中考数学(甘肃卷)-2024年中考数学第三次模考试
展开3、三模考试大概在中考前两周左右,三模是中考前的最后一次考前检验。三模学校会有意降低难度,目的是增强考生信心,难度只能是中上水平,主要也是对初中三年的知识做一个系统的检测,让学生知道中考的一个大致体系和结构。
2024年中考第三次模拟考试(甘肃卷)
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请选出并在答题卡上将该项涂黑)
1.﹣2024的绝对值是( )
A.2024B.C.﹣2024D.
【分析】根据绝对值的定义:数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值进行计算即可.
【解答】解:|﹣2024|=2024,
故选:A.
2.如图,该几何体的主视图是( )
A. B.C. D.
【分析】从正面看,所得到的图形即为主视图,据此求解即可.
【解答】解:从正面看,可得选项A的图形,
故选:A.
【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图,主视图是从物体的正面看得到的视图.
3.若a2﹣1=b,则代数式﹣2a2﹣2+2b的值为( )
A.4B.0C.﹣4D.﹣2
【分析】所求式子第一项和第三项结合提取﹣2变形后,将已知的等式变形后代入计算,即可求出值.
【解答】解:∵a2﹣1=b,
∴a2﹣b=1,
∴﹣2a2﹣2+2b
=﹣2(a2﹣b)﹣2
=﹣2×1﹣2
=﹣2﹣2
=﹣4.
故选:C.
【点评】此题考查了代数式求值,利用了整体代入的思想,是一道基本题型.
4.关于x一元一次不等式x﹣2≤m的解集在数轴上的表示如图所示,则m的值为( )
A.3B.2C.1D.0
【分析】先求出x≤m+2,根据数轴得出x≤3,则m+2=3,即可求解.
【解答】解:∵x﹣2≤m,
∴x≤m+2,
由图可知,该不等式的解集为x≤3,
∴m+2=3,
解得:m=1,
故选:C.
【点评】本题考查了解不等式,在数轴上表示不等式的解集,解题的关键是掌握在数轴上表示不等式解集的方法.
5.下列由左到右的变形,属于因式分解的是( )
A.(x+2)(x﹣2)=x2﹣4B.x2+4x+4=x(x+4)+4
C.ax2﹣4a=a(x2﹣4)D.x2+3﹣4x=(x﹣1)(x﹣3)
【分析】因式分解就是把多项式变形成几个整式积的形式,根据定义即可判断.
【解答】解:A、是多项式的乘法运算,不是因式分解,故选项错误;
B、右边不是积的形式,故选项错误;
C、还需对括号内的多项式继续分解因式,分解不彻底,故选项错误;
D、是因式分解,故选项正确.
故选:D.
【点评】此题考查了因式分解的意义,解题的关键在于牢记因式分解的定义,注意因式分解与整式的乘法互为逆变形.
6.在平面直角坐标系xOy中,点M(3,﹣4)关于y轴对称的点的坐标为( )
A.(﹣3,﹣4)B.(3,﹣4)C.(3,4)D.(﹣3,4)
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变,进而得出答案.
【解答】解:在平面直角坐标系xOy中,点M(3,﹣4)关于y轴对称的点B的坐标是(﹣3,﹣4),
故选:A.
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质,正确掌握点的坐标特点是解题关键.
7.某同学抛掷一枚硬币,连续抛掷20次,都是反面朝上,则抛掷第21次出现正面朝上的概率是( )
A.1B.C.D.
【分析】根据概率公式即可求解.
【解答】解:硬币有两面,每次抛掷一次出现正面朝上的概率为,与次数无关,
故选:B.
【点评】本题考查了概率公式,熟记概率公式是解题的关键.
8.如图,点A在反比例函数y=(x>0)的图象上,AB⊥x轴于点B,C是OB的中点,连接AO,AC.若△AOC的面积为2,则k的值为( )
A.8B.6C.4D.2
【分析】由C是OB的中点推出S△AOB=2S△AOC,则AB•OB=4,所以AB•OB=8,因此k=8.
