专题03 图形的平移与旋转（考题猜想，易错必刷30题9种题型专项训练）（原卷版+解析版）

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生活中的平移现象
坐标与图形变化-平移
中心对称
关于原点对称的点的坐标
利用旋转设计图案
平移的性质
旋转的性质
中心对称图形
作图-旋转变换

一．生活中的平移现象（共4小题）
1．右图要被移动到其它位置，下面哪个图形是移动后的该图（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：根据移动的特点，B、C、D中图形的形状发生了改变，不是平移；
A、是图形旋转180°得到的，是移动．
故选：A．
2．如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD，长AB＝50米，宽BC＝25米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那小明沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（ ）
A．74米B．98米C．99米D．100米
【答案】B
【解答】解：由题意得：
50+（25﹣2×0.5）×2
＝50+24×2
＝50+48
＝98（米），
∴从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为98米，
故选：B．
3．如图是一个会场台阶的截面图，要在上面铺上地毯，则所需地毯的长度是 3.2 m．
【答案】3.2．
【解答】解：楼梯的长为2m，高为1.2m，则所需地毯的长度是2+1.2＝3.2（m）．
故答案为：3.2．
4．夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在河中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥（图中虚线），若荷塘周长为900m，且桥宽忽略不计，则小桥的总长为 450 m．
【答案】450．
【解答】解：∵荷塘周长为900m，
∴小桥总长为：900÷2＝450（m）．
故答案为：450．
二．平移的性质（共2小题）
5．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为 30 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB＝30．
故答案为：30．
6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，将△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，若四边形ADFC的面积为24，则平移的距离为 4 ．
【答案】4．
【解答】解：由平移得：AD∥CF，AD＝CF，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∵四边形ADFC的面积为24，∠B＝90°，
∴CF•AB＝24，
∵AB＝6，
∴CF＝4，
∴平移的距离为4，
故答案为：4．
三．坐标与图形变化-平移（共1小题）
7．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）．
（1）写出点B的坐标（ 4，6 ）．
（2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标．
（3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）根据长方形的性质，可得AB与y轴平行，BC与x轴平行；
故B的坐标为（4，6）；
故答案为：（4，6）；
（2）根据题意，P的运动速度为每秒2个单位长度，
当点P移动了4秒时，则其运动了8个长度单位，
此时P的坐标为（4，4），位于AB上；
（3）根据题意，点P到x轴距离为5个单位长度时，有两种情况：
P在AB上时，P运动了4+5＝9个长度单位，此时P运动了4.5秒；
P在OC上时，P运动了4+6+4+1＝15个长度单位，此时P运动了＝7.5秒．
四．旋转的性质（共16小题）
8．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（ ）
A．B．C．4D．6
【答案】B
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，
∴AC＝AC1＝2，∠CAC1＝60°，
∵AB＝3，AC＝2，∠BAC＝30°，
∴∠BAC1＝90°，
∴在Rt△BAC1中，BC1＝＝．
故选：B．
9．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C'AB′的度数为（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【答案】B
【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，
∴∠AB′B＝（180°﹣120°）＝30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，
故选：B．
10．如图，直线c与直线a相交于点A，与直线b相交于点B，∠1＝130°，∠2＝60°，若要使直线a∥b，则将直线a绕点A按如图所示的方向至少旋转（ ）
A．10°B．20°C．60°D．130°
【答案】A
【解答】解：∵∠2＝60°，
∴若要使直线a∥b，则∠3应该为60°，
又∵∠1＝130°，
∴∠3＝50°，
∴直线a绕点A按顺时针方向至少旋转：60°﹣50°＝10°，
故选：A．
11．如图，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝15°，在△OCD中，OC＝OD，∠COD＝45°，且点C在边OA上，连接CB，将线段OB绕点O逆时针旋转一定角度得到线段OE，使得DE＝CB，则∠BOE的度数为（ ）
A．15°B．15°或45°C．45°D．45°或60°
【答案】B
【解答】解：如图，当OE在∠BOD内部时，若∠DOE＝∠COB＝15°，则
由OD＝OC，∠DOE＝∠COB，OB＝OE可得，△ODE≌△OCB，
故DE＝CB，
此时∠BOE＝45°﹣15°﹣15°＝15°；
