中考数学（湖南省卷）-2024年中考数学第三次模考试

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2、二模考试大致在五月份，难度相对较大。这次考试主要检测学校以及学生在第一轮复习的成果，让老师和孩子找到问题的关键，是否存在基础不扎实，计算能力是否需要加强等等。然后找到解决方法，做到复习方法的改进，以及重难点的分布，复习的目标。
3、三模考试大概在中考前两周左右，三模是中考前的最后一次考前检验。三模学校会有意降低难度，目的是增强考生信心，难度只能是中上水平，主要也是对初中三年的知识做一个系统的检测，让学生知道中考的一个大致体系和结构。
2024年中考第三次模拟考试（湖南卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列实数中，最大的是（ ）
A．B．C．0D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数的大小比较，一般地，正数大于零，零大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．先化简绝对值，然后把选项中的4个数按从小到大排列，即可得出最大的数．
【详解】解：∵，
∴，
∴最大的数是．
故选：D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了整式的运算：涉及同类项的合并，积的乘方，同底数幂相除，完全平方公式，根据相关内容性质进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是正确的；
D、，故该选项是错误的；
故选：C
3．下列图标是第十九届杭州亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键．
根据轴对称概念可知，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，据此分析解答．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4．2023年10月18日，第三届“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．国家主席习近平在主旨演讲中声明：“本届高峰论坛期间举行的企业家大会达成了972亿美元的项目合作协议．”将972亿美元用科学记数法表示成元，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于等于10的数表示成的形式（a大于或等于1且小于10，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，即可求解．
【详解】解：972亿，
故选：C．
5．如图，直线，点在直线n上，点B在直线m上，连接，过点A作，交直线m于点C．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线的性质和垂线的定义，熟知：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件即可求出的度数．
【详解】解：如图所示，
∵，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
故选：C．
6．3、6、是某三角形三边的长，则等于（ ）
A．B．C．7D．
【答案】C
【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解：∵3、6、是某三角形三边的长，
，
解得：，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
7．关于x的一元二次方程方程有两个不相等的实数解，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得．
故选：D
8．下列函数的图像在每一个象限内，y随x的增大而减小的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：A、由得到，在每个象限内，y随x的增大而增大，故该项错误，不符合题意；
B、由，对称轴左侧，y随x的增大而减小，对称轴的右侧，y随x的增大而增大，故该项不正确，不符合题意；
C、由，在每一个象限内，y随x的增大而减小，故该项正确，符合题意；
D、由，得到y随x的增大而增大，故该项错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的增减性，熟练掌握函数的增减性是解题的关键．
9．马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2，马面裙可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A为的中点，，则该马面裙裙面（阴影部分）的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查阴影部分面积求解，解题的关键是熟知扇形的面积公式．
【详解】解：∵，，A为的中点，
∴为等边三角形，，
∴，
∴；
故选B
10．如图，小明站在原点处，从离地面高度为的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则的值可以是（ ）
A．7B．9C．10D．8
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式，建立直角坐标系是解题的关键，根据点的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，的值，进而得到的取值范围，从而得到答案．
【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：，
∴，
∴解析式为：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：，
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，
∴其最大高度为：，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：，
∴对称轴为：，
∵点的坐标为，则点的坐标为，
∵圆柱形的高为，
当时，则，
解得：或（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，
∵筐的底面半径为，直径为，，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，
∴，
∴选项B，满足，
故选：D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，即可求解．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．分解因式： .
