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2022年广西南宁市第三中学九年级下学期一模数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份2022年广西南宁市第三中学九年级下学期一模数学试题（原卷版+解析版），共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的相反数是（ ）．
A. B. C. D.
2. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 一个正比例函数的图象经过(2,-1)，则它的表达式为
A. y=-2x B. y=2x C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 设，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（ ）
A. B. C. D.
8. 如图尺规作业，为的平分线，这样的作法依据是( )
A. B. C. D.
9. 如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）.
A. （32﹣2x）（20﹣x）=570B. 32x+2×20x=32×20﹣570
C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570D. 32x+2×20x﹣2x2=570
11. 学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温将至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. 水温从20℃加热到100℃，需要
B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C. 上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃水
D. 水温不低于30℃时间为
12. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 若分式有意义，则的取值范围是_____．
14. 因式分解：_________．
15. 将一个宽度相等的纸条按如图所示的方法折叠一下，则∠1＝_____．
16. 以平行四边形ABCD的顶点A为原点,直线AD为x轴建立平面直角坐标系,已知点B,D的坐标分别为(1,3),(4,0),把平行四边形向上平移2个单位长度,则C点平移后相应的点的坐标是_____.
17. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m.
18. 如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为____．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
20. 解方程：
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）．
（1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴左侧画出△A2B2C2．
（3）在y轴上存在点P，使得△OB2P面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．
22. 某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）；
b．A课程成绩在70≤x<80这一组的是：70，71，71，71，76，76，77，78，78.5，78.5，79，79，79，79.5；
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m=____________的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是____________（填“A”或“B”），理由是__________________________________________；
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．
23. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身．
图1
（1）求的度数；
（2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：，，，）
24. 某苹果经销商在销售苹果时，经市场调查：当苹果的售价为10元/千克时，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．设苹果售价为x元/千克（，且x为整数）．
（1）若某日苹果的销售量为28千克，求该日苹果的销售单价；
（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克，设该经销商的日销售额为W元，求W的最大值和最小值；
（3）若政府每日给该经销商补贴元后（m为正整数），发现只有5种不同的售价使日收入不少于500元，请求出m的值．（日收入=销售额+政府补贴）
25. 如图，是的直径，是弦，点E在圆外，于点D，交于点F，连接．
（1）求证：是切线；
（2）求证：；
（3）设的面积为，的面积为，若，求的值．
26. 如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作轴交轴于点，线段的延长线交于点，连接、交于点，连接．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当时，求点的坐标及；
（3）在（2）的条件下，点是轴上一个动点，求的最小值．
2021-2022学年度春季学期九年级数学学科综合练习（一）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 的相反数是（ ）．
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．
【详解】解：的相反数为，即．
故选：A．
【点睛】本题考查相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可．
2. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【2题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】由中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
3. 一个正比例函数的图象经过(2,-1)，则它的表达式为
A. y=-2x B. y=2x C. D.
【3题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】设该正比例函数的解析式为，再把点代入求出的值即可．
【详解】设该正比例函数的解析式为，
正比例函数的图象经过点，
，解得，
这个正比例函数的表达式是．
故选．
【点睛】考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【4题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项的运算法则进行计算判断A，根据积的乘方B，根据同底数幂的除法判断C，根据同底数幂的乘法运算法则进行计算判断D．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，正确，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查整式的运算，理解合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、解题的关键是掌握相应的运算法则．
5. 不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【5题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分，最后在数轴表示即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据得到，再根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算、不等式的性质等知识，通过“夹逼法”判断出是解题的关键．
7. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（ ）
A. B. C. D.
【7题答案】
【答案】A
【解析】
【详解】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.根据题意得：， 解得：a=1， 经检验，a=1是原分式方程的解，故本题选A.
8. 如图尺规作业，为的平分线，这样的作法依据是( )
A. B. C. D.
【8题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据作图过程可得，AF=AE，DF=DE，又AD=AD，根据“SSS”可以证明△FAD≌△EAD，即可得结论．
【详解】连接CE、CD，
在△OEC和△ODC中，
，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
9. 如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【9题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，然后根据圆周角定理即可求出∠BOD的度数．
【详解】解：∵四边形为的内接四边形，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数是解题的关键．
10. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）.
