2022年广西北部湾中考数学全真模拟试题2（含原卷和解析版）

这是一份2022年广西北部湾中考数学全真模拟试题2（含原卷和解析版），共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(每题3分，12题，共36分)
1．下列4个实数中，为无理数的是（ ）
A．-2B．0C．D．3.14
2．下列几何体中，三视图不含圆的是（ ）
（第5题）
A． B． C． D．
3．妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．从2021年5月26日在南昌召开的第十二届中国卫星导航年会上获悉，至2020年，我国卫星导航产业总值突破4000亿元，年均增长以上，其中4000亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
5．如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60人，则初中生有（ ）
A．45人B．75人C．120人D．300人
6．下列计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（ ）
A．4B．C．3D．
9．一次函数的图象不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B． C．D．
11．如图，在矩形纸片ABCD中，，，M是BC上的点，且．将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点处，折痕为MN，则线段PA的长是（ ）
A．4B．5C．6D．
12．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5B．8C．12D．15
第II卷（非选择题）
二、填空题(每题3分，6题，共18分)
13．使有意义的x的取值范围是__．
14．分解因式：__________．
15．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是_____米．
16．某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为_________分．
17．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ___．
18．已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____．
（第15题） （第17题） （第18题）

三、解答题
19．计算：．
解方程．
21．如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．
22．为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
方便筷使用数量在范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．
不完整的统计图表：
方便筷使用数量统计表
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的__________；
（2）统计图中组对应扇形的圆心角为__________度；
（3）组数据的众数是___________；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是__________；
（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．
23．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．

【探究发现】
（1）如图①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求证：AD＋AB＝AC；
【拓展迁移】
（2）如图②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．
24．为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
25．科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
26．如图，在中，，以为直径的与相交于点，垂足为．
（1）求证：是的切线；
（2）若弦垂直于，垂足为，求的半径；
（3）在（2）的条件下，当时，求线段的长．
2022年广西北部湾中考数学全真模拟试题2（解析版）
注意：1．本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，满分为120分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共36分）
一、单选题(每题3分，12题，共36分)
1．下列4个实数中，为无理数的是（ ）
A．-2B．0C．D．3.14
【答案】C
【解析】
【分析】
根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，即可解答．
【详解】
解：-2，0是整数，属于有理数；3.14是有限小数，属于有理数；是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键．
2．下列几何体中，三视图不含圆的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据主视图、左视图、俯视图的定义，逐项进行判断即可．
【详解】
解：A：俯视图中含有圆；
B：主视图、左视图、俯视图中都含有圆；
C：主视图、左视图、俯视图中都不含有圆；
D：俯视图中含有圆；
故可知只有C选项不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了三视图，熟知定义是解题的关键．
3．妙妙上学经过两个路口，如果每个路口可直接通过和需等待的可能性相等，那么妙妙上学时在这两个路口都直接通过的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意画出树形图，求出在这两个路口都直接通过的概率为即可求解．
【详解】
解：由题意画树形图得，
由树形图得共有4种等可能性，其中在这两个路口都直接通过的概率是P=．
故选：A
【点睛】
本题考查了列表或画树形图求概率，理解题意，正确列表或画树形图得到所有等可能的结果是解题关键．
4．从2021年5月26日在南昌召开的第十二届中国卫星导航年会上获悉，至2020年，我国卫星导航产业总值突破4000亿元，年均增长以上，其中4000亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：4000亿，
故选：．
【点睛】
此题考查科学记数法，注意n的值的确定方法，当原数大于10时，n等于原数的整数数位减1，按此方法即可正确求解．
5．如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60人，则初中生有（ ）
A．45人B．75人C．120人D．300人
【答案】C
【解析】
【分析】
根据大学生的人数与所占的百分比求出总人数为300人，再用初中生所占的百分比乘以总人数即可得到答案．
【详解】
解：总人数==300（人）；
=120（人），
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了根据扇形统计图求总人数和单项的人数，关键在于公式的灵活运用．
6．下列计算结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依据同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则进行判断即可得出结论．
【详解】
解：．，故本选项错误； ．，故本选项正确；
．，故本选项错误； ．，故本选项错误；
故选：．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘法法则、合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及积的乘方法则的运用，关键是掌握合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变．
7．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案．
【详解】
解：点A（-3，4）关于y轴对称的点的坐标是（3，4），
故选：D．
【点睛】
本题考查了关于y轴对称的点的坐标，明确关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键
8．如图，是的外接圆，，若的半径为2，则弦的长为（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】B
【解析】
【分析】
过点作，交于点，根据圆周角定理以及垂径定理可得结果．
【详解】
解：过点作，交于点，
是的外接圆，，
，
又，，
，，
在中，，
，，
，
故选：．
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，熟知相关性质定理是解本题的关键．
9．一次函数的图象不经过
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一次函数的图像与性质解答即可.
【详解】
∵-30，
∴图像经过一、二、四象限，不经过第三象限.
故选C.
【点睛】
本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b（k为常数，k≠0），当k＞0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、三象限；当k＞0，b＜0，y=kx+b的图象在一、三、四象限；当k＜0，b＞0，y=kx+b的图象在一、二、四象限；当k＜0，b＜0，y=kx+b的图象在二、三、四象限．
10．我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（ ）
A．B． C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据“一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺”可知：绳子=木条+4.5，再根据“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺”可知：绳子=木条，据此列出二元一次方程组即可．
【详解】
解：设木条长x尺，绳子长y尺，
那么可列方程组为：，
故选：A．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的实际应用，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
11．如图，在矩形纸片ABCD中，，，M是BC上的点，且．将矩形纸片ABCD沿过点M的直线折叠，使点D落在AB上的点P处，点C落在点处，折痕为MN，则线段PA的长是（ ）
A．4B．5C．6D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接PM，证明即可得到，PA=5．
【详解】
连接PM
∵矩形纸片ABCD中，，，
∴∵∴
∵折叠
∴,
∴
∵PM=PM
∴∴
∴
故选B．
【点睛】
本题考查矩形的折叠问题，解题的关键是看到隐藏条件，学会利用翻折不变性解决问题．
12．若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5B．8C．12D．15
【答案】B
【解析】
【分析】
先计算不等式组的解集，根据“同大取大”原则，得到解得，再解分式方程得到，根据分式方程的解是正整数，得到，且是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a的值，最后求和．
【详解】
解：
解不等式①得，，
解不等式②得，
不等式组的解集为：