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，首先提公因式，再根据平方差公式进行分解即可，解题的关键是掌握提公因式法和公式分解法因式分解．
【详解】解：，
故答案为：．
13．一元二次方程的两个实数根分别为，则 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再把通分变形，再代入数值计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根分别为，，
∴，，
∴；
故答案是：．
14．如图，是的直径，与相切于点的延长线交于点，则的度数是 ．
【答案】/26度
【分析】利用圆周角定理，切线的性质定理和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：是的直径，与相切于点A，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线的性质定理，熟练掌握上述定理是解题的关键．
15．如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径作弧分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则到的距离为 ．
【答案】/
【分析】
过点作于，由勾股定理可求得，由题意可证明，则可得，从而有，在中，由勾股定理建立方程即可求得结果．
【详解】解：过点作于，如图，
由勾股定理可求得，
由题中作图知，平分，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴；
设，则，
在中，由勾股定理得：，解得：，即的长为为；
∴，故答案为：．
【点睛】本题考查了作图：作角平分线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，利用全等的性质、利用勾股定理建立方程是解题的关键．
16．某校为推荐一项作品参加“科技创新”比赛，对甲、乙、丙、丁四项候选作品进行量化评分，具体成绩（百分制）如下表：如果按创新性占，实用性占计算总成绩，那么甲、乙、丙、丁中应推荐的作品是 ．
【答案】乙
【分析】首先根据加权平均数的含义和求法，分别求出四人的平均成绩各是多少；然后比较大小，判断出谁的平均成绩最高，即可判断出应推荐谁．
【详解】解：甲的平均成绩（分），
乙的平均成绩（分），
丙的平均成绩（分），
丁的平均成绩（分），
∵，
∴乙的平均成绩最高，
∴应推荐乙．
故答案为：乙．
【点睛】本题考查了加权平均数的含义和求法，熟练掌握加权平均数的求法是解题的关键．
17．如图，点M是反比例函数图像上的一点，过点M作轴于点N，点P在y轴上，若的面积是2，则 ．
【答案】
【分析】设，可求 ，， 由，即可求解．
【详解】解：设，
轴，，，轴，
，解得：，
在上，，故答案：．
【点睛】本题主要考查了在反比例函数中利用面积求，掌握解法是解题的关键．
18．阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，是弧的中点，则从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．请应用阿基米德折弦定理解决问题：如图2，已知等边内接于，，为上一点，，于点，则的周长是 ．
【答案】/
【分析】根据等边三角形的性质可得点是弧的中点，则可用阿基米德折弦定理得，，根据中，，于点，可得是等腰直角三角形，可求出的长，即的长，根据的周长的计算方法即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，，
∴外接圆中，，即点是弧的中点，且于点，
∴根据阿基米德折弦定理得，，
∵中，，于点，且，
∴，，即是等腰直角三角形，则，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查定义新运算，等边三角形的性质，圆的基础知识，等腰直角三角形的性质，几何图形的周长的计算方法等知识，掌握以上知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题8分，第24、25题每题10分，第26题12分，共66分）
19．先化简，再求值：，其中是满足条件的合适的正整数解．
【详解】解：原式
，
，
，
又是满足条件的合适的正整数解，
，
则原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
20．越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是积极落实节能环保的重大举措，某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度，如图，已知测倾器的高度为米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与点N在一条直线上），求电池板离地面的高度的长．（结果精确到米，参考数据：，，）
【详解】解：过E作于F，连接，设米，

∵，
∴四边形，四边形均是矩形，
∴米，米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴解得米，
经检验是原方程的解，且符合题意，
∴米．
答：电池板离地面的高度的长为米．
【点睛】本题考查矩形判定与性质，锐角三角函数，分式方程，掌握矩形判定与性质，锐角三角函数，简单方程是解题关键．
21．如图，反比例函数的图像与一次函数的图像交于，两点，且一次函数图像交轴于点A．
(1)求反比例函数与一次函数的解析式；
(2)求的面积．
【详解】（1）将点代入得：
，
，
反比例函数解析式为；
将点，代入一次函数得：
，
解得，
一次函数解析式为；
（2）将代入一次函数解析式为得：
，
，
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点和不规则三角形面积，函数图像上的点可带入解析式求解参数，计算不规则图形面积通常采用割补法．
22．荷塘区教育局开展中小学“与阅读同行伴书香成长”阅读活动，某校组织对全校八年级“大阅读”五星级评选工作进行抽样调查，随机抽取20名学生阅读的积分情况（积分为整数）进行分析：
【收集数据】20名学生的“大阅读”积分如下（单位：分）：
32 43 34 35 15 56 48 24 45 10 25 40 59 42 55 30 47 28 37 42
【整理数据】请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整
根据以上数据可制成不完整的频数分布直方图．
(1)填空：____________，_____________；
(2)补全频数分布直方图；
(3)【得出结论】估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数．
(4)已知该校八年级学生小明的积分为分，是绿星级；小红的积分为分，是青星级．如果俩人的积分与上述20名学生的积分都不一样，那么的最大值是_________．
【详解】（1）解：由样本数据得的有7人，的有3人，则，，
故答案为：7；3；
（2）解：由（1）中，，补全频数分布直方图如下：

（3）解：样本中，积分在绿星级以上的人数，占抽样人数的，
（人，
答：估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数约为300人；
（4）解：俩人的积分与上述20名学生的积分都不一样，由题意知，的最大值为58，的最小值为41，
的最大值为，
故答案为：17．
【点睛】本题考查频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
23．阳光营养餐公司为学生提供的早餐食品中，蛋白质总含量占％，包括一份牛奶，一份谷物食品和一个鸡蛋．一个鸡蛋的质量约为，谷物、牛奶和鸡蛋的部分营养成分见下表：
(1)求每份该种早餐中谷物食品和牛奶各多少g？
(2)该公司为学生提供的午餐有、两种套餐（每天只提供一种），见下表：
为了平衡膳食，公司建议控制学生的主食和肉类摄入量，在一周内，每个学生主食的摄入量不超过，肉类摄入量不超过，每个学生一周内午餐可以选择、套餐各几天（一周按天计算）？
【详解】（1）解：设每份该种早餐中谷物食品有，牛奶有．依题意，列方程组为
，
解得，
∴，，
答：每份该种早餐中谷物食品有，牛奶。
（2）解：设每个一周里共有天选择套餐，则有天选择套餐．
依题意，得．
解得．
∴或，
当时，，
当时，，
∴每个学生一周内午餐可以选择套餐天，选择套餐天；或每个学生一周内午餐可以选择套餐天，选择套餐天.
