中考数学（辽宁卷）-2024年中考数学第三次模考试

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2、二模考试大致在五月份，难度相对较大。这次考试主要检测学校以及学生在第一轮复习的成果，让老师和孩子找到问题的关键，是否存在基础不扎实，计算能力是否需要加强等等。然后找到解决方法，做到复习方法的改进，以及重难点的分布，复习的目标。
3、三模考试大概在中考前两周左右，三模是中考前的最后一次考前检验。三模学校会有意降低难度，目的是增强考生信心，难度只能是中上水平，主要也是对初中三年的知识做一个系统的检测，让学生知道中考的一个大致体系和结构。
2024年中考第三次模拟考试（辽宁卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各数中，绝对值最大的数是（ ）
A．4B．−5C．0D．−1
【答案】B
【分析】本题考查了有理数大小比较以及绝对值，掌握有理数大小比较方法是解答本题的关键．先求出每个数的绝对值，再根据实数的大小比较法则比较即可．
【详解】解：4、−5、0、−1的绝对值分别为4、5、0、1，
所以绝对值最大的数是−5．
故选：B．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查中心对称图形的识别，根据定义“如果一个图形绕一点旋转180度后能与自身重合，这个图形叫做中心对称图形”逐项判断即可．
【详解】解：根据中心对称图形的定义可知：
A，不是中心对称图形，不合题意；
B，不是中心对称图形，不合题意；
C，是中心对称图形，符合题意；.
D，不是中心对称图形，不合题意；
故选C．
3．如图，该几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．找到从正面看所得到的图形即可．
【详解】根据题意得，
该几何体的主视图是．
故选：A．
4．下列计算正确的是（ ）
A．m2⋅m5=m10B．m2=mC．m+n2=m2+n2D．−3m3n3=−27m9n3
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，二次根式的性质，积的乘方和幂的乘方运算法则分别计算即可判断．
【详解】解：A、m2⋅m5=m7，故错误，不合题意；
B、m2=m，故错误，不合题意；
C、m+n2=m2+n2+2mn，故错误，不合题意；
D、−3m3n3=−27m9n3，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，二次根式的性质，积的乘方和幂的乘方运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
5．下图是描述某校篮球队员年龄的条形图，则这个篮球队员年龄的众数和中位数分别为（ ）
A．14，15B．15，14C．15，15D．15，14.5
【答案】D
【分析】本题考查中位数、众数，掌握中位数、众数的计算方法是正确判断的前提．根据中位数、众数的定义进行计算即可求解．
【详解】解：这20名篮球队员年龄出现次数最多的是15岁，共出现8次，因此众数是15岁；
将这20名篮球队员的年龄从小到大排列，处在中间位置的2个数是14岁和15岁，因此中位数是14+152=14.5岁．
故选：D．
6．小康和小明都是短视频爱好者，他们从近期火爆的A，B，C三个UP主中随机选择一个关注，则两人关注的是同一个UP主的概率是（ ）
A．12B．13C．23D．14
【答案】B
【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及两人关注的是同一个UP主的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：根据题意画树状图为：
共有9种等可能的情况，其中两人关注的是同一个UP主的情况为3，
所以两人关注的是同一个UP主的概率=39=13，
故选：B．
7．关于x的一元二次方程x2−4x−2k=0，下列说法正确的为（ ）
A．k>−3时，方程有两个不相等的实数根
B．k>−2时，方程有两个不相等的实数根
C．k<3时，方程有两个不相等的实数根
D．k<2时，方程有两个不相等的实数根
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，一元二次方程没有实数根．求出根的判别式即可求解．
【详解】解：∵x2−4x−2k=0，
∴Δ=−42−4×1×−2k=16+8k，
当Δ=16+8k>0时，k>−2，此时方程有两个不相等的实数根．
故选B．
8．如图，以直角△ABC的一个锐角的顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直角边AB于点D，交斜边AC于点E，再分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点G，若AB=3，BC=4，用S△ABC表示△ABC的面积（其它同理），则S△ABGS△ACG＝（ ）