A. （32﹣2x）（20﹣x）=570B. 32x+2×20x=32×20﹣570
C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570D. 32x+2×20x﹣2x2=570
【10题答案】
【答案】A
【解析】
【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(32−2x)(20−x)=570，
故选：A
11. 学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温将至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. 水温从20℃加热到100℃，需要
B. 水温下降过程中，y与x函数关系式是
C. 上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D. 水温不低于30℃的时间为
【11题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】因为开机加热时，饮水机每分钟上升10℃，所以开机加热到100℃，所用时间为＝8min，故A不合题意，利用点（8，100），可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令y＝20，则x＝40，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了10 min，令x＝10，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到30℃所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为30℃时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于30℃时的时间．
【详解】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：＝8min，
故A选项不合题意；
由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，
代入点（8，100）可得，k＝800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，
故B选项不合题意；
令y＝20，则，
∴x＝40，
即饮水机每经过40 min，要重新从20℃开始加热一次，
从8点到9：30，所用时间为90 min，
而水温加热到100℃，仅需要8 min，
故当时间是9：30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10 min，
令x＝10，则℃＞40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：min，
令y＝30，则，
∴，
∴水温不低于30℃的时间为min，
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
12. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【12题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y=2x上，由-2＜x＜4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y=2x，
将x=-2代入y=2x得y=-4，
将x=4代入y=2x得y=8，
设A（-2，-4），B（4，8），如图，
联立方程x2-x+c=2x，
当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，
即9-4c＞0，
解得c＜，
此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，
把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，
把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，
∴，
解得c＞-4，
∴-4＜c＜满足题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 若分式有意义，则的取值范围是_____．
【13题答案】
【答案】x≠2
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件建立不等式，求解即可．
【详解】解：由题意，得x﹣2≠0．解得x≠2，
故答案为：x≠2.
14. 因式分解：_________．
【14题答案】
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式a，然后运用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：原式=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
15. 将一个宽度相等的纸条按如图所示的方法折叠一下，则∠1＝_____．
【15题答案】
【答案】70°
【解析】
【分析】根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系求解则可．
【详解】解：如图，由题意可知，AB∥CD，
∴∠1+∠2=140°，
由折叠可知，∠1=∠2，
∴2∠1＝140°，
解得∠1＝70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般．
16. 以平行四边形ABCD的顶点A为原点,直线AD为x轴建立平面直角坐标系,已知点B,D的坐标分别为(1,3),(4,0),把平行四边形向上平移2个单位长度,则C点平移后相应的点的坐标是_____.
【16题答案】
【答案】(5,5)
【解析】
【详解】如图，∵四边形ABCD是平行四边形，且其顶点B、D的坐标分别为（1，3），（4，0），
∴BC=OD=4，BC∥OD，
∴点C的坐标为（5，3）.
故答案为：（5，3）.
17. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m.
【17题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为
通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入A点坐标
代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
解得：
所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了
故答案是：
【点睛】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
18. 如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为____．
【18题答案】
【答案】
【解析】
【分析】由得点在以为直径的圆上运动，当点E与B重合时，此时点F与G重合，当点E与D重合时，此时点F与A重合，则点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为AG的长，然后根据条件求出AG所在圆的半径和圆心角，从而解决问题．
【详解】解：，
，
∴点F在以AC为直径的圆上运动，
以AC为直径画半圆AC，连接OA，确定出AC的中点P，连接PG，
当点E与B重合时，此时点F与G重合，
当点E与D重合时，此时点F与A重合，
∴点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长的的长，
∵点G为OD的中点，
．
，
，．
，
，
，
所在圆的半径为，所对的圆心角，
的长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，定角对定弦，孤长公式等知识，确定点F的运动路径是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
【19题答案】
【答案】15
【解析】
【分析】先算乘方、再算乘法、最后算加减的顺序计算即可．
【详解】解：原式=2×9+12-15
=30-15
=15
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则和运算顺序是解题的关键．
20. 解方程：
【20题答案】
【答案】，；
【解析】
【分析】选用配方法可解此方程.