当OE'在∠BOD外部时，则
由OD＝OC，∠DOE'＝∠COB，OB＝OE可得，△ODE'≌△OCB，
故DE'＝CB，
此时∠BOE'＝45°﹣15°+15°＝45°；
故选：B．
12．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕A′逆时针旋转一定角度，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为（ ）
A．4，30°B．2，60°C．1，60°D．3，30°
【答案】B
【解答】解：由平移得：AB＝A′B′＝4，∠B＝∠A′B′C′＝60°，
由旋转得：A′B′＝A′C，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴∠B′A′C＝60°，B′C＝A′B′＝4，
∵BC＝6，
∴BB′＝BC﹣B′C＝6﹣4＝2，
∴平移的距离为2，旋转角的度数为60°，
故选：B．
13．已知等边△ABC的边长为4，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（ ）
A．B．C．2D．不能确定
【答案】B
【解答】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝2，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝1，
∴DQ＝＝，
∴DQ的最小值是，
故选：B．
14．如图，在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分的面积为 9 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝6，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB＝6，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，
如图，过A1作A1D⊥AB于D，则A1D＝A1B＝3，
∴S△A1BA＝×6×3＝9，
又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，
S△A1BC1＝S△ABC，
∴S阴影＝S△A1BA＝9．
故答案为：9．
15．如图，△ABC是等边三角形，AB＝3，E在AC上且AE＝AC，D是直线BC上一动点，线段ED绕点E逆时针旋转90°，得到线段EF，当点D运动时，则线段AF的最小值是 1+ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，过A作AP⊥EG于P，过F作FH⊥EG于H，则∠DGE＝∠EHF＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠EDG+∠DEG＝90°＝∠HEF+∠DEG，
∴∠EDG＝∠FEH，
又∵EF＝DE，
∴△DEG≌△EFH（AAS），
∴HF＝EG，
∵△ABC是等边三角形，AB＝3，AE＝AC，
∴AE＝2，CE＝1，∠AEH＝∠CEG＝30°，
∴CG＝CE＝，AP＝AE＝1，
∴EG＝CG＝，
∴HF＝，
∴当点D运动时，点F与直线GH的距离始终为个单位，
∴当AF⊥EG时，AF的最小值为AP+HF＝1+，
故答案为：1+．
16．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有 ①②③ （填序号）
①△BPQ是等边三角形 ②△PCQ是直角三角形 ③∠APB＝150° ④∠APC＝135°
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠BPA＝∠BQC，BP＝BQ＝4，QC＝PA＝3，∠ABP＝∠QBC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，
∴△BPQ是等边三角形，
∴PQ＝BP＝4，
∵PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，
∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，即△PQC是直角三角形，
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠BOQ＝∠BQP＝60°，
∴∠BPA＝∠BQC＝60°+90°＝150°，
∴∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠QPC＞30°，
即∠APC＜135°，
故答案为：①②③．
17．如图，O是等边△ABC内一点，OA＝6，OB＝8，OC＝10，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论：①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O'的距离为8；③四边形AOBO'的面积为24+15； ④∠AOB＝150°；⑤S△AOC+S△AOB＝9+24，其中正确的结论是 ①②④⑤ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：在△BO′A和△BOC中，
∴△BO′A≌△BOC（SAS）．
∴O′A＝OC．
∴△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到，①正确；
如图1，连接OO′，根据旋转的性质可知△BOO′是等边三角形，
∴点O与O'的距离为8，②正确；
在△AOO′中，AO＝6，OO′＝8，AO′＝10，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°．
∴Rt△AOO′面积为×6×8＝24，
又等边△BOO′面积为×8×4＝16，
∴四边形AOBO'的面积为24+16，③错误；
∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，④正确；
如图2，将线段，AO以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AO'，连接OO′，
则△AO′B≌△AOC（SAS），
△BOO′是直角三角形，∠BOO′＝90°，