A．12B．34C．35D．45
【答案】B
【分析】本题考查了角平分线的性质定理和尺规作图，勾股定理等知识，解答时过点G作GH⊥AC于点H，得到BG=GH，再由勾股定理求出AC，再推出S△ABGS△ACG=ABAC，则问题可解
【详解】解：如图，过点G作GH⊥AC于点H，
由尺规作图可知，AG为∠BAC平分线，
∵∠B=90°，
∴BG=GH，
∵∠B=90°，AB=3，BC=4，
∴AC=AB2+BC2=32+42=5，
∴S△ABGS△ACG=12AB⋅BG12AC⋅GH=ABAC=34，
故选：B．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE⊥BC于点E，若BE=3CE，则∠BAD等于（ ）
A．100°B．120°C．135°D．150°
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理、等弧对等弦、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识点，解题的关键是作出正确的辅助线．
连接BD，先由圆周角定理及“等弧对等弦”证得∠CAD=45°，再由“同弧上的圆周角相等”证得∠DBE=45°，结合∠BED=90°可推得DE=BE，得出DE=3CE，则∠DCE=60°，再根据四边形内角和定理可得∠BAD的大小．
【详解】如图，连接BD．
∵AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，AD=CD，
∴∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠DAC=∠ACD=45°．
∴∠DBC=∠DAC=45°，
∵DE⊥BC，则∠BED=90°，
∴△BDE是等腰直角三角形，又BE=3CE
∴DE=3CE，
在Rt△CDE中，tan∠DCE=DECE=3，
∴∠DCE=60°．
∴∠BAD=180°−∠DCE
=120°．
故选：B．
10．定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于nn≥0的点叫做这个函数图像上的一个“n阶方形内点”．例如，点13，13是函数y=x图像上的一个“12阶方形内点”；点2，1是函数y=2x图像上的一个“2阶方形内点”．若y关于x的二次函数y=−（x−n）2−2n+1的图像上一定存在“n阶方形内点”，则n的取值范围是（ ）
A．0≤n≤1B．14≤n≤1C．0≤n≤14D．n≥1
【答案】B
【分析】本题主要考查了二函数与几何综合，由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线y=−2x+1上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点−n,n和点n,−n时为临界情况，求出此时n的值，由图象可得a的取值范围．
【详解】解：∵二次函数解析式为y=−x−n2−2n+1，
∴
二次函数y=−x−n2−2n+1图象的顶点坐标为n,1−2n，
∴二次函数y=−x−n2−2n+1图象的顶点坐标在直线y=−2x+1上移动，
∵y关于x的二次函数y=−x−n2−2n+1图象的“n阶好点”一定存在，
∴二次函数y=−x−n2−2n+1的图象与以顶点坐标为−n,−n，n,−n，−n,n，n,n的正方形有交点，
如图，当二次函数y=−x−n2−2n+1恰好经过n，−n时，则−2n+1=−n，
∴n=1；
如图，当二次函数y=−x−n2−2n+1恰好经过−n，n时，则−4n2−2n+1=n，
解得n=14或n=−1（舍去）；
∴由图可知，当14≤n≤1时二次函数y=−x−n2−2n+1的图像上一定存在“n阶方形内点”，
故选B．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．因式分解：2m3−8mn2= ．
【答案】2mm+2nm−2n
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键．
【详解】解：2m3−8mn2=2mm2−4n2=2mm+2nm−2n，
故答案为：2mm+2nm−2n．
12．在平面直角坐标系中， 已知点A4，−2，B−6，−4， 以原点 O为位似中心，相似比为 12， 把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是
【答案】2,−1或−2,1
【分析】
本题考查了利用位似求对应点的坐标，利用位似图形的性质得出对应点坐标乘以12或−12，求出结果即可．
【详解】解：∵点A4，−2，B−6，−4， 以原点 O为位似中心，相似比为 12， 把△ABO缩小，则点A的对应点A'的坐标是2,−1或−2,1，
故答案为：2,−1或−2,1．
13．若关于x的分式方程xx−3−2=m2x−3有增根，则m的值为
【答案】±3
【分析】此题主要考查分式方程的解．先去掉分母，再把增根x=3代入即可求出m的值．