【解答】解:∵C是OB的中点,△AOC的面积为2,
∴△AOB的面积为4,
∵AB⊥x轴,
∴AB•OB=4,
∴AB•OB=8,
∴k=8.
故选:A.
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,明确S△AOB=2S△AOC是解题的关键.
9.如图,为估算某河的宽度,在河对岸选定一个目标点A,在近岸取B,C,D三点,使得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上,若测得BE=30m,CE=10m,CD=20m,则河的宽度为( )
A.20mB.30mC.40mD.60m
【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE,利用对应边成比例可得河的宽度AB.
【解答】解:∵AB⊥BC,CD⊥BC,
∴∠ABE=∠DCE=90°,
∵∠AEB=∠DEC,
∴△BAE∽△CDE,
∴=,
∵BE=30m,CE=10m,CD=20m,
∴=,
解得:AB=60,
故选:D.
【点评】本题考查相似三角形的应用,熟练掌握“两角对应相等的两三角形相似;相似三角形的对应边成比例”是解决问题的关键.
10.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,连接OE.若OB=6,菱形ABCD的面积为54,则OE的长为( )
A.4B.4.5C.5D.5.5
【分析】由菱形的性质得出BD=12,由菱形的面积得出AC=9,再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果.
【解答】解:∵四边形ABCD是菱形,
∴OA=OC,OB=OD=BD,BD⊥AC,
∴BD=2OB=12,
∵S菱形ABCD=AC•BD=54,
∴AC=9,
∵AE⊥BC,
∴∠AEC=90°,
∴OE=AC=4.5,
故选:B.
【点评】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质;熟练掌握菱形的性质是解题的关键.
11.如图,若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴为x=1,与x轴的一个交点为(﹣1,0),则:①二次函数的最大值为a+b+c;②a﹣b+c<0;③当x>1时,y随x的增大而增大;④当y>0时,﹣1<x<3,其中正确命题的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴交点以及过特殊点时,相应的系数a、b、c满足的关系进行综合判断即可.
【解答】解:∵抛物线的对称轴为x=1,过(﹣1,0),
∴抛物线与x轴的另一个交点为(3,0),
∴当x=1时,y=a+b+c,即(1,a+b+c)为最高点,因此①正确;
∵当x=﹣1时,y=a﹣b+c=0,
∴②不正确;
由图象可知,当﹣1<x<3时,y>0,故④正确,当x<﹣1或x>3时,y<0,当x>1时,y随x的增大而减小,故③错误;
故选:B.
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系,掌握抛物线的位置与相应的系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提.
12.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABOC的边BO在x轴上,固定点B、O,把菱形沿箭头方向推,使点C落在y轴正半轴上点C′处,若∠COC′=30°,OC′=2,则点A的坐标为( )
A.(﹣,1)B.(﹣2,1)C.(﹣3,)D.(﹣2,)
【分析】过点C作CD⊥OB于点D,由直角三角形的性质求出OD和CD的长,由菱形的性质得出AC∥OB,AC=OC=OB=2,则可得出答案.
【解答】解:过点C作CD⊥OB于点D,
∵∠COC′=30°,
∴∠DOC=60°,
∵OC'=OC=2,
∴OD=1,
∴CD==,
∵四边形ABOC为菱形,
∴AC∥OB,AC=OC=OB=2,
∴点A到y轴的距离为1+2=3,
∴A(﹣3,).
故选:C.
【点评】本题考查了菱形的性质,直角三角形的性质,坐标与图形的性质,勾股定理,正确的识别图形是解题的关键.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4个小题,每小题3分,共12分)
13.《九章算术》中注有“今两算得失相反,要令正负以名之”,意思是:今有两数若其意义相反:则分别叫作正数与负数.若收入60元记作+60元,则支出30元记作 ﹣30 元.
【分析】由于收入与支出是互为相反意义的量,由已知即可求解.
【解答】解:由题意可知,收入与支出是互为相反意义的量,
∴支出30元记为﹣30元,
故答案为﹣30.
【点评】本题考查正数与负数;理解正数与负数的意义是解题的关键.
14.如图,已知∠1=30°,∠B=60°,AB⊥AC,要使AB∥CD,则需添加 ∠ACD=90°(答案不唯一). (只填出一种即可)的条件.
