中考数学（广西卷）-2024年中考数学第三次模考试

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3、三模考试大概在中考前两周左右，三模是中考前的最后一次考前检验。三模学校会有意降低难度，目的是增强考生信心，难度只能是中上水平，主要也是对初中三年的知识做一个系统的检测，让学生知道中考的一个大致体系和结构。
2024年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了对顶角的定义，准确识图，熟练掌握对顶角的定义是解决问题的关键，根据对顶角的定义对各选项中的与逐一进行判断即可得出答案．
【详解】解：A．图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意；
B．图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意；
C．图中的与符合对顶角的定义，它们是对顶角，故选项符合题意；
D．图中的与不符合对顶角的定义，它们不是对顶角，故选项不符合题意．
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）
A．＝ B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，化简二次根式，二次根式的混合计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
3．已知点的坐标为，则点关于轴对称的点为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了关于轴对称点的性质：关于轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．根据关于轴对称点的性质判断即可得答案．
【详解】解：∵关于轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，
∴点关于轴对称点坐标为；
故选：A．
4．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案．
【详解】解：∵在△ABO和△DCO中，，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．
5．若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ）
A．B．6C．D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．把点代入函数解析式来求k的值即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
解得，故选：C．
6．如图，是的内接三角形，若，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴
故选：C．
7．一个多边形的内角和是，这个多边形是（ ）
A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形
【答案】B
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式解答即可．
【详解】设边数为，根据题意，得
，
解得．
∴这个多边形为六边形，
故选：B．
8．水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：10，5，6，8，9，9，7，这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．9，8B．9，9C．8.5，9D．8，9
【答案】A
【分析】本题考查了众数和中位数的定义，根据众数和中位数的定义解答即可．
【详解】解：数据为：10，5，6，8，9，9，7，从小至大排列为，
故这组数据的众数和中位数分别是9，8．
故选：A．
9．如图，在中，，，是的角平分线．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据已知条件可知，根据含角的直角三角形的性质可得的长，再证明即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，角平分线的定义等知识．熟练掌握这些性质和定义是解题的关键．
10．我校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多20元．体育汤老师购买篮球花费900元，购买足球花费400元，结果购得的篮球数量是足球数量的1.5倍．设购买的足球数量是x个，则下列选项中所列方程正确的是（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是个，根据“篮球的单价比足球的单价多20元”列出方程即可，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
【详解】设购买的足球数量是x个，则购买篮球数量是个，
根据题意得： ，
故选：C．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点C的坐标为，，则点D的坐标为（ ）
A．B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出，根据直角三角形的性质得出的长，进而利用菱形的性质得出点的坐标即可．
【详解】解：∵菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴
故选：B．
【点睛】此题考查菱形的性质，勾股定理，关键是根据菱形的性质得出解答．
如图，点 P 是正方形内部的一个动点，且是以 为底边的等腰三角形，连接，，，有下列结论：
① ②;③当时，;④当时，
其中结论正确的是（ ）
A．①②B．③④C．①④D．②③
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．由正方形的性质和等边三角形的性质可得，，可得，①正确，再根据是等边三角形，即可得出③不正确，④正确
【详解】解：四边形是正方形，
，，
∵是等腰三角形，
∴
∴
故①正确；
当 三点在同一条直线上时，故②不正确；
当时，
∵
∴
∴是等边三角形，
，
，
，故③不正确；
当时，设
∵
∴
∴是等边三角形，过点作于点，于点，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
∴
∴
∴故④正确，
综上所述：①④．
故选：C．

第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6个小题，每小题2分，共12分）
13．要使分式有意义，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为”是解本题的关键．由分式有意义，可得，再解不等式即可得到答案．
【详解】解：分式有意义，
，
解得：，
故答案为：．
14．已知点，在直线上，且，则 ·（填“”“”或“”）
【答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，根据当时，y随x的增大而减小，即可求解．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
15．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程的根的判别式，计算即可．
【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
故答案为：．
16．如图，点C在线段上，图中三条线段中，若有一条线段长是另一条线段长的两倍，则称点C是线段的“巧分点”． 已知，点C是线段的“巧分点”，则 .

【答案】2或4或3
【分析】本题考查了线段上两点间的距离，当点C是线段AB的“巧分点”时，可能有、和三种情况，分类讨论计算即可．分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键．
【详解】解：当点是线段的“巧分点”时，可能有、、
三种情况，
①时，，

