2024年中考数学第二次模拟考试（安徽卷）

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3、三模考试大概在中考前两周左右，三模是中考前的最后一次考前检验。三模学校会有意降低难度，目的是增强考生信心，难度只能是中上水平，主要也是对初中三年的知识做一个系统的检测，让学生知道中考的一个大致体系和结构。
2024年中考第二次模拟考试（安徽卷）
数学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单选题
1．2024相反数的倒数是（ ）
A．12024B．−12024C．2024D．−2024
【答案】B
【分析】
本题考查了相反数和倒数的定义，正确理解相反数和倒数的概念是解题的关键．相反数：只有符号不同的两个数互为相反数， 倒数：如果两个数的乘积等于1，那么这两个数就互为倒数．根据相反数和倒数的概念即可判断答案．
【详解】∵2024的相反数是−2024，
∴2024相反数的倒数是−12024．
故选：B．
2．一个几何体的三视图如下图所示，则这个几何体是 （ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，即可得出答案．
【详解】解：由主视图和左视图可得此几何体底部为柱体，
根据俯视图为两个圆形，可得此几何体下部为圆柱；
故选：D．
【点睛】本题由物体的三种视图推出原来几何体的形状，考查了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力和综合能力．
下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则等知识点，先根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方进行计算，再得出选项即可．能熟记合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法法则是解此题的关键．
【详解】解：A．，故本选项不符合题意；
B．，故本选项符合题意；
C．，故本选项不符合题意；
D．，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．不等式组x+32>x+25x+3≥3x−1的解集在数轴上可表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．根据不等式的解法，先分别求解两个不等式的解集，再根据不等式组的解集的确定方法求出不等式的解集，并表示在数轴上即可．
【详解】解：x+32>x+1①5x+3≥3x−1② ，
解不等式①：
x+32>x+2
x+3>2x+4
x<−1
解不等式②：
5x+3≥3x−1
5x+3≥3x−3
5x−3x≥−3−3
2x≥−6
x≥−3
∴不等式组的解集为−3≤x<−1，在数轴上表示如下：
故选：A．
5．在平面直角坐标系中，一次函数y1=mx+1+1m≠0和y2=ax−1+2a≠0，无论x取何值，始终有y2A．m>12B．m>0C．m<2D．m<0
【答案】A
【分析】
本题考查一次函数的综合应用，根据无论x取何值，始终有y2【详解】解：∵y1=mx+1+1=mx+m+1，y2=ax−a+2，
∴当x=0时，y1=m+1,y2=−a+2，
∵无论x取何值，始终有y2∴两条直线平行，且y1与y轴的交点位置在y2与y轴的交点位置的上方，
∴m=a，m+1>−a+2，
∴m+1>−m+2，
∴m>12；
故选A．
6．甲、乙、丙、丁四位同学去看电影，还剩下如图所示座位，乙正好坐在甲旁边的概率是（ ）

A．25B．35C．12D．34
【答案】A
【分析】本题主要考查了画树状图求概率．根据题意画出树状图，再根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：将座位分别标为1，2，3，4，5，画树状图，如图，