24．如图点是正方形中边上一点，将沿翻折得到，使点落在点处，延长与边交于点，直线与交于点．
(1)如图①，求证：；
(2)如图②，若直线与的延长线交于点求证：；
(3)如图③，若直线与、的延长线分别交于点、，交于点求证：．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵四边形是正方形，
∴，，
∵将沿翻折得到，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）可得：，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．如图，在中，，，以为直径的交于点，交的延长线于点，交于点，交于点，且，．
(1)请判断线段和的大小关系，并说明理由．
(2)求的值．
(3)若点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点，记，．
①求关于的函数表达式．
②当点运动到半径上时，若射线交于点，点恰好为，，其中两点之间的弧的中点，请求出所有满足条件的的值．
【详解】（1）解：线段和的大小关系为：．理由：
，
，
，
．
，
，，
，
；
（2）连接，如图，
，
设，则，．
为的直径，
．
，
，
，
，
，
，
．
；
（3）①由（1）知：，
．
，
，
．
点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点，
，
，
．
，，
，
，
，
．
，，
．
关于的函数表达式为：；
②当点为的中点时，
连接，交于点，如图，
点为的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，．
为的直径，，
．
，
，．
，
，
，
，
解得：（负数不合题意，舍去），
．
当点为的中点时，
连接，如图，
点为的中点，
，
，
，
，
，
由题意得：，，．
，
解得：或（负数不合题意，舍去），
．
综上，所有满足条件的的值为或．
【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，直角三角形的性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，分类讨论的思想方法，本题是动点问题，依据题意画出符合条件的图形是解题的关键．
26．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“梅岭点”．
(1)若点是一次函数的图象上的“梅岭点”，则________；若点是函数的图象上的“梅岭点”，则________；
(2)若点是二次函数的图象上唯一的“梅岭点”，求这个二次函数的表达式；
(3)若二次函数是常数，的图象过点，且图象上存在两个不同的“梅岭点”，，且满足，，如果，求的取值范围．
【详解】（1）解：点是一次函数的图象上的“梅岭点”，
，，，解得：；
点是函数的图象上的“梅岭点”，，
整理得：，
解得：，，
经检验：，，是此方程的根；
或；
故答案：；或．
（2）解：点是二次函数的图象上唯一的“梅岭点”，
二次函数与直线有唯一的交点，
方程的根为：，
即：，，解得：，
二次函数的表达式．
（3）解：二次函数的图象过点，
，，
图象上存在两个不同的“梅岭点”，，
，，
，，
、是方程的根，，
，，
，
整理得：，
，
，
，或，或，
，或，
解得：或，
，，
，，，
当时，随着的增大而减小，
当时，，
．
【点睛】本题考查了次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，不等式性质等知识点，熟练掌握根与系数关系，理解应用新定义“梅岭点”是解题的关键．项目作品
甲
乙
丙
丁
创新性
实用性
积分/分
星级
频数
红
2
橙
3
黄
5
绿
青
项目
谷物（每）
牛奶（每）
鸡蛋（每）
蛋白质（）
脂肪（）
碳水化合物（）
套餐
主食
肉类
其他