初中数学中考二轮复习重难突破专题11 二次函数综合题(含答案)

这是一份初中数学中考二轮复习重难突破专题11 二次函数综合题(含答案)，共25页。试卷主要包含了已知抛物线．，已知抛物线，综合与探究等内容，欢迎下载使用。
重点分析
在中考中，二次函数的图像与性质常在选择题和填空题常考；二次函数图像与系数A.B.c的关系常在选择题或填空题的最后一题出现。
难点解读
难点一：二次函数的概念及三种解析式
难点二：二次函数的图像与性质
难点三：二次函数图像与a，b，c的关系
1.根据a，b，c的正负数判断二次函数图像
2.根据二次函数图像判断a，b，c关系式与0的关系
真题演练
1.在平面直角坐标系中，函数y＝x2－2ax－1（a为常数）的图象与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．
（3）当x≤0时，若函数y＝x2－2ax－1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．
【答案】（1）；（2），当时，随的增大而增大；（3）或a=-1-．
【解析】
（1）当x=0时，求得对应的函数值就是其纵坐标；
（2）代入函数解析式确定a值，求出函数的对称轴，结合抛物线的开口方向求解即可；
（3）分和两种情形求解．
【详解】（1）当时，，所以.
（2）将点代入，得.
解得
所以（如图1所示）
抛物线的开口向上，对称轴为.
因此当时，随的增大而增大.
（3）抛物线的对称轴为，顶点坐标为.
如图2，如果，那么对称轴在轴右侧，最低点就是.
已知最低点到直线的距离为2，
所以.
解得.
如图3，如果，那么对称轴在轴左侧，顶点就是最低点.
所以.
整理，得.
解得，或（舍去正值）.
综上：或
【点拨】本题考查了二次函数解析式确定，与坐标轴的交点，对称轴，函数的增减性，分类确定最值，熟练掌握待定系数法，灵活运用分类思想，准确求解一元二次方程是解题的关键．
2.把抛物线先向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线．
（1）直接写出抛物线的函数关系式；
（2）动点能否在拋物线上？请说明理由；
（3）若点都在抛物线上，且，比较的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2）不在，见解析；（3），见解析
【解析】
（1）先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标即可；
（2）根据抛物线的顶点的纵坐标为，即可判断点不在拋物线上；
（3）根据抛物线的增减性质即可解答．
【详解】（1）抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为(-1，2)，
根据题意，抛物线的顶点坐标为(-1+4，2-5)，即(3，-3)，
∴抛物线的函数关系式为：；
（2）动点P不在抛物线上．
理由如下：
∵抛物线的顶点为，开口向上，
∴抛物线的最低点的纵坐标为．
∵，
∴动点P不在抛物线上；
（3）．
理由如下：
由（1）知抛物线的对称轴是，且开口向上，
∴在对称轴左侧y随x的增大而减小．
∵点都在抛物线上，且，
∴．
【点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
3.已知抛物线．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点，在抛物线上，若，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）或；（3）当a＞0时，；当a＜0时，或．
【解析】
（1）将二次函数化为顶点式，即可得到对称轴；
（2）根据（1）中的顶点式，得到顶点坐标，令顶点纵坐标等于0，解一元二次方程，即可得到的值，进而得到其解析式；
（3）根据抛物线的对称性求得点Q关于对称轴的对称点，再结合二次函数的图象与性质，即可得到的取值范围．
【详解】（1）∵，
∴，
∴其对称轴为：．
（2）由（1）知抛物线的顶点坐标为：，
∵抛物线顶点在轴上，
∴，
解得：或，
当时，其解析式为：，
当时，其解析式为：，
综上，二次函数解析式为：或．
（3）由（1）知，抛物线的对称轴为，
∴关于的对称点为，
当a＞0时，若，
则-1＜m＜3；
当a＜0时，若，
则m＜-1或m＞3.
