江西省赣州市于都县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份江西省赣州市于都县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本卷共23题，卷面分120分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：A、，不是最简二次根式，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B选项符合题意；
C、 ，不是最简二次根式，故C不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故D不符合题意．
故选：B．
2. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：∵二次根式有意义，
∴，
解得：．
故选A．
3. 如图，分别是的边上的中点，如果的周长是，则的周长是（）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：分别是的边上的中点
是的中位线，，
的周长，
，
周长
故选∶D．
4. △ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（ ）
A b2- c2=a2B. a:b:c= 5:12:13
C. ∠A:∠B:∠C = 3:4:5D. ∠C =∠A -∠B
答案：C
解析：A. b2- c2=a2，根据勾股定理逆定理可以判断，△ABC是直角三角形，故不符合题意；
B. a:b:c= 5:12:13，设，则，
则，根据勾股定理逆定理可以判断，△ABC是直角三角形，故不符合题意；
C. ∠A:∠B:∠C = 3:4:5，设∠A、∠B、∠C分别是，
则，，则，
所以△ABC是不直角三角形，故符合题意；
D. ∠C =∠A -∠B，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠A=90°，是直角三角形，故不符合题意，
故选C.
5. 如图，将三角尺沿边所在直线平移后得到，连接下列结论错说的是（ ）
A. 是等腰三角形B. 四边形是平行四边形
C. 四边形是矩形D. 四边形是菱形
答案：D
解析：解：∵三角尺沿边所在直线平移后得到，
，，
∴四边形是平行四边形
∴四边形是矩形
是等腰三角形
故A、B、C正确；
在中，
∴四边形不是菱形；
故选：D．
6. 如图，菱形的对角线，交于点O，过点D作于点E，连接，若，，则菱形的面积为（ ）
A. 48B. 60C. 96D. 192
答案：C
解析：解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴菱形的面积为：，故C正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分）
7. 当时，二次根式的值是____________．
答案：
解析：解：当时，，
故答案为：．
8. 如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若AO＝3，则AC＝___．
答案：6
解析：四边形是平行四边形，
，
，
．
故答案为：．
9. 如图，在中，请添加一个条件：______，使得成为矩形．
答案：（答案不唯一）
解析：条件是，理由是：
∵四边形是平行四边形，，
∴平行四边形是矩形，
故答案为：．
10. 如图，长方形E的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为5、23、10，则正方形D的面积为______．
答案：3
解析：解：设正方形的面积为，
长方形的长是宽的2倍，
长方形的长的平方是长方形的宽的平方的4倍，
正方形、、、的面积依次为5、23、10、，
根据图形得：，
解得：，
正方形的面积为3，
故答案为：3
11. 勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组.毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），….分析上面勾股数组可以发现，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），…分析上面规律，第5个勾股数组为_____.
答案：（11，60，61）
解析：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4=1×（3+1），12=2×（5+1），24=3×（7+1），可得
第4组勾股数中间的数为4×（9+1）=40，即勾股数为（9，40，41）；
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）=60，即（11，60，61）．
故答案为：（11，60，61）．
12. 在等腰三角形纸片中，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______．
答案：或或
解析：解：如图：过点作于点D，
∵边，，
∴，
∴，

如图①所示：可得四边形是矩形，则其四边形的周长为：，
如图②所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：，
如图③所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：．
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共计30分）
13. （1）计算：；
（2）已知最简二次根式与可以合并，求的值．
答案：（1） （2）
解析：解：（1）
；
（2）∵最简二次根式与可以合并，
∴，
解得．
14. 已知：如图，四边形ABCD中，∠ACB=90°，AB=15,BC=9,AD=5,DC=13,
求证：△ACD是直角三角形．
答案：见解析
解析：试题分析：首先利用勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理的逆定理证明 可得是直角三角形．
试题解析：证明：




