
∴当时，获利最大，
∴在（2）的条件下，购进种商品14件，购进种商品26件，获利最大．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、不等式组的应用、一次函数的应用等知识点，熟练应用所学知识解决实际问题是解答本题的关键．
25. 如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．

（1）如图2，在平面直角坐标系中，点E的坐标为，半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点_________（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_________；
②若直线n的函数表达式为，求关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系中，直线l经过点，点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，求直线l的函数表达式．
【答案】（1）①D；10；②⊙O关于直线n的“特征数”为6；（2）直线l的解析式为y=-3x+7或y=x+
【解析】
【分析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，首先判断直线n也经过点E（0，4），在Rt△EOF中，利用三角函数求出∠EFO=60°，进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可；
（2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b1,用待定系数法得到，再根据两条直线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y=x+b2,用待定系数法同理可得，消去b1和b2，得到关于m、n的方程组；根据⊙F关于直线l的“特征数”是，得出NA=，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n2=10，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即点A的坐标，再根据待定系数法求直线l的函数表达式．注意有两种情况，不要遗漏．
【详解】解：（1）①⊙O关于直线m的“远点”是点D，
⊙O关于直线m的“特征数”为DB·DE=2×5=10；
②如下图：过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，
∵直线n的函数表达式为，
当x=0时，y=4；当y=0时，x=，
∴直线n经过点E（0，4），点F（，0），
在Rt△EOF中，∵tan∠FEO===，
∴∠FEO=30°，
∴∠EFO=60°，
在Rt△HOF中，∵sin∠HFO=，
∴HO= sin∠HFO·FO=2，
∴PH=HO+OP=3，
∴PQ·PH=2×3=6，
∴⊙O关于直线n的“特征数”为6；
（2）如下图，∵点F是圆心，点是“远点”，
∴连接NF并延长，则直线NF⊥直线l，设NF与直线l的交点为点A（m，n），
设直线l的解析式为y=kx+b1（k≠0）,
将点与A（m，n）代入y=kx+b1中，
②-①得：n-4=mk-k，③
又∵直线NF⊥直线l，
∴设直线NF解析式为y=x+b2（k≠0）,
将点与A（m，n）代入y=x+b2中，
④-⑤得：-n=+，⑥
联立方程③与方程⑥，得：
解得：，
∴点A的坐标为（，）；
又∵⊙F关于直线l的“特征数”是，⊙F的半径为，
∴NB·NA=，
即2·NA=，
解得：NA=，
∴[m-(-1)]2+(n-0)2=()2，
即(m+1)2+n2=10，
把代入，解得k=-3或k=；
当k=-3时，m=2，n=1，
∴点A的坐标为（2，1），
把点A（2，1）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为y=-3x+7；
当k=时，m=-2，n=3，
∴点A的坐标为（-2，3），
把点A（-2，3）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为y=x+．
∴直线l的解析式为y=-3x+7或y=x+．
【点睛】本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性质、解直角三角形等，理解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条直线互相垂直的两个一次函数解析式中系数k互为负倒数的关系是解题的关键．
26. 已知为的外接圆，．
（1）如图1，延长至点，使，连接．
①求证：为直角三角形；
②若的半径为4，，求的值；
（2）如图2，若，为上的一点，且点，位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明．
【答案】（1）①见解析；②；
（2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）①利用如果三角形中一条边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形可得出结论；
②连接OA，OD，利用垂径定理得到OD⊥AC且AH=CH，设DH=x，则OH=4-x，利用勾股定理列出方程求得DH的值，再利用三角形的中位线定理得到BC=2DH；
（2）猜想QA，QC，QD三者之间的数量关系为：QC2=2QD2+QA2．延长QA交⊙O于点F，连接DF，FC，由已知可得∠DAC=∠DCA=45°；利用同弧所对的圆周角相等，得到∠DFA=∠E=∠DCA=45°，∠DFC=∠DAC=45°，由于△ADQ△与ADE关于AD对称，于是∠DQA=∠E=45°，则得△DQF为等腰直角三角形，△QFC为直角三角形；利用勾股定理可得：QC2=QF2+CF2，QF2=2DQ2；利用△QDA≌△FDC得到QA=FC，等量代换可得结论．
【小问1详解】
①，，
．
∴∠B=∠DCB，
∴∠BAC=∠DCA，
∵∠B+∠BAC+∠DCB+∠DCA =180°，
∴∠DCB+∠DCA=90°．
为直角三角形；
②连接，，如图，
，
，
且．
的半径为4，
．
设，则，
，
，
．
解得：．
．
由①知：，
，
．
，
．
【小问2详解】
，，三者之间的数量关系为：．理由：
延长交于点，连接，，如图，
，，
．
，．
．
．
与关于对称，
，
，
．
．
．
即．
，
．
在和中，
，
．
．
．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质，方程的解法．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．代码
观点
A
获取信息方便，可以随时随地观看
B
价格便宜易得
C
使得人们成为“低头族”，不利于人际交往
D
内容丰富，比纸质书涉猎更广
E
其他
代码
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