【详解】解：x2-4x+2=0
x2-4x+4-2=0
(x-2)2=2
∴x-2=或x-2=
解得：，
故答案为，.
【点睛】本题考查了选用适当的方法解一元二次方程.
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）．
（1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴左侧画出△A2B2C2．
（3）在y轴上存在点P，使得△OB2P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．
【21题答案】
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（0，4），（0，﹣4）．
【解析】
【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）直接利用关于位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（3）直接利用三角形面积求法得出答案．
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）如图所示：当△OB2P的面积为6时，点P的坐标为：（0，4），
（0，﹣4）．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
22. 某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）；
b．A课程成绩在70≤x<80这一组的是：70，71，71，71，76，76，77，78，78.5，78.5，79，79，79，79.5；
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m=____________的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是____________（填“A”或“B”），理由是__________________________________________；
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．
【22题答案】
【答案】（1）78.75
（2）B；该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．
（3）估计A课程成绩跑过75.8分的人数为180人
【解析】
【分析】（1）先确定A课程的中位数落在70≤x＜80这一组，再由此分析具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；
（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；
（3）用总人数乘以样本中A课程成绩超过75.8分的人数所占比例可得．
【小问1详解】
∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8=60，
∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，
∴中位数在70≤x＜80这一组，
∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，
∴A课程的中位数为 ，即m=78.75；
故答案为：78.75；
【小问2详解】
这名学生成绩排名更靠前的课程是B；
该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．
故答案为：B；该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．
【小问3详解】
解：抽取的60名学生中．A课程成绩超过75.8的人数为：10+18+8=36 (人)．
∴（人）
答：该年级学生都参加测试．估计A课程分数超过的人数为180人．
【点睛】本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
23. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身．
图1
（1）求的度数；
（2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：，，，）
【23题答案】
【答案】（1）∠ABC的度数为113.6；（2）枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．理由见解析
【解析】
【分析】（1）过B作BK⊥MP于点K，在Rt△BMK中，利用三角形函数的定义求得∠BMK，即可求解；
（2）延长PM交FG于点H，∠NMH，在Rt△NMH中，利用三角形函数的定义即可求得的长，比较即可判断．
【详解】解：（1）过B作BK⊥MP于点K，由题意可知四边形ABKP为矩形，
∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)，
在Rt△BMK中，
，
∴∠BMK，
∴∠MBK=90-=23.6，
∴∠ABC=23.6+90=113.6，
答：∠ABC的度数为113.6；
（2）延长PM交FG于点H，由题意得：∠NHM=90，
∴∠BMN，∠BMK，
∴∠NMH，
在Rt△NMH中，
，
∴(cm)，
∴枪身端点A与小红额头的距离为(cm)，
∵，
∴枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
24. 某苹果经销商在销售苹果时，经市场调查：当苹果的售价为10元/千克时，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．设苹果售价为x元/千克（，且x为整数）．
（1）若某日苹果的销售量为28千克，求该日苹果的销售单价；
（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克，设该经销商的日销售额为W元，求W的最大值和最小值；
（3）若政府每日给该经销商补贴元后（m为正整数），发现只有5种不同的售价使日收入不少于500元，请求出m的值．（日收入=销售额+政府补贴）
【24题答案】
【答案】（1）该日苹果的单价为16元/千克
（2）W的最大值为450元，W的最小值为400元
（3）m＝6
【解析】
【分析】（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为28千克，列方程求解即可；
（2）根据题意，利用每日销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，并将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（3）由题意得：−2x2＋60x＋10m≥500，由二次函数的对称性及只有5种不同的单价使日收入不少于500元，可知x的取值为13，14，15，16，17，计算可得m的值．