∴△ACD是直角三角形.
15. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且，连接AE，CF．求证：AE//CF．
答案：见解析
解析：证明：∵四边形是平行四边形，
∴∥，＝．
∵，
∴．
即．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
∴．
16. 在计算的值时，小亮的解题过程如下：
解：原式
①
②
③
④
（1）老师认为小亮的解法有错，请你指出：小亮是从第______步开始出错的；
（2）请你给出正确的解题过程．
答案：（1）小明从第③步开始出错的；
（2）答案见解析
小问1解析：
解：小亮从第③步开始出错的；
小问2解析：
解：原式，
．
17. 如图，在菱形中是的中点．请仅用无刻度直尺完成下列作图，
（1）在图1中，过点作的平行线，与交于点．
（2）在图2中，作线段的垂直平分线，垂足为点．
答案：（1）见解析 （2）见解析
小问1解析：
解：连接和交于点O，连接并延长交于点Q，则即为所作；
小问2解析：
解：连接和交于点O，连接交于点E，过A、E作直线交于点H，则即为所作．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共计24分）
18. 如图，一根细线上端固定，下端系一个小重物，让这个小重物来回自由摆动，来回摆动一次所用的时间t（单位：秒）与细线长度l（单位：m）之间满足关系，

（1）当所花时间为秒时，求此时细线的长度．
（2）当细线的长度为2m时，小重物来回摆动一次所用的时间是多少？（结果保留小数点后一位，，）
答案：（1）
（2）小重物来回摆动一次所用的时向约为．
小问1解析：
解：当时，而，
∴，
解得：；
小问2解析：
由题可知，
则小重物来回摆动一次所用的时间为；
．
答：小重物来回摆动一次所用的时向约为．
19. “儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．

（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
答案：（1）21.6米
（2）8米
小问1解析：
在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米，
答：风筝的高度为21.6米；
小问2解析：
由题意得，，
，
（米，
（米，
他应该往回收线8米．

20. 如图，在△ABC中，，BD为△的中线．，，连接CE．
（1）求证：四边形BDCE为菱形；
（2）连接DE，若，，求DE的长．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
证明：∵，，
∴ 四边形为平行四边形．
∵ ，BD为AC边上的中线，
∴ ，
∴ 四边形为菱形．
小问2解析：
解：连接DE交BC于O点，如图．
∵ 四边形为菱形，，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
五、解答题（林大题共2小题，每小影9分，共计18分）
21. 如图，在四边形中，，，为边上一点，且，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，求的长．
答案：（1）证明见解析
（2）
小问1解析：
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形；
小问2解析：
解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
22. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，
如：，善于思考的小明进行了以下探索：
设（其中均为整数），则有．
．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当均为正整数时，若，用含的式子分别表示，得______，_____；
（2）试着把化成一个完全平方式．
（3）若是216的立方根，是16的平方根，试计算：．
答案：（1），
（2）
（3）
小问1解析：
解：∵，
∴，
∴，．
故答案为：，．
小问2解析：
解：
．
小问3解析：
解：∵a是216的立方根，b是16的平方根，
∴，
∴
．
六、解答题（本大题共12分）
23. 菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”．
（1）如图1，已知菱形ABCD的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n．若我们将菱形的“接近度”定义为（即“接近度”＝），于是越小，菱形就越接近正方形．
①若菱形的“接近度”＝_____________，菱形就是正方形；
②若菱形的一个内角为60°，则“接近度”＝________________．
（2）如图2，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，BC的长分别为m，n，我们将矩形的“接近度”定义为（即“接近度”＝）．
①若矩形的“接近度”＝______________，矩形就是正方形；
②若∠AOD＝45°，求矩形的“接近度”．
答案：（1）①0；②
（2）①1；②
小问1解析：
解：①若菱形的“接近度”＝0，菱形就是正方形；
理由：当AC＝BD时，菱形ABCD为正方形，
此时＝0．
故答案为：0；
②如题图1，若菱形的一个内角为60°，
根据菱形对角线的性质得，
∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，
∴AO＝1，AC＝2．
由勾股定理可得，
，
故答案为：；
小问2解析：
解：①当AB＝BC时，矩形ABCD为正方形．
此时，
故答案为：1；
②∵∠AOD＝∠OAB＋∠OBA＝45°，OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝22.5°
如图，在AB上取点E，使BC＝BE，连接CE，可得∠CEB＝45°，
∴∠ACE＝∠CEB－∠OAB＝22.5°，
∴AE＝CE．
设BC＝a，可得BE＝a，
由勾股定理可得，
∴，
∴．