解分式方程得
整理得，
则
分式方程的解是正整数，
，且是2的倍数，
，且是2的倍数，
整数a的值为-1, 1, 3, 5,

故选：．
【点睛】
本题考查解含参数的一元一次不等式、解分式方程等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题3分，共18分）
13．使有意义的x的取值范围是__．
【答案】x≥7
【解析】
【分析】
直接利用二次根式被开方数是非负数，进而得出答案．
【详解】
解：有意义，则x﹣7≥0， 解得：x≥7．
故答案为：x≥7．
【点睛】
]此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式被开方数是非负数是解题关键．
14．分解因式：__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据平方差公式分解因式，即可．
【详解】
解：，
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键．
15．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是_____米．
【答案】8．
【解析】
【详解】
试题分析：根据题目中的条件易证△ABP∽△CDP，由相似三角形对应边的比相等可得，即，解得CD=8m．
考点：相似三角形的应用．
16．某校招聘教师，其中一名教师的笔试成绩是80分，面试成绩是60分，综合成绩笔试占60%，面试占40%，则该教师的综合成绩为_________分．
【答案】72
【解析】
【分析】
根据综合成绩笔试占60%，面试占40%，即综合成绩等于笔试成绩乘以60%，加上面试成绩乘以40%，即可求解．
【详解】
解：根据题意知，该名老师的综合成绩为（分）
故答案为：72．
【点睛】
本题考查加权平均数及其计算，是中考的常考知识点，熟练掌握其计算方法是解题的关键．
17．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切，点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为 ___．
【答案】．
【解析】
【分析】
连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，根据题意和30°直角三角形的性质求出AP的长度，然后由圆和矩形的性质，根据勾股定理求出OC的长度，即可求出点P的坐标．
【详解】
如下图所示，连接AB，作AD⊥x轴，AC⊥y轴，
∵PB与⊙A相切于点B ∴AB⊥PB，
∵∠APB＝30°，AB⊥PB， ∴PA=2AB=．
∵
∴四边形ACOD是矩形，
点A的坐标为（8，5），
所以AC=OD=8，CO=AD=5，
在中，．
如图，当点P在C点上方时，
∴，
∴点P的坐标为．
【点睛】
此题考查了勾股定理，30°角直角三角形的性质和矩形等的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线．
18．已知函数y的图象如图所示，若直线y＝kx﹣3与该图象有公共点，则k的最大值与最小值的和为 _____．
【答案】17
【解析】
【分析】
根据题意可知，当直线经过点（1，12）时，直线y=kx-3与该图象有公共点；当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，可得出k的最大值是15，最小值是2，即可得它们的和为17．
【详解】
解：当直线经过点（1，12）时，12=k-3，解得k=15；
当直线与抛物线只有一个交点时，（x-5）2+8=kx-3，
整理得x2-（10+k）x+36=0，
∴10+k=±12，解得k=2或k=-22（舍去），
∴k的最大值是15，最小值是2，
∴k的最大值与最小值的和为15+2=17．
故答案为：17．
【点睛】
本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k的最大值和最小值是解题的关键．
三、解答题
19．计算：．
【答案】2．
【解析】
【分析】
根据负整数指数幂、0指数幂的运算法则及算术平方根的定义计算即可得答案．
【详解】
．
【点睛】
本题考查实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、0指数幂的运算法则及算术平方根的定义是解题关键．
20．解方程．
【答案】
【解析】
【分析】
先将方程两边同时乘以，化为整式方程后解整式方程再检验即可．
【详解】
解：，
，
，
，
检验：将代入中得，，
∴是该分式方程的解．
【点睛】
本题考查了分式方程的解法，解决本题的关键是牢记解分式方程的基本步骤，即要先将分式方程化为整式方程，再利用“去括号、移项、合并同类项、系数化为1”等方式解整式方程，最后不能忘记检验等．
21．如图，在四边形ABCD中，，点E是AC的中点，且
（1）尺规作图：作的平分线AF，交CD于点F，连结EF、BF（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，若，且，证明：为等边三角形．
【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据基本作图—角平分线作法，作出的平分线AF即可解答；
（2）根据直角三角形斜边中线性质得到并求出，再根据等腰三角形三线合一性质得出，从而得到EF为中位线，进而可证，，从而由有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出结论．
【详解】
解：（1）如图，AF平分，
（2）∵，且，
∴，，∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵AF平分，，
∴，
又∵，∴，，
∴，∴
又∵
∴为等边三角形．
【点睛】
本题主要考查了基本作图和等腰三角形性质以及与三角形中点有关的两个定理，解题关键是掌握等腰三角形三线合一定理、直角三角形斜边中线等于斜边一半以及三角形中位线定理．
22．为倡导绿色健康节约的生活方式，某社区开展“减少方便筷使用，共建节约型社区”活动．志愿者随机抽取了社区内50名居民，对其5月份方便筷使用数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
方便筷使用数量在范围内的数据：
5，7，12，9，10，12，8，8，10，11，6，9，13，6，12，8，7．
不完整的统计图表：
方便筷使用数量统计表
请结合以上信息回答下列问题：
（1）统计表中的__________；
（2）统计图中组对应扇形的圆心角为__________度；
（3）组数据的众数是___________；调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是__________；
（4）根据调查结果，请你估计该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数．