△AOO′是等边三角形，
所以△AOC面积+△AOB面积＝四边形AO′BO面积＝△AOO′面积+△BOO′＝9+24，⑤正确．
故答案为①②④⑤．
18．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝5，BC＝7，点D是直线AB上一动点，线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，则线段BE长度的最小值为 ．
【答案】．
【解答】解：如图1，过点C作CT⊥CB于C，取CT＝CB，连接BT，DT，过点T作TH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K，CT与直线AB交于O，
∵∠ECD＝∠BCT＝90°，
∴∠ECB＝∠DCT，
∵CE＝CD，CB＝CT，
∴△ECB≌△DCT（SAS），
∴BE＝DT，
∴当点D与H重合时，DT的值最小，此时BE的值最小，最小值＝TH的长，
∵CK⊥AB，
∴CK2＝AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，
∴52﹣AK2＝72﹣（8﹣AK）2，
∴AK＝，
∴AC＝2AK，
∴∠ACK＝30°，CK＝，
设AO＝x，则OK＝+x，
则OC2＝CK2+OK2＝BO2﹣BC2，
∴（+x）2+（）2＝（8+x）2﹣72，
∴x＝，
∵S△BOT＝S△BCT﹣S△BCO，
∴•TH•（8+）＝×7×7﹣××（8+），
∴TH＝，
∴BE的最小值为．
解法二：如图2，过点C作CH⊥AB于H，过C作CG⊥CH于C，取CG＝CH，连接EG，延长EG交AB于F．
∵∠ECD＝∠HCG＝90°，
∴∠ECG＝∠DCH，
∵CE＝CD，CG＝CH，
∴△CGE≌△CHD（SAS），
∴∠CGE＝∠CHD＝∠HCG＝90°，
∵CH＝CG，
∴四边形CHFG是正方形，
∴点E在直线EF上运动，当BE⊥EF时，BE的值最小，最小值是BF，
设AH＝x，则有52﹣x2＝72﹣（8﹣x）2，
∴x＝，
∴AH＝，CH＝HF＝，
∴BF＝AB﹣AH﹣HF＝8﹣﹣＝﹣，
∴BE的最小值为．
故答案为：．
19．如图，已知∠AOB＝90°，点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，…，连接AA1，AA2，AA3…，依此作法，则∠AA2A3＝ 157.5° ，∠AAnAn+1等于 （180﹣） 度．（用含n的代数式表示，n为正整数）．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵点A绕点O顺时针旋转后的对应点A1落在射线OB上，
∴OA＝OA1，
∴∠AA1O＝∠AOB＝，
∵点A绕点A1顺时针旋转后的对应点A2落在射线OB上，
∴A1A＝A1A2，
∴∠AA2A1＝∠AA1O＝，∠AA2A3＝180°﹣＝157.5°，
∵点A绕点A2顺时针旋转后的对应点A3落在射线OB上，
∴A2A＝A2A3，
∴∠AA3A2＝∠AA2A1＝，
以此类推，∠AAnAn﹣1＝，
∴∠AAnAn+1＝180°﹣．
故答案为：157.5°，180﹣．
20．阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 150° ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．
21．如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转，得到△CQB．
（1）旋转角为 60 度；
（2）求点P与点Q之间的距离；
（3）求∠BPC的度数．
【答案】（1）60；
（2）4；
（3）150°．
【解答】解：（1）∵将△APB绕点B逆时针旋转，
∴∠PBQ＝∠ABC，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠PBQ＝∠ABC＝60°，
∴旋转角度为60°，
故答案为：60；
（2）连接PQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵△QCB是△PAB绕点B逆时针旋转得到的，
∴△QCB≌△PAB，
∴BP＝BQ，∠PBQ＝∠ABC＝60°，CQ＝AP＝5，
∵BP＝BQ＝4，∠PBQ＝60°，
∴△PBQ是等边三角形，
∴PQ＝PB＝4；
即点P与点Q之间的距离是4；
（3）∵QC＝5，PC＝3，PQ＝4，
而32+42＝52，
∴PC2+PQ2＝CQ2，
∴△PCQ是直角三角形，且∠QPC＝90°，
∵△PBQ是等边三角形，
∴∠BPQ＝60°，
∴∠BPC＝∠BPQ+∠QPC＝60°+90°＝150°．
22．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，OM，ON，ON始终在OM的右侧，∠BOC＝112°，∠MON＝α．
（1）如图1，当α＝70°，OM平分∠BOC时，求∠NOB的度数；
（2）如图2，当OM与OB边重合，ON在OB的下方时，α＝80°，将∠MON绕O点按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转n（0°＜n＜180°），使射线ON与∠BOC的角平分线形成夹角为30°，求此时旋转一共用了多少秒；
（3）当∠MON在直线AB上方时，若α＝90°，点F在射线OB上，射线OF绕点O顺时针旋转n度（0°＜n＜180°），恰好使得∠FOA＝2∠AOM，OH平分∠NOC，∠FOH＝124°，请直接写出此时n的值．
【答案】（1）14°；
（2）旋转一共用了26.5s或41.5s；
（3）54.4°或144°．
【解答】解：（1）∵∠BOC＝112°，OM平分∠BOC，
∴∠MOB＝∠BOC＝56°，
∵∠MON＝70°，
∴∠NOB＝∠MON﹣∠MOB＝14°；
（2）由（1）知∠HOB＝∠COB＝56°，
设旋转时间为t s，
①当点N′在OH的右侧时，∠HON′＝30°，
∴∠N′OB＝56°﹣30°＝26°，
∴∠NON′＝∠N′OB+∠BON＝26°+80°＝106°；
∴t＝106°÷4°＝26.5；
②当点N′在OH的左侧时，∠HON′′＝30°，
∴∠N′OB＝56°﹣30°＝26°，
∴∠NON′′＝∠N′′OH+∠HOB+∠BON＝30°+56°+80°＝166°；
∴t＝166°÷4°＝41.5；