【分析】由平行线的判定,即可得到答案.
【解答】解:∵AB⊥AC,
∴∠BAC=90°,
若∠ACD=90°,则∠BAC=∠ACD,
∴AB∥CD,
∴要使AB∥CD,可添加∠ACD=90°(答案不唯一).
故答案为:∠ACD=90°(答案不唯一).
【点评】本题考查平行线的判定,关键是掌握平行线的判定方法.
15.制作弯管时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料.图中弯管(不计厚度)有一段圆弧(),点O是这段圆弧所在圆的圆心,半径OA=80cm,圆心角∠AOB=100°,则这段弯管中的长为 cm(结果保留π).
【分析】直接利用弧长公式“”求解即可.
【解答】解:∵半径OA=80cm,圆心角∠AOB=100°,
∴这段弯管中的长为,
故答案为:.
【点评】本题主要考查了弧长的计算,掌握弧长公式是解题的关键.
16.如图,在矩形ABCD中,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:
①分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;
②作直线MN交CD于点E,若DE=3,CE=5,对角线AC的长为 4 .
【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AC,则根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC=5,然后利用勾股定理先计算出AD,再计算出AC的长.
【解答】解:由作法得MN垂直平分AC,
∴EA=EC=5,
在Rt△ADE中,AD===4,
在Rt△ADC中,AC===4.
故答案为:4.
【点评】本题考查了作图﹣基本作图:熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键.也考查了线段垂直平分线的性质和矩形的性质.
三、解答题(本大题共12个小题,共72分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17.(4分)计算:.
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式,然后合并即可;
【解答】解:原式=2﹣3+5
=4;
【点评】本题考查了二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的性质是解决问题的关键.
18.(4分)先化简,再求值:÷﹣,其中m=4.
【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子,然后将m的值代入化简后的式子计算即可.
【解答】解:÷﹣
=﹣
=
=,
当m=4时,原式==.
【点评】本题考查分式的化简求值、熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
19.(4分)解不等式组:
【分析】求解各不等式的值,借助数轴求出解集.
【解答】解:,
解不等式①得,x>1,解不等式②得,x≤4,则不等式组的解集为1<x≤4.
【点评】本题考查了不等式组的解法,解一元一次不等式是解此题的关键.
20.(5分)如图,已知AB=DC,AB∥CD,E、F是AC上两点,且AF=CE.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若∠BCE=30°,∠CBE=70°,求∠CFD的度数.
【分析】(1)由平行线的性质得出∠BAE=∠FCD,根据SAS可得出△ABE≌△CDF;
(2)求出∠AEB=∠BCE+∠CBE=100°,可得出∠CFD=∠AEB=100°.
【解答】(1)证明:∵AB∥CD,
∴∠BAE=∠FCD,
∵AF=CE,
∴AE=CF,
又∵AB=CD,
∴△ABE≌△CDF(SAS).
(2)解:∵∠BCE=30°,∠CBE=70°,
∴∠AEB=∠BCE+∠CBE=30°+70°=100°,
∵△ABE≌△CDF,
∴∠CFD=∠AEB=100°.
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质,平行线的性质,三角形的外角和等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
21.(6分)为了测量大树MN的高度,小华在地面上B点处测得大树顶端M的仰角为35°,小华继续向大树方向走8m到达点D时,又测得遮挡物E点的仰角为60°,已知A、E、M三点共线,小华的眼睛距地面的高度不变且距离为1.6m,即AB=CD=1.6m,遮挡物EF与大树MN的距离FN=6m,EF⊥BN,MN⊥BN,(B,D,F,N在同一水平线上).求大树的高MN(结果精确到1m).(参考数据:sin35°≈0.6,cs35°≈0.8,tan35°≈0.7,≈1.7)
【分析】延长AC交EF于P,交MN于Q,则QN=AB=1.6m,PQ=FN=6m,由锐角三角函数定义求出EP=CP,设CP=x m,则EP=x m,再由锐角三角函数定义得t≈0.7,解得x=5.6,则AQ=19.6(m),然后由锐角三角函数定义求出MQ的长,即可解决问题.