【答案】（1）9；（2）72；（3）12，10；（4）该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760名．
【解析】
【分析】
（1）根据扇形统计图可知D组所占百分比，然后问题可求解；
（2）由统计表可得E组人数为10人，然后可得E组所占的百分比，然后问题可求解；
（3）由题意可把在范围内的数据从小到大排列，进而可得组数据的众数及中位数；
（4）根据题意可得50名被调查的人中不少于15双的人数所占的百分比，然后问题可求解．
【详解】
解：（1）由统计图可得：；
故答案为9；
（2）由统计图可得组对应扇形的圆心角为；
故答案为72；
（3）由题意可把在范围内的数据从小到大排列为：、6、6、7、7、8、8、8、9、9、10、10、11、12、12、12、13；
∴在组（）数据的众数是；
调查的50名居民5月份使用方便筷数量的中位数是第25和第26名的平均数，即为；
故答案为12，10；
（4）由题意得：（名）；
答：该社区2000名居民5月份使用方便筷数量不少于15双的人数为760名．
【点睛】
本题主要考查中位数、众数及扇形统计图，熟练掌握中位数、众数及扇形统计图是解题的关键．
23．在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD．
【探究发现】
（1）如图①，若∠BAD＝，∠ABC＝∠ADC＝．求证：AD＋AB＝AC；
【拓展迁移】
（2）如图②，若∠BAD＝，∠ABC＋∠ADC＝．
①猜想AB、AD、AC三条线段的数量关系，并说明理由；
②若AC＝10，求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；（2）①AD＋AB＝AC，见解析；②
【解析】【分析】
（1）根据角平分线的性质得到∠DAC＝∠BAC＝，然后根据直角三角形中是斜边的一半即可写出数量关系；
（2）①根据第一问中的思路，过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，构造证明△CFB△CED，根据全等的性质得到FB＝DE，结合第一问结论即可写出数量关系；
②根据题意应用的正弦值求得的长，然后根据的数量关系即可求解四边形ABCD的面积．
【详解】
（1）证明：∵AC平分∠BAD，∠BAD＝，
∴∠DAC＝∠BAC＝，∵∠ADC＝∠ABC＝，
∴∠ACD＝∠ACB＝，
∴AD＝．∴AD＋AB＝AC，
（2）①AD＋AB＝AC，
理由：过点C分别作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F．
，
∵AC平分∠BAD，∴CF＝CE，
∵∠ABC＋∠ADC＝，∠EDC＋∠ADC＝，∴∠FBC＝∠EDC，
又∠CFB＝∠CED＝，∴△CFB△CED，
∴FB＝DE，
∴AD＋AB＝AD＋FB＋AF＝AD＋DE＋AF＝AE＋AF，
在四边形AFCE中，由⑴题知：AE＋AF＝AC，
∴AD＋AB＝AC；
②在Rt△ACE中，∵AC平分∠BAD，∠BAD＝ ∴∠DAC＝∠BAC＝，
又∵AC＝10， ∴CE＝A，
∵CF＝CE，AD＋AB＝AC，
∴
＝．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．
24．为落实“数字中国”的建设工作，市政府计划对全市中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装36间教室比甲公司安装同样数量的教室多用3天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1000元，乙公司安装费每天500元，现需安装教室120间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过18000元，则最多安排甲公司工作多少天？
【答案】（1）甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；（2）12天
【解析】
【分析】
（1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，根据题意列出分式方程，故可求解；
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天，根据题意列出不等式，故可求解．
【详解】
解：（1）设乙公司每天安装间教室，则甲公司每天安装间教室，
根据题意，得 解这个方程，得．
经检验，是所列方程的根．
（间），
所以，甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室．
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作天，根据题意，得
解这个不等式，得．
所以，最多安排甲公司工作12天．
【点睛】
此题主要考查分式方程与不等式的实际应用，解题的关键是根据题意找到数量关系列式求解．
25．科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度（米）与小钢球运动时间（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度（米）与它的运动时间（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出与之间的函数关系式；
（2）求出与之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
【答案】（1）；（2）；（3）70米
【解析】
【分析】
（1）先设出一次函数的解析式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）用待定系数法求函数解析式即可；
（3）当1＜x≤6时小钢球在无人机上方，因此求y2-y1，当6＜x≤8时，无人机在小钢球的上方，因此求y1-y2，然后进行比较判断即可．
【详解】
解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b'，
∵函数图象过点（0，30）和（1，35），
则，解得，
∴y1与x之间的函数关系式为．
（2）∵时，，
∵的图象是过原点的抛物线，
∴设，
∴点，在抛物线上．
∴，即，
解得，
∴．
答：与的函数关系式为．
（3）设小钢球和无人机的高度差为米，
由得或.
①时，
，
∵，∴抛物线开口向下，
又∵，
∴当时，的最大值为；
②时，
，
∵，∴拋物线开口向上，
又∵对称轴是直线，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴当时，的最大值为70．
∵，
∴高度差的最大值为70米．
答：高度差的最大值为70米．
【点睛】
本题考查了二次函数以及一次函数的应用，关键是根据根据实际情况判断无人机和小钢球的高度差．
26．如图，在中，，以为直径的与相交于点，垂足为．