【小问1详解】
解：根据题意得：40﹣2（x﹣10）＝28，
解得x＝16，
∴该日苹果的单价为16元/千克；
【小问2详解】
解：根据题意得：W＝x[40﹣2（x﹣10）]＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，
由题意得：10≤x≤18，且x为正整数，
∵﹣2＜0，
∴当x＝15时，W有最大值，最大值为450元．…
当x＝10时，W有最小值，最小值：﹣2×（10﹣15）2+450＝400（元）．
∴W的最大值为450元，W的最小值为400元；
【小问3详解】
由题意得：﹣2x2+60x+10m≥500，
∵只有5种不同的单价使日收入不少于500元，5为奇数，
∴由二次函数的对称性可知，x的取值为13，14，15，16，17．
∵当x＝13时，y＝442+10m，
当x＝12时，y＝432+10m，
∴432+10m＜500≤442+10m，
解得5.8≤m＜6.8，
∵m为正整数，
∴m＝6．
【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25. 如图，是直径，是弦，点E在圆外，于点D，交于点F，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）设的面积为，的面积为，若，求的值．
【25题答案】
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据圆的切线的定义即可求解；
（2）根据三角形的相似，得出OA2=OD×OE，再得出OB2=OD×OE，即可得出结论；
（3）根据三角形的相似，得出面积的比等于对应边的比的平方即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
（3）∵是的直径，即，
∵于点D，
∴，
∴，
∴在中，'
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的定义及相似三角形的判定与性质，解题关键是找出相似三角形，求出边之间的比例关系．
26. 如图，二次函数图象交轴于点、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作轴交轴于点，线段的延长线交于点，连接、交于点，连接．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当时，求点的坐标及；
（3）在（2）的条件下，点是轴上一个动点，求的最小值．
【26题答案】
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(1，0)代入y=ax2+bx+1，解方程组即可得到结论；
（2）由条件可得BE•DE=OE•EM，设D(a，-x2−x+1)，则可表示BE、DE、OE、EM的长，得到关于a的方程，解方程可求出D点的坐标，求出AE、DE长，则sin∠DAE的值可求；
（3）作D关于x轴对称点F，过点F作FH⊥AD于点H，交轴于点P，则∠DAE=∠HFD，DP+AP=FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．
【详解】解：（1）把点，点代入得
，解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）∵二次函数的表达式为，
令，得，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
∵轴，∴，．
∵，∴．
设，则，
∴，，，，
∴，
解得，（舍去），（舍去），
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）如图，作点关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，由垂线段最短可知此时长度最小，
∵，∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】主要考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理，垂线段最短，轴对称的性质，以及解直角三角形的知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．课程
平均数
中位数
众数
A
758
m
84.5
B
72.2
70
83
课程
平均数
中位数
众数
A
75.8
m
84.5
B
72.2
70
83
1. 的相反数是（ ）．
A. B. C. D.
2. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 一个正比例函数的图象经过(2,-1)，则它的表达式为
A. y=-2x B. y=2x C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 设，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（ ）
A. B. C. D.
8. 如图尺规作业，为的平分线，这样的作法依据是( )
A. B. C. D.
9. 如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）.
A. （32﹣2x）（20﹣x）=570B. 32x+2×20x=32×20﹣570
C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570D. 32x+2×20x﹣2x2=570
11. 学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温将至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. 水温从20℃加热到100℃，需要
B. 水温下降过程中，y与x的函数关系式是
C. 上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃水
D. 水温不低于30℃时间为
12. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 若分式有意义，则的取值范围是_____．
14. 因式分解：_________．
15. 将一个宽度相等的纸条按如图所示的方法折叠一下，则∠1＝_____．
16. 以平行四边形ABCD的顶点A为原点,直线AD为x轴建立平面直角坐标系,已知点B,D的坐标分别为(1,3),(4,0),把平行四边形向上平移2个单位长度,则C点平移后相应的点的坐标是_____.
17. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m.