【解答】解:延长AC交EF于P,交MN于Q,如图所示:
则QN=AB=1.6m,PQ=FN=6m,
在Rt△ECP中,∠ECP=60°,tan∠ECP==tan60°=,
∴EP=CP,
设CP=x m,则EP=x m,
∴AP=AC+CP=(8+x)m,AQ=AC+CP+PQ=8m+x m+6m=(14+x)m,
∵tan∠EAP==tan35°≈0.7,
∴≈0.7,
解得:x=5.6,
∴AQ=19.6(m),
∵tan∠MAQ==tan35°≈0.7,
∴MQ≈0.7AQ=0.7×19.6=13.72(m),
∴MN=MQ+QN=13.72+1.6≈15(m),
答:大树的高MN约为15m.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题以及锐角三角函数定义等知识;熟练掌握锐角三角函数定义,正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键.
22.(6分)随着春节临近,某儿童游乐场推出了甲、乙两种消费卡,其中,甲为按照次数收费,乙为收取办卡费用以后每次打折收费.设消费次数为x时,所需费用为y元,且y与x的函数关系如图所示.根据图中信息,解答下列问题.
(1)分别求出选择这两种卡消费时,y关于x的函数表达式;
(2)求出入游乐场多少次时,两者花费一样?费用是多少?
(3)洋洋爸准备了240元,请问选择哪种划算?
【分析】(1)运用待定系数法,即可求出y与x之间的函数表达式;
(2)根据(1)的结论联立方程组解答即可;
(3)分别令(1)中的y=240,求出对应的x的值,再比较即可.
【解答】解:(1)设y甲=k1x,
根据题意得4k1=80,解得k1=20,
∴y甲=20x;
设y乙=k2x+80,
根据题意得:12k2+80=200,
解得k2=10,
∴y乙=10x+80;
(2)解方程组
解得:,
∴出入园8次时,两者花费一样,费用是160元;
(3)当y=240时,y甲=20x=240,
∴x=12;
当y=240时,y乙=10x+80=240,
解得x=16;
∵12<16,
∴选择乙种更合算.
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、学会利用方程组求两个函数图象的解得坐标,正确由图象得出正确信息是解题关键.
23.(6分)甲、乙两支篮球队在集训期内进行了五场比赛,将比赛成绩进行统计后,绘制成如图1、图2的统计图.
(1)已知甲队五场比赛成绩的平均分=90分,请你计算乙队五场比赛成绩的平均分;
(2)就这五场比赛,分别计算两队成绩的极差;
(3)如果从甲、乙两队中选派一支球队参加篮球锦标赛,根据上述统计情况,试从平均分、折线的走势、获胜场数和极差四个方面分别进行简要分析,你认为选派哪支球队参赛更能取得好成绩?
【分析】(1)根据平均数=总成绩÷次数计算;
(2)找到各组数据的最大值和最小值,计算它们的差即是极差;
(3)结合平均分、折线的走势、获胜场数和极差四方面进行分析即可.
【解答】解:(1)=(110+90+83+87+80)÷5=90(分);
(2)甲队成绩的极差是98﹣80=18分,
乙队成绩的极差是110﹣80=30分;
(3)从平均分看,两队的平均分相同,实力大体相当;
从折线的走势看,甲队比赛成绩呈上升趋势,而乙队比赛成绩呈下降趋势;
从获胜场数看,甲队胜三场,乙队胜两场,甲队成绩较好;
从极差看,甲队比赛成绩比乙队比赛成绩波动小,甲队成绩较稳定.
综上,选派甲队参赛更能取得好成绩.
【点评】本题考查了统计图的有关知识,条形统计图是反映具体的数据,折线统计图是反映数据的变化情况.解答本题的关键是熟练掌握对统计图的分析和平均数的计算.要理解极差的概念,能够根据计算的数据进行综合分析.
24.(6分)如图,△ABC是⊙O内接三角形,AB是⊙O的直径,C是弧AF的中点,弦BC,AF相交于点E,在BC延长线上取点D,使得AD=AE.