【点拨】本题考查了二次函数对称轴，解析式的计算，以及根据二次函数的图象性质求不等式的取值范围，熟知相关计算是解题的关键．
4.如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C(1，n)在该函数图象上．
（1）当m=5时，求n的值．
（2）当n=2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y时，自变量x的取值范围．
（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
【答案】（1）-4（2）1≤x≤5（3）0≤m＜1或1＜m＜2
【解析】
1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出时，的值即可判断．
（3）由题意点的坐标为，求出几个特殊位置的值即可判断．
【详解】解：（1）当时，，
当时，．
（2）当时，将代入函数表达式，得，
解得或（舍弃），
此时抛物线的对称轴，
根据抛物线的对称性可知，当时，或5，
的取值范围为．
（3）点与点不重合，
，
抛物线的顶点的坐标是，
抛物线的顶点在直线上，
当时，，
点的坐标为，
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，逐渐减小，点沿轴向上移动，
当点与重合时，，
解得或，
当点与点重合时，如图2，顶点也与，重合，点到达最高点，
点，
，解得，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点不在线段上，
点在线段上时，的取值范围是：或．
【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题．
5.在平面直角坐标系中，点和点在抛物线上．
（1）若，求该抛物线的对称轴；
（2）已知点在该抛物线上．若，比较的大小，并说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析
【解析】
（1）由题意易得点和点，然后代入抛物线解析式进行求解，最后根据对称轴公式进行求解即可；
（2）由题意可分当时和当时，然后根据二次函数的性质进行分类求解即可．
【详解】解：（1）当时，则有点和点，代入二次函数得：
，解得：，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为；
（2）由题意得：抛物线始终过定点，则由可得：
①当时，由抛物线始终过定点可得此时的抛物线开口向下，即，与矛盾；
②当时，
∵抛物线始终过定点，
∴此时抛物线的对称轴的范围为，
∵点在该抛物线上，
∴它们离抛物线对称轴的距离的范围分别为，
∵，开口向上，
∴由抛物线的性质可知离对称轴越近越小，
∴．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
6.已知抛物线
（1）当时，请判断点（2，4）是否在该抛物线上；
（2）该抛物线的顶点随着m的变化而移动，当顶点移动到最高处时，求该抛物线的顶点坐标；
（3）已知点、，若该抛物线与线段EF只有一个交点，求该抛物线顶点横坐标的取值范围．
【答案】（1）不在；（2）（2，5）；（3）x顶点= 或x顶点或x顶点
【解析】
（1）先求出函数关系式，再把（2，4）代入进行判断即可；
（2）根据二次函数的顶点坐标公式求出抛物线顶点纵坐标，最大值即为顶点最高点的纵坐标，代入求解即可；
（3）运用待定系数法求出直线EF的解析式，代入二次函数解析式，求出交点坐标，再根据题意分类讨论，求出m的值即可．
【详解】
解：（1）把m=0代入得，
当x=2时，
所以，点（2，4）不在该抛物线上；
（2）
=
∴抛物线的顶点坐标为（，）
∴纵坐标为
令
∵
∴抛物线有最高点，
∴当m=3时，有最大值，
将m=3代入顶点坐标得（2，5）；
（3）∵E（-1，-1），F（3，7）
设直线EF的解析式为
把点E，点F的坐标代入得
解得，
∴直线EF的解析式为
将代入得，
整理，得：
解得
则交点为：（2，5）和（m+1，2m+3），
而（2，5）在线段EF上，
∴若该抛物线与线段EF只有一个交点，则（m+1，2m+3）不在线段EF上，或（2，5）与（m+1，2m+3）重合，
∴m+1＜-1或m+1＞3或m+1=2（此时2m+3=5），
∴此时抛物线顶点横坐标x顶点= 或x顶点=或x顶点=
【点拨】
本题考查了二次函数的图象及性质，解题关键是注意数形结合思想的运用．
7.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标（用含有字母m的代数式表示）；