18. 如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为____．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
20. 解方程：
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）．
（1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴左侧画出△A2B2C2．
（3）在y轴上存在点P，使得△OB2P面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．
22. 某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）；
b．A课程成绩在70≤x<80这一组的是：70，71，71，71，76，76，77，78，78.5，78.5，79，79，79，79.5；
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m=____________的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是____________（填“A”或“B”），理由是__________________________________________；
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．
23. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身．
图1
（1）求的度数；
（2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：，，，）
24. 某苹果经销商在销售苹果时，经市场调查：当苹果的售价为10元/千克时，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．设苹果售价为x元/千克（，且x为整数）．
（1）若某日苹果的销售量为28千克，求该日苹果的销售单价；
（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克，设该经销商的日销售额为W元，求W的最大值和最小值；
（3）若政府每日给该经销商补贴元后（m为正整数），发现只有5种不同的售价使日收入不少于500元，请求出m的值．（日收入=销售额+政府补贴）
25. 如图，是的直径，是弦，点E在圆外，于点D，交于点F，连接．
（1）求证：是切线；
（2）求证：；
（3）设的面积为，的面积为，若，求的值．
26. 如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作轴交轴于点，线段的延长线交于点，连接、交于点，连接．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当时，求点的坐标及；
（3）在（2）的条件下，点是轴上一个动点，求的最小值．
2021-2022学年度春季学期九年级数学学科综合练习（一）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1. 的相反数是（ ）．
A. B. C. D.
【1题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】在一个数前面放上“﹣”，就是该数的相反数．
【详解】解：的相反数为，即．
故选：A．
【点睛】本题考查相反数的概念，求一个数的相反数只要改变这个数的符号即可．
2. 下列图形是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【2题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】由中心对称图形的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
3. 一个正比例函数的图象经过(2,-1)，则它的表达式为
A. y=-2x B. y=2x C. D.
【3题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】设该正比例函数的解析式为，再把点代入求出的值即可．
【详解】设该正比例函数的解析式为，
正比例函数的图象经过点，
，解得，
这个正比例函数的表达式是．
故选．
【点睛】考查的是待定系数法求正比例函数的解析式，熟知正比例函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【4题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项的运算法则进行计算判断A，根据积的乘方B，根据同底数幂的除法判断C，根据同底数幂的乘法运算法则进行计算判断D．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，正确，故此选项符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查整式的运算，理解合并同类项、积的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法、解题的关键是掌握相应的运算法则．
5. 不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【5题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】分别求出两个不等式的解集，然后求出两个解集的公共部分，最后在数轴表示即可．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【6题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据得到，再根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了无理数的估算、不等式的性质等知识，通过“夹逼法”判断出是解题的关键．
7. 已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从该布袋里任意摸出1个球，是红球的概率为，则a等于（ ）
A. B. C. D.
【7题答案】
【答案】A
【解析】
【详解】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比.根据题意得：， 解得：a=1， 经检验，a=1是原分式方程的解，故本题选A.
8. 如图尺规作业，为的平分线，这样的作法依据是( )
A. B. C. D.
【8题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据作图过程可得，AF=AE，DF=DE，又AD=AD，根据“SSS”可以证明△FAD≌△EAD，即可得结论．
【详解】连接CE、CD，
在△OEC和△ODC中，
，
∴△OEC≌△ODC（SSS），
故选：A．
【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
9. 如图所示，四边形为的内接四边形，，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【9题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数，然后根据圆周角定理即可求出∠BOD的度数．
【详解】解：∵四边形为的内接四边形，，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质求出∠BAD的度数是解题的关键．
10. 如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（ ）.