(1)求证:AD是⊙O切线;
(2)若∠OEB=45°,求sin∠ABD的值.
【分析】(1)先由圆周角定理得∠ACB=90°,则∠CBA+∠CAB=90°,AC⊥BD,再由等腰三角形的性质得∠CAD=∠CAE,然后由圆周角定理得∠CAF=∠CBA,则∠CAD=∠CBA,证出∠DAB=90°,即可得出结论;
(2)由圆周角定理得∠CBF=∠CBA,∠AFB=90°,设∠CBF=∠CBA=x,∠EAB=y,则y=90°﹣2x,再证∠AEO=∠AOE,得AE=AO,然后证△CEA∽△CAB,得===,则CB=2CA,即可解决问题.
【解答】(1)证明:∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CBA+∠CAB=90°,AC⊥BD,
∵AD=AE,
∴∠CAD=∠CAE,
∵C是弧AF的中点,
∴,
∴∠CAF=∠CBA,
∴∠CAD=∠CBA,
∴∠CAD+∠CAB=90°,
即∠DAB=90°,
∴AD⊥OA,
又∵OA是⊙O的半径,
∴AD是⊙O切线;
(2)解:∵C是弧AF的中点,
∴,
∴∠CBF=∠CBA,
设∠CBF=∠CBA=x,∠EAB=y,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠AFB=90°,
∴∠FAB+∠FBA=90°,
即y+2x=90°,
∴y=90°﹣2x,
∵∠FEB=∠EAB+∠EBA=y+x,
∴∠AEO=180°﹣∠OEB﹣∠FEB=180°﹣45°﹣y﹣x=135°﹣x﹣y=135°﹣x﹣(90°﹣2x)=45°+x,
∵∠AOE=∠OEB+∠OBE=45°+x,
∴∠AEO=∠AOE,
∴AE=AO,
∵∠ACB=∠ACB,∠CAE=∠CBA,
∴△CEA∽△CAB,
∴===,
∴CB=2CA,
∴AB===CA,
∴sin∠ABD===.
【点评】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数定义等知识;熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键.
25.(7分)如图,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点,其中点A的坐标为(﹣2,3),点B的横坐标为6.
(1)求这两个函数的表达式;
(2)根据图象,直接写出满足的x的取值范围;
(3)连接OA,OB,点P在直线AB上,且,求点P的坐标.
【分析】(1)将点A坐标代入反比例函数解析式,可求反比例函数解析式,可求点B坐标,将点A、点B坐标代入一次函数解析式,可求解;
(2)利用图象可直接求解;
(3)根据,求得点P的横坐标,再根据一次函数解析式可得答案.
【解答】解:(1)∵一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数的图象相交于A(﹣2,3),
∴k2=﹣2×3=﹣6,3=﹣2k1+b①,
∴反比例函数解析式为y=﹣,
∵点B的横坐标为6,
∴点B(6,﹣1),
∴﹣1=6k1+b②,
①﹣②得:k1=﹣,
∴b=2,
∴一次函数解析式为y=﹣x+2;
(2)由图象可得:当x<﹣2或0<x<6时,一次函数图象在反比例函数图象的上方,即k1x+b﹣>0;
(3)当x=0时,y=2,
∴S△AOB=S△ACO+S△BCO=×2×2+×2×6=8,
S△AOC=×2×2=2,
分两种情况:
①如图1,当P在线段AB上时,
∵,
∴S△AOP=×8=,S△POC=2﹣=,
∴×2×|xP|=,
∴xP=﹣,
∴点P的坐标为(﹣,);
②如图2,当点P在线段BA的延长线上时,
∵,
∴S△AOP=×8=,S△POC=2+=,
∴×2×|xP|=,
∴xP=﹣,
∴点P的坐标为(﹣,);
综上所述,点P的坐标为(﹣,)或(﹣,).
【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题,熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键.
26.(7分)如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,AB=13,CD=9,若AD:AC=4:5.
(1)求△ABC的面积;
(2)若点P从点C出发,以每秒2个单位的速度沿着CD—DA运动,设点P运动的时间为t秒,求当t为何值时,△PAB为轴对称图形?