【详解】解：去分母得x−2x−3=m2，
∵关于x的分式方程xx−3−2=m2x−3有增根，
∴x−3=0，即增根x=3，
把增根x=3代入x−2x−3=m2得3=m2，
解得m=±3，
故答案为：±3．
14．如图，在平面直角坐标系中，等腰△ABC的底边BC在x轴的正半轴上，顶点A在反比例函数y=kxx>0的图像上，延长AB交y轴于点D，若OC=4OB，△BOD的面积为23，则k的值为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形性质，反比例函数k几何意义，过点A作AE⊥BC于点E，证明△OBD∽△EBA，结合等腰三角形性质推出BE=32OB，进而得到S△EBAS△OBD=BEOB2，推出△EBA的面积，进而得到OB⋅AE=2，根据反比例函数k几何意义得到k=OE⋅AE=OB+32OB⋅AE进行求解，即可解题．
【详解】解：过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠BOD=∠AEB=90°，
∴AE∥OD，
∴△OBD∽△EBA，
∵ △ABC等腰三角形，
∴BE=EC=12BC，
∵ OC=4OB，
∴BC=OC−OB=3OB，
∴BE=32OB，
∴ S△EBAS△OBD=BEOB2=94，
∵ △BOD的面积为23，
∴ △EBA的面积为32，
即12BE⋅AE=12×32OB⋅AE=32，
∴OB⋅AE=2，
∴k=OE⋅AE=OB+32OB⋅AE=5，
故答案为：5．
15．如图，Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B'F的长为 ．
【答案】45/0.8
【分析】此题考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积，勾股定理的应用等，根据折叠可得CD=AC=3，B'C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B'CF，CE⊥AB，然后推导出△ECF是等腰直角三角形，进而求得∠B'FD=90°，CE=EF=125， ED=AE=95，从而求得B'D=1，DF=35，在Rt△B'DF中，由勾股定理即可求得B'F的长，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键．
【详解】解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B'C=BC=4，∠ACE=∠DCE，∠BCF=∠B'CF，CE⊥AB，
∴B'D=4−3=1，∠DCE+∠B'CF=∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF=CE，∠EFC=45°，
∴∠BFC=∠B'FC=135°，
∴∠B'FD=135°−45°=90°，
∵S△ABC=12AC·BC=12AB·CE，
∴AC·BC=AB·CE，
∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=32+42=5，
∴3×4=5×CE，
∴CE=125，
∴EF=125，ED=AE=AC2−CE2=32−1252=95，
∴DF=EF−ED=125−95=35，
∴B'F=B'D2−DF2=12−352=45，
故答案为：45．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（9分）计算：
(1)计算：(π−2024)0+2sin45°−25；
(2)化简：a2−b23a÷(1−ba)．
【详解】（1）解：(π−2024)0+2sin45°−25
=1+2×22−5
=1+2−5
=2−4
（2）解：a2−b23a÷(1−ba)
=(a+b)(a−b)3a÷a−ba
=(a+b)(a−b)3a⋅aa−b
=13(a+b)
17．（8分）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，点A、B、C均为格点（网格线的交点），A2，3、B3，2、C1，0．
(1)将△ABC向下平移3个单位，再向左平移4个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1绕点O逆时针旋转90°，得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
(3)在（2）的旋转过程中，点C1经过的路径长为
【详解】（1）解：如图所示，
（2）解：如图所示
（3）解：旋转过程中，点C1所经过的路径长为以OC1为半径，90°为圆心角的弧长，
∴C1C2⌢=90180×π×32+32=322π，
故答案为：322π．
