山西省晋中市平遥县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份山西省晋中市平遥县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分：100分 时间：90分钟）
一、选择题：（本大题10个小题，每小题3分，共30分）每个小题都给出了四个选项，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在表格中．
1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. （笛卡尔爱心曲线）B. （蝴蝶曲线）
C. （费马螺线曲线）D. （科赫曲线）
【答案】D
解析：解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意．
故选：D．
2. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过桥洞时，我们往往会看到下图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高的范围可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：由题意得：，故D正确．
故选：D．
3. 如图，平分于点于点，若，则图中长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：∵，，
∴，
∵平分于点于点，
∴．
故选：A．
4. 如图，数轴上表示的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：由图可得，且
在数轴上表示的解集是，
故选A．
5. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上点到这个角两边的距离相等
C. 三角形的三条高交于一点
D. 三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
解析：如图所示：过两把直尺交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
6. 在平面直角坐标系中，将点向左平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后与点B重合，则点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：解：∵将点向左平移3个单位长度，再向左上移5个单位长度，得到点，
∴点的横坐标为，纵坐标为，
∴的坐标为．
故选：B．
7. 如图，把绕着点A顺时针旋转得到，点C的对应点落在边上，若，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：由旋转的性质得：，，
∴，，
∴，
故选：C．
8. 在平面直角坐标系中，若点在第二象限，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：由题意得：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∴原不等式组的解集为：；
故选：C．
9. 如图，在中，，将沿边所在的直线向下平移得到，与交于，下列结论中不一定正确的（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：∵沿直线边所在的直线向下平移得到，
∴，，
∴，，
∴，
观察四个选项，不正确，
故选：A．
10. 如图，已知直线y1＝x+m与y2＝kx﹣1相交于点P（﹣1，2），则关于x的不等式x+m＜kx﹣1的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
解析：解：根据图象得,当x<-1时，x+m故选D
二、填空题：（本题5个小题，每小题3分，共15分）请将正确答案直接填在题后横线上．
11. “全等三角形的对应角相等”的逆命题是_______________________________．
【答案】对应角相等的两个三角形全等
解析：解：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形．
故答案为：对应角相等的两个三角形是全等三角形．
12. 已知直线过和，则关于的不等式的解集是______．
【答案】
解析：解：由题意可得：
∴ k=2，b=-2，
∴原不等式即为2x-2<0，
解之可得：x<1，
故答案为x<1 ．
13. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转角α（0°＜α＜180°），得到△AED，若AC＝1，CE＝，则α的度数为 ___．
【答案】
解析：解：由旋转得，，
，
，
是直角三角形，，
旋转角的度数为．
故答案为：．
14. 定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为__________．
【答案】35
解析：解：∵，
∴，
∴，
∴的最大整数为35．
故答案为：35．
15. 如图，在中，是的中垂线，是的中垂线，已知的长为，则阴影部分的面积为______．
【答案】
解析：解：∵，
∴，
∵是的中垂线，是的中垂线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴阴影部分的面积，
故答案为：．
三、解答题：（本题7小题，共55分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤。
16. （1）解不等式：；
（2）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】（1）；（2），数轴见解析
解析：（1）解：
去分母得，
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化1得，
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
把解集表示在数轴上如下：

∴原不等式组解集为
17. 如图：在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．

（1）画出向下平移4个单位的图形；
（2）画出将绕点O逆时针方向旋转180°后的图形，并写出此时、、的坐标．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析，
【小问1解析】
解：如图，即为所求；
【小问2解析】
如图，，即为所求；
由图可知：．
18. 如图，已知在中，．请用圆规和直尺在上求作一点，使得点到边的距离等于的长；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
【答案】见解析
解析：如图，点即为所求．
19. 如图，在中，，度，是的平分线，为上一点，以为一边，且在下方作等边，连接．

（1）求证，；
（2）求的度数．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【小问1解析】
证明：∵，度，
∴是等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和，
，
∴；
【小问2解析】
解：∵等边中，是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴．
20. 如图，一次函数和的图象相交于点，且一次函数分别与轴和轴交于和，若，．

（1）求直线的解析式；
（2）若不等式的解集是．求的值．
【答案】（1）
（2）10
【小问1解析】
解：由图可知，和在一次函数上，
，，
，
，
，
直线的解析式为：．
故答案为：．
【小问2解析】
解：的解集是，点为和交点，
的横坐标为1．
将点的横坐标1代入中，解得．
．
将代入中，，
．
故答案为：10．
21. 近几年，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也在逐年增加．某商场从厂家购进了、两种型号的空气净化器，两种净化器的销售相关信息见下表：
（1）一台型空气净化器和型空气净化器的销售利润分别是多少？
（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中型空气净化器的进货量不少于型空气净化器的2倍，为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，请你设计相应的进货方案．
【答案】（1）每台A型空气净化器的销售利润为200元，每台B型空气净化器的销售利润为100元；（2）购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台．
解析：解：（1）设每台A型空气净化器的销售利润为x元，每台B型空气净化器的销售利润为y元，根据题意得：
，
解得：．
答：每台A型空气净化器的销售利润为200元，每台B型空气净化器的销售利润为100元．
（2）设购进A型空气净化器m台，则购进B型空气净化器（100-m）台，
∵B型空气净化器的进货量不少于A型空气净化器的2倍，
∴100-m≥2m，
解得：m≤．
设销售完这100台空气净化器后的总利润为w元，
根据题意得：w=200m+100（100-m）=100m+10000，
∴w的值随着m的增大而增大，且m为整数，
∴当m=33时，w取最大值，最大值=100×33+10000=13300，此时100-m=67．
答：为使该公司销售完这100台空气净化器后的总利润最大，应购进A型空气净化器33台，购进B型空气净化器67台．
22. 综合与探究
（1）模型建立：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点．求证：；
（2）模型应用：
①如图2，已知直线与轴交于点，与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，过点作直线，求直线的函数解析式；
②如图3，长方形，点为坐标原点，点的坐标为分别在坐标轴上，点是线段上动点，已知点在第一象限，且是直线上的一点，若是不以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）①；②，，
小问1解析】
证明：，过点作于点．
，
，
在和中，
；
【小问2解析】
①如图2，过作轴于点，
直线与轴交于点，与轴交于点，
令可求得，令可求得，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
，，
由（1）同理可证得，
，，
，
，且，
设直线解析式为，
把点坐标代入可得，
解得
直线解析式为，
②∵长方形，点为坐标原点，点的坐标为，
，
如图3，当时，，
点在的中垂线上，即点横坐标为，
当时，，
点坐标；
如图4，当时，，
设点的坐标为，过点P作轴于点E，过点D作交的延长线于点F，则，
∴四边形是矩形，
∴
由（1）同理可证，，
∴
∴
∴点D的坐标为，
把代入得，
，
得，
点坐标；
如图5，当时，时，
设点的坐标为，过点D作轴于点E，交的延长线于点F，则，
∴四边形是矩形，
∴
由（1）同理可证，，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
∴，
∴点D的坐标为，
把代入得，
，
得，
∴点坐标；
综上所述：点坐标为：，，
型销售数量（台）
型销售数量（台）
总利润（元）
5
10
2000
10
5
2500