【分析】(1)根据题意,可设AD=4x,AC=5x,在Rt△ACD中,由勾股定理,可得x=3,从而得到AD=12,AC=5,然后在Rt△ABD中,由勾股定理求出BC=14,即可求解;
(2)根据题意可得△PAB为等腰三角形,然后分四种情况讨论:当AB=BP=13时;当AB=AP=13时,点P只能在线段CD上;当BP=AP,且点P在线段CD上时;当BP=AP,且点P在线段AD上时,即可求解.
【解答】解:(1)∵AD:AC=4:5.
∴可设AD=4x,AC=5x,
在Rt△ACD中,CD=9,由勾股定理得:AC2=AD2+CD2,
∴(5x)2=(4x)2+92,解得:x=3或x=﹣3(舍去)
∴AD=4x=12,AC=5x=15,
在Rt△ABD中,AB=13,由勾股定理得:
∴BD===5,
∴BC=BD+CD=5+9=14,
∴△ABC的面积为AD×=84;
(2)由△PAB为轴对称图形,得:△PAB是等腰三角形,
如图,当AB=BP=13时,
∴PC=BC﹣BP=14﹣13=1,
此时t=(秒);
如图,当AB=AP=13时,点P只能在线段CD上,
∵AD⊥BC,
∴PD=BD=5,
∴BP=10,
∴PC=BC﹣BP=4,
∴t==2(秒);
如图,当BP=AP,且点P在线段CD上时,
设DP=a,则BP=AP=5+a,
在Rt△ADP中,由勾股定理得:AP2=AD2+DP2,
∴(5+a)2=122+a2,
解得:a=,
即DP>DC,故此情况不成立;
如图,当BP=AP,且点P在线段AD上时,过点P作PM作PM⊥AB于点M,
设PD=m,则BP=AP=12﹣m,
在Rt△BDP中,由勾股定理得:BP2=BD2+DP2,
∴(12﹣m)2=52+m2,解得:m=,
∴PD+CD=9+,
∴此时t=(秒);
综上所述,当t为秒或2秒或秒时,△PAB为轴对称图形.
【点评】本题主要考查了勾股定理,等腰三角形的性质及分类讨论,熟练掌握相关知识是解题的关键.
27.(8分)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,3),点P是抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当点P在直线AC上方的抛物线上时,连接BP交AC于点D,如图1,当的值最大时,求点P的坐标及的最大值;
(3)过点P作x轴的垂线交直线AC于点M,连结PC,将△PCM沿直线PC翻折,当点M的对应点M′恰好落在y轴上时,请直接写出此时点M的坐标.
【分析】(1)运用待定系数法,将点A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c,即可求得抛物线的解析式;
(2)运用待定系数法可得直线AC的解析式为y=x+3,过点P作PE∥x轴交直线AC于点E,设P(t,﹣t2﹣2t+3),则E(﹣t2﹣2t,﹣t2﹣2t+3),可得PE=﹣t2﹣2t﹣t=﹣t2﹣3t,由PE∥x轴,得△EPD∽△ABD,进而得出===﹣(t+)2+,再运用二次函数的性质即可求得答案;
(3)设点P的坐标,则点M的坐标可表示,PM长度可表示,利用翻折推出PM=CM,列方程求解即可求得答案.
【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C(0,3),
∴,
解得:,
∴该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3;
(2)设直线AC的解析式为y=kx+n,则,
解得:,
∴直线AC的解析式为y=x+3,
过点P作PE∥x轴交直线AC于点E,如图,
设P(t,﹣t2﹣2t+3),则E(﹣t2﹣2t,﹣t2﹣2t+3),
∴PE=﹣t2﹣2t﹣t=﹣t2﹣3t,
∵A(﹣3,0),B(1,0),
∴AB=1﹣(﹣3)=4,
∵PE∥x轴,
∴△EPD∽△ABD,
∴=,
∴==﹣(t+)2+,
∵﹣<0,
∴当t=﹣时,的值最大,最大值为,此时点P的坐标为(﹣,);
(3)如图,设P(m,﹣m2﹣2m+3),
则M(m,m+3),
∴PM=|m+3﹣(﹣m2﹣2m+3)|=|m2+3m|,
CM==|m|,
∵△PCM沿直线PC翻折,M的对应点为点M′,M′落在y轴上,
而PM∥y轴,
∴PM∥CM′,PM=PM′,CM=CM′,∠PCM=∠PCM′,
∴∠PCM′=∠MPC,
∴∠PCM=∠MPC,
∴PM=CM,
∴|m2+3m|=|m|,
当m2+3m=m时,
解得:m1=0(舍去),m2=﹣3,
此时点M(﹣3,);
当m2+3m=﹣m时,
解得:m1=0(舍去),m2=﹣﹣3,
此时点M(﹣﹣3,﹣);
综上,点M的坐标为(﹣3,)或(﹣﹣3,﹣).