A. （32﹣2x）（20﹣x）=570B. 32x+2×20x=32×20﹣570
C. （32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570D. 32x+2×20x﹣2x2=570
【10题答案】
【答案】A
【解析】
【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得：
(32−2x)(20−x)=570，
故选：A
11. 学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温（℃）与通电时间成反比例关系．当水温将至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A. 水温从20℃加热到100℃，需要
B. 水温下降过程中，y与x函数关系式是
C. 上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D. 水温不低于30℃的时间为
【11题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】因为开机加热时，饮水机每分钟上升10℃，所以开机加热到100℃，所用时间为＝8min，故A不合题意，利用点（8，100），可以求出反比例函数解析式，故B不符合题意，令y＝20，则x＝40，求出每40分钟，饮水机重新加热，故时间为9点30时，可以得到饮水机是第三次加热，并且第三次加热了10 min，令x＝10，代入到反比例函数中，求出y，即可得到C不符合题意，先求出加热时间段时，水温达到30℃所用的时间，再由反比例函数，可以得到冷却时间时，水温为30℃时所对应的时间，两个时间相减，即为水温不低于30℃时的时间．
【详解】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：＝8min，
故A选项不合题意；
由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，
代入点（8，100）可得，k＝800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，
故B选项不合题意；
令y＝20，则，
∴x＝40，
即饮水机每经过40 min，要重新从20℃开始加热一次，
从8点到9：30，所用时间为90 min，
而水温加热到100℃，仅需要8 min，
故当时间是9：30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10 min，
令x＝10，则℃＞40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：min，
令y＝30，则，
∴，
∴水温不低于30℃的时间为min，
故D选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．
12. 新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（为常数）在的图像上存在两个二倍点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【12题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线y=2x上，由-2＜x＜4可得二倍点所在线段AB的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段交点求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为y=2x，
将x=-2代入y=2x得y=-4，
将x=4代入y=2x得y=8，
设A（-2，-4），B（4，8），如图，
联立方程x2-x+c=2x，
当Δ＞0时，抛物线与直线y=2x有两个交点，
即9-4c＞0，
解得c＜，
此时，直线x=-2和直线x=4与抛物线交点在点A，B上方时，抛物线与线段AB有两个交点，
把x=-2代入y=x2-x+c得y=6+c，
把x=4代入y=x2-x+c得y=12+c，
∴，
解得c＞-4，
∴-4＜c＜满足题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13. 若分式有意义，则的取值范围是_____．
【13题答案】
【答案】x≠2
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件建立不等式，求解即可．
【详解】解：由题意，得x﹣2≠0．解得x≠2，
故答案为：x≠2.
14. 因式分解：_________．
【14题答案】
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式a，然后运用平方差公式因式分解即可．
【详解】解：原式=．
故答案为：．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
15. 将一个宽度相等的纸条按如图所示的方法折叠一下，则∠1＝_____．
【15题答案】
【答案】70°
【解析】
【分析】根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系求解则可．
【详解】解：如图，由题意可知，AB∥CD，
∴∠1+∠2=140°，
由折叠可知，∠1=∠2，
∴2∠1＝140°，
解得∠1＝70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般．
16. 以平行四边形ABCD的顶点A为原点,直线AD为x轴建立平面直角坐标系,已知点B,D的坐标分别为(1,3),(4,0),把平行四边形向上平移2个单位长度,则C点平移后相应的点的坐标是_____.
【16题答案】
【答案】(5,5)
【解析】
【详解】如图，∵四边形ABCD是平行四边形，且其顶点B、D的坐标分别为（1，3），（4，0），
∴BC=OD=4，BC∥OD，
∴点C的坐标为（5，3）.
故答案为：（5，3）.
17. 如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加______m.
【17题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，
抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为
通过以上条件可设顶点式，其中可通过代入A点坐标
代入到抛物线解析式得出：所以抛物线解析式为
当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把代入抛物线解析式得出：
解得：
所以水面宽度增加到米，比原先的宽度当然是增加了
故答案是：
【点睛】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
18. 如图，半径为4的⊙O中，CD为直径，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，点E为⊙O上一动点，CF⊥AE于点F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为____．
【18题答案】
【答案】
【解析】
【分析】由得点在以为直径的圆上运动，当点E与B重合时，此时点F与G重合，当点E与D重合时，此时点F与A重合，则点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为AG的长，然后根据条件求出AG所在圆的半径和圆心角，从而解决问题．
【详解】解：，
，
∴点F在以AC为直径的圆上运动，
以AC为直径画半圆AC，连接OA，确定出AC的中点P，连接PG，
当点E与B重合时，此时点F与G重合，
当点E与D重合时，此时点F与A重合，
∴点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长的的长，
∵点G为OD的中点，
．
，
，．
，
，
，
所在圆的半径为，所对的圆心角，
的长为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，定角对定弦，孤长公式等知识，确定点F的运动路径是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
【19题答案】
【答案】15
【解析】
【分析】先算乘方、再算乘法、最后算加减的顺序计算即可．
【详解】解：原式=2×9+12-15
=30-15
=15
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握相关运算法则和运算顺序是解题的关键．
20. 解方程：
【20题答案】
【答案】，；
【解析】
【分析】选用配方法可解此方程.