（2）若点，在抛物线上，且，则m的取值范围是 ；（直接写出结果即可）
（3）当时，函数y的最小值等于6，求m的值．
【答案】(1)顶点A的坐标为；(2)；(3)或
【解析】
(1)将抛物线解析式化成的形式，即可求得顶点A的坐标；
(2)将，代入抛物线中求得和的值，然后再解不等式即可求解；
(3)分类讨论，分对称轴在1的左侧、对称轴在3的右侧、对称轴在1,3之间共三种情况分别求出函数的最小值，进而求出m的值．
【详解】
解：(1)由题意可知：
抛物线，
∴顶点A的坐标为；
(2)将代入中，
得到，
将代入中，
得到，
由已知条件知：，
∴，
整理得到：，
解得：，
故m的取值范围是：；
(3)二次函数的开口向上，故自变量离对称轴越远，其对应的函数值越大，二次函数的对称轴为，
分类讨论：
①当，即时，
时二次函数取得最小值为，
又已知二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又，故符合题意；
②当，即时，
时二次函数取得最小值为，
又已知二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又，故或都不符合题意；
③当，即时，
时二次函数取得最小值为，
又已知二次函数最小值为6，
∴，解得或，
又，故符合题意；
综上所述，或．
【点拨】
本题考查待定系数求二次函数的解析式，二次函数的最值问题，不等式的解法等，计算过程中细心，熟练掌握二次函数的图形及性质是解决本题的关键．
8.二次函数y=﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y=﹣x＋3，AD⊥x轴交直线BC于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）M（m，0）为线段AB上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线及直线BC分别交于点E.F．直线AE与直线BC交于点G，当时，求m值．
【答案】（1）y＝﹣x2＋2x＋3；（2）m的值为1或2或
【解析】
（1）由直线BC求出点B，C的坐标，再代入二次函数的解析式，求出b，c的值，得出二次函数的解析式；
（2）用含m的代数式表示点E和点F的坐标，用相似的三角形对应边成比例的性质列方程，求出m的值．
【详解】（1）∵直线y=﹣x＋3与x轴、y轴分别交于B，C两点，
∴点B（3，0），点C（0，3），
∵B（3，0）和C（0，3）在抛物线y=﹣x2＋bx＋c上，
∴，解得，
∴二次函数解析式为：y=﹣x2＋2x＋3.
（2）∵二次函数y＝﹣x2＋2x＋3与x轴交于点A.B，
∴点A（﹣1，0），
∵AD⊥x轴交直线BC于点D，
∴点D（﹣1，4），
∴AD＝4，
∵EM⊥x轴，AD⊥x轴，
∴EF∥AD，
∴△EFG∽△ADG，
∴，
∵EM⊥x轴交直线BC于点F，点M（m，0），
∴E（m，﹣m2＋2m＋3），F（m，﹣m＋3）．
①若点M在原点右侧，如图1，则EF=(﹣m2＋2m＋3)﹣(﹣m＋3)=﹣m2＋3m，
∴，解得：m1=1，m2=2；
②若点M在原点左侧，如图2，则EF=(﹣m＋3)﹣(﹣m2＋2m＋3)=m2﹣3m，
∴，解得：m3=，m4=（舍去）；
综上所述，m的值为1或2或．
【点拨】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数的图象与性质，用字母表示横、纵坐标并且用相似三角形的性质列方程是解题的关键．
9.已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点，与x轴的另一个交点为C．
（1）直接写出点A和点B的坐标
（2）求抛物线的解析式
（3）D为直线AB上方抛物线上一动点
①连接DO交AB于点E，若DE∶OE＝3∶4，求点D的坐标
②是否存在点D，使得DBA的度数恰好是BAC的2倍，如果存在，求点D的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）①或；②存在，．
【解析】
（1）分别当x=0和y=0代入直线AB解析式进行求解即可；
（2）由（1）分别把点A，B代入二次函数解析式进行求解即可；
（3）①过点D作DF⊥x轴，交AB于点F，设点，则有点，由题意易得，△DEF∽△OEB，进而可得，然后求解即可；
②过点B作BH∥x轴，交抛物线于点H，过点D作DM⊥x轴，交BH于点N，则有∠BAC=∠HBA，由∠DBA=2∠BAC可得∠HBA=∠DBH=∠BAC，进而可得，设点，则有，然后根据三角函数可求解．
【详解】解：（1）由题意得：
当x=0时，则，当y=0时，则，解得：，
∴；
（2）由（1）得：，
把点A,B代入得：