【点评】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数解析式,点坐标转换为线段长度,几何图形与二次函数结合的问题,相似三角形的判定和性质,翻折变换的性质等,最后一问推出PM=CM为解题关键.
28.(9分)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,P是直线BD上一动点,以AP为边向右侧作等边△APE(A,P,E按逆时针排列),点E的位置随点P的位置变化而变化.
(1)如图1,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,则BP与CE的数量关系是 BP=CE ,BC与CE的位置关系是 BC⊥CE ;
(2)如图2,当点P在线段BD上,且点E在菱形ABCD外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,请说明理由;
(3)当点P在直线BD上时,其他条件不变,连接BE.若AB=2,BE=2,请直接写出△APE的面积.
【分析】(1)连接AC,根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论;
(2)(1)中的结论成立,用(1)中的方法证明△BAP≌△CAE即可;
(3)分两种情形:当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时,连接AC交BD于点O,由∠BCE=90°,根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长,再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论.
【解答】解:(1)如图1,连接AC,延长CE交AD于点H,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
∵∠ABC=60°,
∴△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°;
∵△APE是等边三角形,
∴AP=AE,∠PAE=60°,
∴∠BAP=∠CAE=60°﹣∠PAC,
∴△BAP≌△CAE(SAS),
∴BP=CE;
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABP=∠ABC=30°,
∴∠ABP=∠ACE=30°,
∵∠ACB=60°,
∴∠BCE=60°+30°=90°,
∴CE⊥BC;
故答案为:BP=CE,CE⊥BC;
(2)(1)中的结论:BP=CE,CE⊥AD 仍然成立,理由如下:
如图2中,连接AC,设CE与AD交于H,
∵菱形ABCD,∠ABC=60°,
∴△ABC和△ACD都是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAD=120°,∠BAP=120°﹣∠DAP,
∵△APE是等边三角形,
∴AP=AE,∠PAE=60°,
∴∠CAE=60°+60°﹣∠DAP=120°﹣∠DAP,
∴∠BAP=∠CAE,
∴△ABP≌△ACE(SAS),
∴BP=CE,∠ACE=∠ABD=30°,
∴∠DCE=30°,
∵∠ADC=60°,
∴∠DCE+∠ADC=90°,
∴∠CHD=90°,
∴CE⊥AD;
∵AD∥BC,
∴CE⊥BC.
∴(1)中的结论:BP=CE,CE⊥AD 仍然成立;
(3)如图3中,当点P在BD的延长线上时,连接AC交BD于点O,连接CE,BE,作EF⊥AP于F,
∵四边形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD BD平分∠ABC,
∵∠ABC=60°,AB=2,
∴∠ABO=30°,
∴AO=AB=,OB=AO=3,
∴BD=6,
由(2)知CE⊥AD,
∵AD∥BC,
∴CE⊥BC,
∵BE=2,BC=AB=2,
∴CE==8,
由(2)知BP=CE=8,
∴DP=2,
∴OP=5,
∴AP===2,
∵△APE是等边三角形,
∴S△AEP=×(2)2=7,
如图4中,当点P在DB的延长线上时,同法可得AP===2,
∴S△AEP=×(2)2=31,
综上所述,△AEP的面积为7或31.
【点评】此题是四边形的综合题,重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点,解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线,将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来,此题难度较大,属于考试压轴题.
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