②时，，

③时，．

故答案为：2或4或3．
17．如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F，若，则的长为 ．
【答案】/
【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，先利用勾股定理求出对角线的长，再证明，根据对应边成比例即可求出的长．
【详解】解：四边形是矩形，，
，，，
，
E是边的中点，
，
，
，，
，
，
，
解得，故答案为：．
18．如图，已知在边长为1的小正方形的格点上，的外接圆的一部分和的边组成的两个弓形（阴影部分）的面积和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了网格知识，勾股定理，弓形面积的求解，取格点，则点为的外接圆的圆心，先求出，再根据求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解 ：取格点，则点为的外接圆的圆心，如图：
由网格可知，，
，
∵
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（满分6分）计算：．
【答案】6
【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减．
【详解】解：
．
20．（满分6分）解方程∶
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解法是解决问题的关键．本题中，运用公式法求解即可．
【详解】解：．
，
∴原方程的根为．
21．（满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，请按下列要求画图：
（1）将先向右平移4个单位长度、再向下平移5个单位长度，
得到，画出，并写出点的坐标；
以点A为位似中心将放大2倍，得到，画出并写出点B2的坐标．
【答案】（1）见解析，；（2）见解析，
【分析】根据平移的定义“把一个图形整体沿某一直线方向移动， 会得到一个新的图形，新图形与原图形的大小和形状完全相同”即可得；
根据位似图形的定义“一般得，如果一个图形上的点，，…，和另一个图形上的点A，B，…，P分别对应，并且满足①直线，，…，都经过同一点O；②”即可得．
【详解】（1）根据题意可得：
∴；
（2）如图所示：以点A为端点作射线AC，AB；分别在射线上取，，使，连接，，，即可得；
∴．
【点睛】本题考查了作图—平移变换，作图—位似变换，
解题的关键是掌握平移作图方法和图形位似的作图方法．
22．（满分10分）某中学准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查．问卷设置了五种选项：A.“艺术类”，B.“文学类”，C.“科普类”，D.“体育类”，E.“其他类”．每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题；
(1)求此次调查的学生人数；
(2)请直接补全条形统计图；
(3)求扇形统计图中A.“艺术类”所对应的圆心角度数；
(4)根据抽样调查结果，请你估计该校1200名学生中有多少名学生最喜爱C.“科普类”图书．
【答案】(1)100名
(2)见解析
(3)
(4)估计该校1200名学生中，大约有480名学生最喜爱C“科普类”图书
【分析】
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
（1）用B的人数除以对应百分比可得样本容量；
（2）用样本容量减去其它四类的人数可得D类的人数，进而补全条形统计图；
（3）用乘A“艺术类”所占百分比可得对应的圆心角度数；
（4）用总人数乘样本中C类所占百分比即可．
【详解】（1）
解：此次被调查的学生人数为：（名）；
（2）
D类的人数为：（名），
补全条形统计图如下：

（3）在扇形统计图中，A“艺术类”所对应的圆心角度数是：；
（4）（名），
答：估计该校1200名学生中，大约有480名学生最喜爱C“科普类”图书．
23．（满分10分）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当，时，求和的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)，
【分析】（1）先判断出，进而判断出，得出即可得出结论；
（2）先判断出，再判断出，即可得出结论；
（3）先求出，再判断出，利用勾股定理求出，最后用得出比例式求解即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
∵，
，
，
是半径，
是的切线；
（2）证明：∵，
，
，
，
，，
，
；
（3）解：是的直径，
，
在中，，
平分，
，
，
，
在中，，
，
，
，
．
过点作于点，如图2，
，
，
根据勾股定理可得：，
．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出是解本题的关键．
24．（满分10分）如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点，与相交于点，与相交于点，连接、．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)长为5
【分析】此题主要考查了菱形的判定，以及勾股定理的应用和矩形的性质．
（1）根据矩形性质求出，推出，，证，推出，得出平行四边形，推出菱形；
（2）根据菱形性质求出，在中，根据勾股定理得出，即可列方程求得．
【详解】（1）四边形是矩形
∴，，
，，
在和中
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形；
（2）四边形是菱形，
，
设长为，则，
在中，
即，
解得：，
答：长为5．
25．（满分10分）如图，正方形的边长是4，M是的中点，动点在线段上运动，连接并延长交射线于点，过点作的垂线交射线于点，连接，．
(1)求证：是等腰三角形．
(2)设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(3)在点运动过程中，是否可能成为等边三角形？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)不可能，理由见解析
【分析】（1）由四边形是正方形，正方形的四个边相等且对边平行，四个角都是直角，证明，从而可得出结论．
（2）设时，的面积为，有两种情况，当点与点重合时，即时，可求出的值，当点不与点重合时，，根据条件可证明，根据相似三角形的对应边成比例，可得出函数式．
（3）不可能，因为，所以，所以不可能是等边三角形．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
在和中，
又，
故是等腰三角形；
（2）解：当点与点重合时，如图所示，
，
当点不与点重合时，
在中，，
过作，垂足为
则，，
即
；
（3）解：不可能，
在中
不可能是等边三角形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质定理，勾股定理，正方形的性质，相似三角形的判定和性质定理，解题的关键是掌握以上知识点．
26．（满分10分）（1）（教材呈现）如图，在中，点、分别是与的中点，结论：．．
（2）（结论应用）如图1，四边形中，，、、分别是、、的中点，若＝，＝，求的度数．
（3）如图2，在外分别作正方形和．是的中点，，分别是正方形的中心，，，则的面积最大值为多少？
【答案】（1）见解析；（2）＝；（3）的面积的最大值为
【分析】（1）利用相似三角形的性质证明即可；
（2）由三角形的中位线定理可得，，，由平行线的性质和等腰三角形的性质可求解；
（3）由“”可证，可得，由三角形中位线定理可证是等腰直角三角形，可得的面积，则当有最大值时，的面积有最大值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵点分别是与的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴且．
（2）∵分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如图2，连接交于点与与点，连接，
在正方形和中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵分别是正方形的中心，
∴点在上，点在上，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴的面积，
∴当有最大值时，的面积有最大值，
∵，
∴当有最大值时，有最大值，
∵，
∴，
∴，
∴的面积的最大值为．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．