18．（8分）据中国乘用车市场信息联席会整理的海关数据显示，2023年全年中国汽车出口的数量和金额均达到世界第一，首次超越日本成为全球最大汽车出口国．为保护中国汽车出口的大好形势，各大品牌严把质量关．某品牌汽车计划对该品牌下其中一种型号某一批次新能源汽车的电池续航里程进行检测，随机抽取20辆这种型号汽车，将其电池续航里程的检测结果绘制成如下统计图，请根据统计图中的信息，解答下列问题：
(1)所抽取汽车电池续航里程的众数是______km，中位数是______km；
(2)求所抽取汽车电池续航里程的平均数；
(3)若该种型号新能源汽车本批次共生产了150辆，请估计电池续航里程能达到500km的有多少辆？
【详解】（1）解：抽取20辆这种型号汽车中，电池续航里程为470km的汽车最多，
∴众数为：470km，
抽取20辆这种型号汽车中，将电池续航里程从小到大排列，排在第9和第10的电池续航里程都是470km，
∴中位数是470km，
故答案为：470，470；
（2）解：2×450+4×460+5×470+4×480+1×490+4×50020=475km，
答：抽取汽车电池续航里程的平均数475km；
（3）解：420×150=30（辆）
答：电池续航里程能达到500km的有30辆．
19．（8分）信号山公园位于青岛老城区的中心位置，山顶有3幢红色蘑菇楼，取意于古代通信的3柄火炬，其中旋转观景楼高共6层，楼内镶嵌着反映人类通信发展史的大型彩色釉画.某校数学社团登上信号山开展实践活动，他们利用无人机在P点处测得观景楼顶端A的俯角为31°，测得观景楼底端B的俯角为64.5°，此时无人机到山顶地面的垂直距离PC为28米，求旋转观景楼的高度AB(结果保留整数)．(参考数据：sin31°≈12，cs31°≈56，tan31°≈35，sin64.5°≈910，tan64.5°≈2110 )
【详解】解：延长BA交DP于点E，
由题意得：EB=PC=28米，BE⊥DP，
在Rt△BEP中，∠BPE=64.5°，
∴PE=BEtan64.5°≈282110≈13.3(米)
在Rt△AEP中，∠APE=31°，
∴AE=PE⋅tan31°≈13.3×35=7.98(米)
∴AB=BE−AE=28−7.98≈20(米)
∴旋转观景楼的高度AB约为20米．
20．（9分）某地大力推广成本为10元/斤的农产品，该农产品的售价不低于15元/斤，不高于30元/斤．
(1)每日销售量y（斤）与售价x（元/斤）之间满足如图函数关系式．求y与x之间的函数关系式；
(2)若每天销售利润率不低于40%，且不高于100%，求每日销售的最大利润；
(3)该地科技助农队帮助果农降低种植成本，成本每斤减少m元（0【详解】（1）解：由图象可知函数为一次函数，设函数关系式为y=kx+b，
由题意得：当x=15时，y=200；当x=20时，y=160；
∴ 15k+b=20020k+b=160，
解得：k=−8，b=320．
∴y=−8x+320，
答：y与x之间的函数关系式为y=−8x+320；
（2）解：由题意得：40%≤x−1010×100%≤100%，
解得：14≤x≤20，
设每日销售利润为w元，
∴w=(−8x+320)(x−10)=−8x2+400x−3200，
∵a=−8，
∴开口向下，
∵对称轴为直线x=25，14≤x≤20，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=20时，利润最大为w=(−8×20+320)(20−10)=1600（元)，
答：每日销售的最大利润为1600元；
（3）解：设成本每斤减少m元后每日销售利润为Q元，则
Q=(−8x+320)(x−10+m)=−8x2+400−8mx+320m−3200，
∴对称轴为：直线x=50−m2，
∵0∴21<50−m2≤25，
∵15≤x≤30，
∴当x=50−m2时，利润最大，
∴−8×50−m2+32050−m2−10+m=2592，
解得：m=6或m=−66（不合题意舍去），
答：m的值为6．
21．（9分）如图，矩形ABCD中，AB=16，AD=6．E是CD的中点，以AE为直径的⊙O与AB交于F，过F作FG⊥BE于G．
(1)求证：FG是⊙O的切线．
(2)求cs∠EBA的值．
【详解】（1）连接DF交AE于点O，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形ADEF是矩形，
∴AF=DE，OF=OA=OD=OE，
∴点O是⊙O的圆心，
∵E是CD的中点，
∴DE=CE，
∵DC=AB ，
∴AF=BF，
∵AO=OE，
∴OF∥BE，
∵FG⊥BE，
∴FG⊥OF，
∴FG是⊙O的切线；
（2）∵AB=16，
∴BF=12AB=8，
∵EF=AD=6，∠BFE=180°−∠AFE=90°，
∴BE=EF2+BF2=10，
∴cs∠EBA=BFBE=45．
22．（12分）嘉淇做数学探究实验，如图，已知：△ABC,△OPQ均为直角三角形，其中∠BAC=∠OQP=90°,AB=AC=22,OQ=PQ,OP=4，现以AC为边作四边形ACDE，且∠CAE=60°，∠D=90°,CD=DE，点B,C,D在一条直线上．
第一步，如图1，将△OPQ的顶点O与点A重合，AB在OP上；
