第3和第6章 图形平移旋转和平行四边形（考点压轴，压轴必刷7种题型29题）（原卷版+解析版）

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一．三角形中位线定理（共5小题）
1．已知：四边形ABCD中，AB＝2，CD＝3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（ ）
A．1＜MN＜5B．1＜MN≤5C．＜MN＜D．＜MN≤
2．如图，△ABC中，∠BAD＝∠CAD，BE＝CE，AD⊥BD，DE＝，AB＝4，则AC的值为（ ）
A．6B．C．7D．8
3．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是（ ）
A．B．5C．D．10
4．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为 ．
5．（1）证明三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；[要求根据图1写出已知、求证、证明；在证明过程中，至少有两处写出推理依据（“已知”除外）]
（2）如图2，在▱ABCD中，对角线交点为O，A1、B1、C1、D1分别是OA、OB、OC、OD的中点，A2、B2、C2、D2分别是OA1、OB1、OC1、OD1的中点，…，以此类推．
若▱ABCD的周长为1，直接用算式表示各四边形的周长之和l；
（3）借助图形3反映的规律，猜猜l可能是多少？
二．平行四边形的性质（共4小题）
6．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE平分∠BAD，交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE，下列结论：①∠CAD＝30°；②OD＝AB；③S▱ABCD＝AC•CD；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，AB＝BC，连接OE．下列结论：①∠ADO＝30°；②S▱ABCD＝AB•AC；③OB＝AB；④S四边形OECD＝S△AOD，其中成立的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝10，AB＝8，点P在边AD上，且BP＝BC，点M在线段BP上，点N在线段BC的延长线上，且PM＝CN，连接MN交CP于点F，过点M作ME⊥CP于E，则EF＝ ．
9．在平行四边形ABCD中，E是BC上任意一点，延长AE交DC的延长线于点F．
（1）在图中当CE＝CF时，求证：AF是∠BAD的平分线．
（2）根据（1）的条件和结论，若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图），请求出∠BDG的度数．
（3）如图，根据（1）的条件和结论，若∠BAD＝60°，且FG∥CE，FG＝CE，连接DB、DG，求出∠BDG的度数．
三．平行四边形的判定（共1小题）
10．如图，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共
有 个．
四．平行四边形的判定与性质（共6小题）
11．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝ 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形．
12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（3，3），四边形OABC是平行四边形，点D、E份别在边OA、BC上，且OD＝OA，CE＝4．动点P、Q在平行四边形OABC的一组邻边上，以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，其面积为 ．
13．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD、∠ABC的平分线AF、BG分别与线段CD交于点F、G，AF与BG交于点E．
（1）求证：AF⊥BG，DF＝CG；
（2）若AB＝10，AD＝6，AF＝8，求FG和BG的长度．
14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝12cm，BC＝18cm，点P从点A出发以2cm/s的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．
（1）从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD？
（2）从运动开始，当t取何值时，△PQC为直角三角形？
15．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．
（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；
（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA＝PB，PC＝PD，∠APB＝∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；
（3）若改变（2）中的条件，使∠APB＝∠CPD＝90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）
16．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB⊥AC，AB＝3cm，BC＝5cm．点P从A点出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，连接PO并延长交BC于点Q．设运动时间为t（s）（0＜t＜5）
（1）当t为何值时，四边形ABQP是平行四边形？
（2）设四边形OQCD的面积为y（cm2），当t＝4时，求y的值．
五．四边形综合题（共1小题）
17．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整
原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，连接EF，则EF＝BE+DF，试说明理由．
（1）思路梳理
∵AB＝AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∵∠ADC＝∠B＝90°，
∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线．
根据 ，易证△AFE≌ ，得EF＝BE+DF．
（2）类比引申
如图2，四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系 时，仍有EF＝BE+DF．
（3）联想拓展
如图3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．
六．旋转的性质（共11小题）
18．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（ ）
A．75°B．60°C．45°D．15°
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的有（ ）
①AE＝CF；②EC+CF＝；③DE＝DF；④若△ECF的面积确定，则EF的长也是一个定值．
A．①②B．①③C．①②③D．①②③④
20．如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①OM+ON的值不变；②∠PNM＝∠POB；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
21．如图，已知直线y＝kx+2k交x、y轴于A、B两点，以AB为边作等边△ABC（A、B、C三点逆时针排列），D、E两点坐标分别为（﹣6，0）、（﹣1，0），连接CD、CE，则CD+CE的最小值为（ ）
A．6B．5+C．6.5D．7
22．若点D为等边△ABC内一点，且DA＝4，DB＝3，DC＝5，则此等边三角形ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，把△ABC绕点C顺时针旋转到△A1B1C的位置，A1B1交直线CA于点D．若AC＝6，BC＝8，当线段CD的长为 时，△A1CD是等腰三角形．
24．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是 ．
25．如图，点D是等边△ABC的边BC上的一个动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转60°交AC于点E，若AB＝4，则AE的最小值是 ．
26．（1）如图1，O是等边△ABC内一点，连接OA、OB、OC，且OA＝3，OB＝4，OC＝5，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．
求：①旋转角的度数 ；
②线段OD的长 ；
③求∠BDC的度数．
（2）如图2所示，O是等腰直角△ABC（∠ABC＝90°）内一点，连接OA、OB、OC，将△BAO绕点B顺时针旋转后得到△BCD，连接OD．当OA、OB、OC满足什么条件时，∠ODC＝90°？请给出证明．
27．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按照如图①的方式叠放在一起（∠A＝30°，∠ABC＝60°，∠E＝∠EDC＝45°），且三角板ACB的位置保持不动．
（1）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转至图②，若∠ACE＝60°，求∠DCB的度数．
（2）将三角板DCE绕点C按顺时针方向旋转，当旋转到ED∥AB时，求∠BCE的度数（请先在备用图上补全相应的图形）．
（3）当0°＜∠BCE＜180°且点E在直线BC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠BCE所有可能的值；若不存在，请说明理由．
28．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD．
（1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形；
（2）求∠DAO的度数；
（3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
七．几何变换综合题（共1小题）
29．如图，O是正三角形ABC内一点，OA＝3，OB＝4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；
②点O与O′的距离为4；
③∠AOB＝150°；
④S四边形AOBO′＝6+3；
⑤S△AOC+S△AOB＝6+．
其中正确的结论是（ ）
A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③
6；学号：1