综上，旋转一共用了26.5s或41.5s；
（3）当0°＜n＜90°时，如图，
∵∠BOF＝n，
∴∠AOF＝180°﹣n，
∵∠FOA＝2∠AOM，
∴∠AOM＝∠AOF＝90°﹣n，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM+∠BON＝90°，
∴∠BON＝n，
∴∠HON＝∠HOF﹣∠BON﹣∠BOF＝124°﹣n，
∠CON＝∠BOC﹣∠BON＝112°﹣n，
∵OH平分∠CON，
∴∠CON＝2∠HON，
∴112°﹣n＝2（124°﹣n），解得n＝54.4°；
当90°＜n＜180°时，如图，
∵∠BOF＝n，
∴∠AOF＝180°﹣n，
∵∠FOA＝2∠AOM，
∴∠AOM＝∠AOF＝90°﹣n，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOM+∠BON＝90°，
∴∠BON＝n，
∴∠HON＝360°﹣∠HOF﹣∠BON﹣∠BOF＝360°﹣124°﹣n﹣n＝236°﹣n，
∠CON＝∠BOC﹣∠BON＝112°﹣n，
∵OH平分∠CON，
∴∠CON＝2∠HON，
∴112°﹣n＝2（236°﹣n），解得n＝144°；
综上，n为54.4°或144°．
23．把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，交边AC，BC于点M，N．
（1）如图1，若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM，MN，BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论．
（2）如图2，当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM，MN，BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论．
【答案】（1）AM+BN＝MN．证明见解答；
（2）AM+BN＝MN．证明见解答．
【解答】解：（1）AM+BN＝MN．证明如下：
如图1，延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，
∵∠A＝∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠DBE＝90°，
∵△ADC≌△BDC，
∴AD＝BD，
在△DAM和△DBE中，
，
∴△DAM≌△DBE（SAS），
∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，
∵∠A＝90°，∠ACD＝30°，
∴∠ADC＝∠BDC＝60°，
∵∠MDN＝60°，
∴∠MDN＝∠ADC＝∠BDC，
∴∠ADM+∠BDN＝∠BDE+∠BDN＝∠EDN＝60°＝∠MDN，
在△MDN和△EDN中，
，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝NE，
∵NE＝BE+BN＝AM+BN，
∴AM+BN＝MN；
（2）AM+BN＝MN．证明如下：
如图2，延长CB到E，使BE＝AM，连接DE．
由（1）同理得△DAM≌△DBE（SAS），
∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，
∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，∠ADC＝∠CDB，
∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，
∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∠CDM＝∠NDB，
∴∠MDN＝∠NDE．
在△MDN和△EDN中，
，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝NE，
∵NE＝BE+BN＝AM+BN，
∴AM+BN＝MN．
五．中心对称（共1小题）
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣5）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）
【答案】A
【解答】解：∵点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴A（4，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则
，
解得，
∴直线AB解析式为y＝x﹣1，
令x＝0，则y＝﹣1，
∴P（0，﹣1），
又∵点A与点A'关于点P成中心对称，
∴点P为AA'的中点，
设A'（m，n），则＝0，＝﹣1，
∴m＝﹣4，n＝﹣5，
∴A'（﹣4，﹣5），
故选：A．
六．中心对称图形（共2小题）
25．如所示图形中，既是轴对称图形但又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：A．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
26．数学兴趣小组活动时，提出了如下问题：如图1，在△ABC中若AB＝5，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决方法：延长AD到E．使得DE＝AD．再连接BE（或将ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD）．把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
迁移应用：请参考上述解题方法，证明下列命题：
如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
（1）求证：BE+CF＞EF；
（2）若∠A＝90°，探索线段BE，CF，EF之间的等量关系，并加以证明．
【答案】见试题解答内容．
【解答】（1）证明：如图，延长FD到G，使得DG＝DF，连接BG、EG．
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF＝BG，DF＝DG，
∵DE⊥DF，
∴EF＝EG．