（1）求证：是的切线；
（2）若弦垂直于，垂足为，求的半径；
（3）在（2）的条件下，当时，求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）的半径为1；（3）．
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由题意可得∠B=∠C，由半径OB和OD可得∠B=∠ODB，从而∠C=∠ODB，在Rt△DEC中可知∠C+∠CDE=90°，则∠OBD+∠CDE=90°，从而得出∠ODE=90°，即可得证DE是的切线；
（2）连接OD，过点D作DG⊥AB，垂足为G，设AC与交于点H，连接OH，分别求解S△OAH，S扇形OAH，S△OBD，S扇形OOD，然后根据S阴影= S扇形OAH + S扇形OBD – S△OAH –S△OBD求解即可得到阴影部分的面积．
【详解】
（1）证明：
方法一：
连接
为直径
，
为中点 为中点

是的半径
是的切线
方法二：
连接


．
是的半径
是的切线
方法三：
连接


是的半径
是的切线
（2）解：
方法一：
连接，
是直径

在中
即的半径为1
方法二：
连接 ，是的直径

为中点

即的半径为1
（3）作的平分线交于 连接
平分
即

设 则
解得：
是的直径

【点睛】
本题主要考查了圆的切线的判定，以及与扇形面积相关的不规则阴影部分面积求解问题，灵活添加辅助线将不规则图形转换为规则图形的面积表示是解题关键．
组别
使用数量（双）
频数
14
10
合
50
组别
使用数量（双）
频数
14
10
合
50