第二步，如图2，将△OPQ绕点O逆时针方向旋转，每秒旋转15°,OP,OQ分别与BC边交于点M,N；
第三步，如图3，当△OPQ旋转到点P落在CD上时停止旋转，此时点Q恰好在AE上；
第四步，如图4，在第三步的基础上，点O带动△OPQ立即沿边AE从点A向点E平移，每秒2个单位长度，当点O与点E重合时停止运动，设整个过程中△OPQ的运动时间为ts．
(1)如图1，①BC______OP；②点A到直线BD的距离是______；
(2)如图2，求证△ABN∽△MCA；
(3)如图3，当△OPQ从初始位置到点P落在CD上时，求BP的长度；
(4)当点P落在四边形ACDE的边上时，直接写出对应t的值．
【详解】（1）①=；②2．
根据勾股定理，得BC=AB2+AC2=4=OP．
根据题意，可知∠ABC=∠POQ=45°，
∴AF=BF，∠AFB=90°，
∴AF2+BF2=AB2=8，
解得AF=2，
所以点A到BD的距离是2．
故答案为：=，2；
（2）根据题意可知∠QPA=∠QAP=∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠AMC=∠BAN=45°+∠BAM，
∴△ABN∽△MCA；
（3）如图，连接CE,PE，
∵∠D=90°,CD=DE,
∴∠DCE=∠DEC=45°，
则∠ACE=90°．
∵∠CAE=60°,AC=22，
∴AE=2AC=42．
∵∠QAP=∠QPA=∠B=45°,∠CAE=60°
∴∠CAP=∠CAE−∠QAP=15°，
则∠BAP=∠BAC+∠CAP=105°,∠APB=180°−∠ABC−∠BAP=30°．
∵∠ABC=∠OPQ=45°，∠BAC=∠OPQ=90°，BC=OP，
∴△OPQ≌△BCA,
∴OQ=AB=22．
又AE=42,
∴QE=AQ=PQ=22．
又∠PQO=∠PQE=90°,
∴∠QPE=45°,
根据勾股定理，得PE=QE2+PQ2=4，
∴∠EPD=180°−∠APB−∠QPA−∠QPE=60°，
∴PD=PE⋅cs∠EPD=2,
根据勾股定理，得CD=DE=PE2−DP2=23，
∴BP=BC+CD−DP=4+23−2=2+23．
（4）7或23+5．
由（3）知，当△OPQ从初始位置旋转到点P落在CD上时，∠BAP=∠BAC+∠CAP=105°，
则旋转所用时间为105°÷15°=7s；
当△OPQ平移到点P落在DE上时，如图2，连接CE，由（3）知∠ACE=90°,∠CED=45°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°−60°+45°=75°，
∴∠QPE=90°−75°=15°，在QP取点M，使得∠MEP=∠MPE=15°，
∴∠QME=∠MEP+∠MPE=30°．
设QE=x，则EM=PM=2QE=2x,QM=3QE=3x，
由QM+PM=QP，得3x+2x=22，解得x=42−26,
∴点Q平移的距离为22−42−26=26−22，
∴平移所用的时间为26−22÷2=23−2s，
故当△OPQ平移到点P落在DE上时，所运动的总时间为23−2+7=23+5s．
综上所述，t的值为7或23+5．
23．（12分）有这样一个问题：探究函数y=x+12x−2的图象与性质，小明根据学习函数的经验，对函数y=x+12x−2的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整：
(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应数值如下表：
其中m=_______．
(2)在如图所示的平面直角坐标系xOy中描出以上表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的大致图象．
(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质：__________．
(4)进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有______个交点，所以对应的方程x+12x−2=0有______个互不相等的实数根；
②若关于x的方程x+12x−2=a有3个互不相等的实数根，则a的取值范围是______．
【详解】（1）解：当x=1时，
y=1+12×1−2
=4×−1
=−4．
故答案为：−4．
（2）解：根据列表，描点，画图象如下：
（3）解：观察函数图象，
当x<−1或x>1时，y随x的增大而增大；
当−1故答案为：当x<−1或x>1时，y随x的增大而增大；当−1（4）解：①观察函数图象，
函数图象与x轴有2个交点，所以对应的方程x+12x−2=0有2个互不相等的实数根；
故答案为：2，2；
②由图象可知，当−4∴a的取值范围是−4故答案为：−4x
…
−2
−74
−32
−1
−12
0
12
1
54
32
74
2
94
52
…
y
…
−4
−2.11
−78
0
−58
−2
−278
m
−3.80
−258
−1.89
0
2.64
498
…