【详解】解：x2-4x+2=0
x2-4x+4-2=0
(x-2)2=2
∴x-2=或x-2=
解得：，
故答案为，.
【点睛】本题考查了选用适当的方法解一元二次方程.
21. 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）．
（1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴左侧画出△A2B2C2．
（3）在y轴上存在点P，使得△OB2P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标．
【21题答案】
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）（0，4），（0，﹣4）．
【解析】
【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（2）直接利用关于位似图形的性质得出对应点坐标进而得出答案；
（3）直接利用三角形面积求法得出答案．
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）如图所示：当△OB2P的面积为6时，点P的坐标为：（0，4），
（0，﹣4）．
【点睛】此题主要考查了轴对称变换以及位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
22. 某年级共有300名学生．为了解该年级学生A，B两门课程的学习情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．A课程成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100）；
b．A课程成绩在70≤x<80这一组的是：70，71，71，71，76，76，77，78，78.5，78.5，79，79，79，79.5；
c．A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）写出表中m=____________的值；
（2）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是____________（填“A”或“B”），理由是__________________________________________；
（3）假设该年级学生都参加此次测试，估计A课程成绩超过75.8分的人数．
【22题答案】
【答案】（1）78.75
（2）B；该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．
（3）估计A课程成绩跑过75.8分的人数为180人
【解析】
【分析】（1）先确定A课程的中位数落在70≤x＜80这一组，再由此分析具体数据得出第30、31个数据的平均数即可；
（2）根据两个课程的中位数定义解答可得；
（3）用总人数乘以样本中A课程成绩超过75.8分的人数所占比例可得．
【小问1详解】
∵A课程总人数为2+6+12+14+18+8=60，
∴中位数为第30、31个数据的平均数，而第30、31个数据均在70≤x＜80这一组，
∴中位数在70≤x＜80这一组，
∵70≤x＜80这一组的是：70 71 71 71 76 76 77 78 78.5 78.5 79 79 79 79.5，
∴A课程的中位数为 ，即m=78.75；
故答案为：78.75；
【小问2详解】
这名学生成绩排名更靠前的课程是B；
该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．
故答案为：B；该学生A课程分数低于中位数，排名在中间位置之后，而B课程分数高于中位数，排名在中间位置之前．
【小问3详解】
解：抽取的60名学生中．A课程成绩超过75.8的人数为：10+18+8=36 (人)．
∴（人）
答：该年级学生都参加测试．估计A课程分数超过的人数为180人．
【点睛】本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
23. 图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄与手臂始终在同一直线上，枪身与额头保持垂直量得胳膊，，肘关节与枪身端点之间的水平宽度为（即的长度），枪身．
图1
（1）求的度数；
（2）测温时规定枪身端点与额头距离范围为．在图2中，若测得，小红与测温员之间距离为问此时枪身端点与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）
（参考数据：，，，）
【23题答案】
【答案】（1）∠ABC的度数为113.6；（2）枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．理由见解析
【解析】
【分析】（1）过B作BK⊥MP于点K，在Rt△BMK中，利用三角形函数的定义求得∠BMK，即可求解；
（2）延长PM交FG于点H，∠NMH，在Rt△NMH中，利用三角形函数的定义即可求得的长，比较即可判断．
【详解】解：（1）过B作BK⊥MP于点K，由题意可知四边形ABKP为矩形，
∴MK=MP-AB=25.3-8.5=16.8(cm)，
在Rt△BMK中，
，
∴∠BMK，
∴∠MBK=90-=23.6，
∴∠ABC=23.6+90=113.6，
答：∠ABC的度数为113.6；
（2）延长PM交FG于点H，由题意得：∠NHM=90，
∴∠BMN，∠BMK，
∴∠NMH，
在Rt△NMH中，
，
∴(cm)，
∴枪身端点A与小红额头的距离为(cm)，
∵，
∴枪身端点A与小红额头的距离在规定范围内．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
24. 某苹果经销商在销售苹果时，经市场调查：当苹果的售价为10元/千克时，日销售量为40千克，若售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克．设苹果售价为x元/千克（，且x为整数）．
（1）若某日苹果的销售量为28千克，求该日苹果的销售单价；