，解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（3）①过点D作DF⊥x轴，交AB于点F，如图所示：
设点，则有点，
∴，
∵∠BOA=90°，
∴DF∥OB，
∴△DEF∽△OEB，
∵DE∶OE＝3∶4，OB=2，
∴，即，
解得：，
∵点D是直线AB上方抛物线上的点，
∴或；
②存在一点D，使得∠DBA=2∠BAC，理由如下：
过点B作BH∥x轴，交抛物线于点H，过点D作DM⊥x轴，交BH于点N，如图所示：
∴∠BAC=∠HBA，
∵∠DBA=2∠BAC，
∴∠HBA=∠DBH=∠BAC，
∵在Rt△AOB中，OB=2，OA=4，
∴，
∴，
设点，则有，
∴，
解得：，
∴
∴存在点D，使得∠DBA=2∠BAC，此时点．
【点拨】本题主要考查二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握二次函数的综合、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．
10.综合与探究：在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于 A，B两点(点在点A的右侧)，与轴交于点，它的对称轴与轴交于点，直线经过，两点，连接．
（1）求A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）探索直线l上是否存在点，使为直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）若点是直线l上的一个动点，试探究在抛物线上是否存在点：
①使以点A，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由；
②使以点A，，，为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为，；（2）存在，点的坐标为或；（3）①抛物线上存在点，使以点为顶点的四边形为菱形，此时点的坐标为；②抛物线上存在点，使以点为顶点的四边形为矩形，此时点的坐标为
【解析】
【分析】（1）先由抛物线的解析式以及图像特征求得点、的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的函数表达式；
（2）先由点A、 、 三点的坐标根据坐标系中距离公式推出为等边三角形，再分两种情况画图进行分类讨论，利用解直角三角形确定符合要求的点的坐标．
（3）①通过添加辅助线构造出四边形，然后根据菱形的判定方法进行证明即可；
②通过添加辅助线构造出四边形，然后根据矩形的判定方法进行证明即可．
【详解】解：（1）当时，
解得，
∵
∴点A的坐标为，点的坐标为
∴抛物线的对称轴为直线
∴点的坐标为
当时，
∴点的坐标为
设直线l的表达式为，则
解得
∴直线l的表达式为．
（2）结论：直线上存在点，使为直角三角形．
证明：∵点的坐标为，点的坐标为
∴
又∵点的坐标为，
∴
∴
∴为等边三角形
∴
分两种情况：
①当时，
∵
∴
作轴于点，如图：
∵在中，
∴，
∴点的坐标为．
②作轴于点，如图：
当时
∵
∴，
∴
∴
在中，
∴，
∵
∴点的坐标为
∴综上所述：直线l上存在点，使为直角三角形，点的坐标为或；
（3）①过点作轴交抛物线于点，连接，如图：
∵点的坐标为，
∴当时，
∴，（不合题意舍去）
∴点的坐标为
∴
∵点的坐标为
∴
∵由（2）可知
∴
∴四边形是菱形
∴当点位于点处时，抛物线上存在点，使以点A、、、为顶点的四边形为菱形，此时点的坐标为；
②过点作交直线l于点，连接、，如图：
∵
∴
∵由（2）可知
∴
∵由（2）可知
∴
∴
∵点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
∴，
∴
∴四边形是矩形
∴抛物线上存在点即点处，使以点A、、、为顶点的四边形为矩形，此时点的坐标为．
【点拨】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及到的知识点有求函数图像上特殊点的坐标、二次函数的图象性质、待定系数法确定解析式、等边三角形的判定和性质、利用锐角三角函数解直角三角形、菱形的判定以及矩形的判定等，注意分类讨论思想方法的渗透．
11.在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）为抛物线上的一个动点，点关于原点的对称点为.当点落在该抛物线上时，求的值；
（3）是抛物线上一动点，连接，以为边作图示一侧的正方形，随着点的运动，正方形的大小与位置也随之改变，当顶点或恰好落在轴上时，求对应的点坐标.