（2）若政府将销售价格定为不超过18元/千克，设该经销商的日销售额为W元，求W的最大值和最小值；
（3）若政府每日给该经销商补贴元后（m为正整数），发现只有5种不同的售价使日收入不少于500元，请求出m的值．（日收入=销售额+政府补贴）
【24题答案】
【答案】（1）该日苹果的单价为16元/千克
（2）W的最大值为450元，W的最小值为400元
（3）m＝6
【解析】
【分析】（1）根据售价每提高1元/千克，日销售量就减少2千克，且某日销售量为28千克，列方程求解即可；
（2）根据题意，利用每日销售额等于销售量乘以销售单价，列出函数关系式，并将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
（3）由题意得：−2x2＋60x＋10m≥500，由二次函数的对称性及只有5种不同的单价使日收入不少于500元，可知x的取值为13，14，15，16，17，计算可得m的值．
【小问1详解】
解：根据题意得：40﹣2（x﹣10）＝28，
解得x＝16，
∴该日苹果的单价为16元/千克；
【小问2详解】
解：根据题意得：W＝x[40﹣2（x﹣10）]＝﹣2x2+60x＝﹣2（x﹣15）2+450，
由题意得：10≤x≤18，且x为正整数，
∵﹣2＜0，
∴当x＝15时，W有最大值，最大值为450元．…
当x＝10时，W有最小值，最小值：﹣2×（10﹣15）2+450＝400（元）．
∴W的最大值为450元，W的最小值为400元；
【小问3详解】
由题意得：﹣2x2+60x+10m≥500，
∵只有5种不同的单价使日收入不少于500元，5为奇数，
∴由二次函数的对称性可知，x的取值为13，14，15，16，17．
∵当x＝13时，y＝442+10m，
当x＝12时，y＝432+10m，
∴432+10m＜500≤442+10m，
解得5.8≤m＜6.8，
∵m为正整数，
∴m＝6．
【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25. 如图，是直径，是弦，点E在圆外，于点D，交于点F，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）设的面积为，的面积为，若，求的值．
【25题答案】
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）根据圆的切线的定义即可求解；
（2）根据三角形的相似，得出OA2=OD×OE，再得出OB2=OD×OE，即可得出结论；
（3）根据三角形的相似，得出面积的比等于对应边的比的平方即可求解．
【详解】解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴是的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴；
（3）∵是的直径，即，
∵于点D，
∴，
∴，
∴在中，'
设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了圆的切线的定义及相似三角形的判定与性质，解题关键是找出相似三角形，求出边之间的比例关系．
26. 如图，二次函数图象交轴于点、，交轴于点，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作轴交轴于点，线段的延长线交于点，连接、交于点，连接．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当时，求点的坐标及；
（3）在（2）的条件下，点是轴上一个动点，求的最小值．
【26题答案】
【答案】（1）；（2），；（3）
【解析】
【分析】（1）把点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(1，0)代入y=ax2+bx+1，解方程组即可得到结论；
（2）由条件可得BE•DE=OE•EM，设D(a，-x2−x+1)，则可表示BE、DE、OE、EM的长，得到关于a的方程，解方程可求出D点的坐标，求出AE、DE长，则sin∠DAE的值可求；
（3）作D关于x轴对称点F，过点F作FH⊥AD于点H，交轴于点P，则∠DAE=∠HFD，DP+AP=FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．
【详解】解：（1）把点，点代入得
，解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）∵二次函数的表达式为，
令，得，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
∵轴，∴，．
∵，∴．
设，则，
∴，，，，
∴，
解得，（舍去），（舍去），
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）如图，作点关于轴的对称点，过点作于点，交轴于点，连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，由垂线段最短可知此时长度最小，
∵，∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】主要考查了待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，勾股定理，垂线段最短，轴对称的性质，以及解直角三角形的知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题．课程
平均数
中位数
众数
A
758
m
84.5
B
72.2
70
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平均数
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众数
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75.8
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