【答案】（1）.（2）或.（3）点的坐标为，，
，.
【解析】
（1）将和点代入解析式解方程即可；
（2）将的坐标表示，把坐标代入解析式求m即可；
（3）利用正方形性质和一线三直角几何模型，找到全等三角形，根据直角边解方程即可.
【详解】（1）∵抛物线经过点和点.
得，解得
∴抛物线的解析式为.
（2）∵与关于原点对称，
∴的坐标为.
∵，都在抛物线上，
∴，.
∴.
解得或.
（3）当点落在轴上时，
如图1，过点作轴于点，
∵四边形是正方形，
∴，.
∴.
∵，
∴.
∴.
又，
∴.
∴.
∴，有，
解得或（舍去）.
∴点坐标为.
如图2，过点作轴于点，
同理可以证得，
∴.
∴，有，
解得或（舍去）.
∴点坐标为.
当点落在轴上时，
如图3，过点作轴于点，过点作于点，
同理可以证得，
∴，
∴，有，
解得或（舍去）.
∴点坐标为.
如图4，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，
同理可以证得，
∴，
∴，有，
解得或（舍去）.
∴点坐标为.
综上所述，点的坐标为，，
，.
【点拨】本题是经典的二次函数题目，涉及待定系数法求解析式，点的表示及代入，以及与一线三直角模型的点的存在性问题，是典型的综合性题目.
12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且，点是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）连接，求面积的最大值及此时点的坐标．
【答案】（1）；（2）（，）；（3）面积的最大值是8；点的坐标为（，）．
【解析】
（1）由二次函数的性质，求出点C的坐标，然后得到点A.点B的坐标，再求出解析式即可；
（2）由，则点P的纵坐标为，代入解析式，即可求出点P的坐标；
（3）先求出直线AC的解析式，过点P作PD∥y轴，交AC于点D，则，设点P为（，），则点D为（，），求出PD的长度，利用二次函数的性质，即可得到面积的最大值，再求出点P的坐标即可．
【详解】解：（1）在抛物线中，
令，则，
∴点C的坐标为（0，），
∴OC=2，
∵，
∴，，
∴点A为（，0），点B为（，0），
则把点A.B代入解析式，得
，解得：，
∴；
（2）由题意，∵，点C为（0，），
∴点P的纵坐标为，
令，则，
解得：，，
∴点P的坐标为（，）；
（3）设直线AC的解析式为，则
把点A.C代入，得
，解得：，
∴直线AC的解析式为；
过点P作PD∥y轴，交AC于点D，如图：
设点P 为（，），则点D为（，），
∴，
∵OA=4，
∴，
∴，
∴当时，取最大值8；
∴，
∴点P的坐标为（，）．
【点拨】本题考查了二次函数的综合问题，二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意利用数形结合的思想进行解题．概念
形如的函数叫二次函数
三种解析式
一般式：；
顶点式：（a≠0）其中（h,k）为二次函数的顶点坐标
交点式：，其中为抛物线与x轴交点的横坐标
图像画法
列表、描点、连线
解析式
对称轴
直线（还可以利用，其中为y值相等的两个点对应的横坐标）求解）
顶点坐标
增减性
当时，在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大
当a＜0时，在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少
最值
当时，y有最小值
当时，有最小值．
当a＜0时，y有最大值
当时，有最大值
二次项系数a
决定抛物线的开口方向及开口大小
⑴ 当时，抛物线开口向上
⑵ 当时，抛物线开口向下
一次项系数b
决定对称轴的位置
在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b为对称轴为y轴）
常数项系数c
决定抛物线与y轴的交点的位置
⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方
⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点
⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方
决定抛物线与x轴的交点个数
b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;
b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;
b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
决定抛物线与x轴的交点个数
关系式
实质
2a+b

实质式结合a的正负比较与1关系
2a+b
实质式结合a的正负比较与-1关系
a+b+c
实质是令x=1，看纵坐标正负
a-b+c
实质是令x=-1，看纵坐标正负
4a+2b+c
实质是令x=2，看纵坐标正负
4a-2b+c
实质是令x=-2，看纵坐标正负