共的20种情况，且每种情况出现的可能性相同，其中甲、乙相邻的组合有8种，
∴乙正好坐在甲旁边的概率是820=25，
故选：A．
7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，OC，则∠ACO的度数为（ ）
A．16°B．18°C．20°D．22°
【答案】B
【分析】
本题主要考查了正多边形与圆，多边形内角的知识点，解答本题的关键是求出正五边形的内角；连接OA，先求出∠AOC的度数，然后在等腰△OAC中，根据三角形内角和求出∠ACO的度数．
【详解】解：连接OA，
∵四边形ABCDE为正五边形，
∴∠B=∠BAE=∠BCD=15×(5−2)×180°=108°，
而O为外接圆圆心，
∴有∠OAB=∠OCB=12×108∘=54∘，
在四边形ABCO中，∠B+∠OAB+∠OCB+∠AOC=360∘，
即108∘+54∘+54∘+∠AOC=360∘，
∴∠AOC=144∘，
又∵OA=OC，
∴∠ACO=12(180∘−144∘)=18∘，
故选：B．
8．二次函数y=ax2+bx+c与反比例函数y=kx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．已知抛物线的对称轴是直线x=−1，下列结论：
①abc<0，②b>a>0，③4a−2b+c<0，④a−c>k．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与系数的关系，本题属于基础题型．
根据二次函数的图象与系数的关系，以及反比例函数的图象即可求出答案．
【详解】解：由图象可知：a>0，c<0，
∵−b2a<0，
∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
由对称轴可知：−b2a=−1，
∴b=2a，
∴b>a>0，故②正确；
当x=−2时，y=4a−2b+c<0，故③正确；
∵当x=−1时，ax2+bx+c∴a−b+c<−k，
∵b=2a，
∴−a+c<−k，
∴a−c>k，故④正确；
故选：D．
9．如图，在▱ABCD中，AD=5，E是BC上的一点，且BEEC=32，过点E作EF//CD，交BD于点F，射线AF交CD于点N，交BC的延长线于点M，则AFMN=（ ）
A．2B．65C．32D．76
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定及性质；由平行四边形的性质及三角形相似的判定方法得△MBF∽△ADF，MNAN=CMBC，由平行线分线段成比例定理，BFFD=BEEC=32，AFFN=BEEC=32，即可求解；掌握判定方法及性质进行线段比例转换是解题的关键．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，
AD∥BC，
AB∥CD，
∴△MBF∽△ADF，
MNAN=CMBC，
∴BMAD=BFDF
∵EF∥CD，
∴BFFD=BEEC=32，
AFFN=BEEC=32，
∴BMAD=32，
FN=23AF，
∴5+CM5=32，
解得：CM=52，
∴ MNAN=525=12，
∴MNAF+23AF=12，
∴AFMN=65；
故选：B．
10．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），DE与AC交于点F，连结CE．下列结论：①BD=CE；②∠DAC=∠CED；③若BD=2CD，则CFAF=45；④在△ABC内存在唯一一点P，使得PA+PB+PC的值最小，若点D在AP的延长线上，且AP的长为2，则CE=2+3．其中含所有正确结论的选项是（ ）
A．①②④B．①②③C．①③④D．②③④
【答案】B
【分析】①正确．证明△BAD≌△CAE(SAS)，可得结论；②正确．证明A，D，C，E四点共圆，利用圆周角定理证明；③正确．设CD=m，则BD=CE=2m．DE=5m，OA=52m，过点C作CJ⊥DF于点J，求出AO，CJ，可得结论；④错误．将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB=∠APC=∠BPC=120°，PB=PC，AD⊥BC，设PD=t，则BD=AD=3t，构建方程求出t，可得结论．
【详解】解：如图1中，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=EC，∠ADB=∠AEC，故①正确，
∵∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠AEC+∠ADC=180°，
∴∠DAE+∠DCE=180°，
∴∠DAE=∠DCE=90°，
取DE的中点O，连接OA，OA，OC，则OA=OD=OE=OC，
∴A，D，C，E四点共圆，
∴∠DAC=∠CED，故②正确，
设CD=m，则BD=CE=2m．DE=5m，OA=52m，
过点C作CJ⊥DF于点J，
∵S△DCE=12DE·CJ=12DC·CE，
∴CJ=DC·CEDE=255m，
∵AO⊥DE，CJ⊥DE，
∴AO∥CJ，
∴ CFAF=CJAO=255m52m=45，故③正确．
如图2中，将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BNM，连接PN，
∴BP=BN，PC=NM，∠PBN=60°，
∴△BPN是等边三角形，
∴BP=PN，
∴PA+PB+PC=AP+PN+MN，
∴当点A，点P，点N，点M共线时，PA+PB+PC值最小，此时∠APB=∠APC=∠BPC=120°，PB=PC，AD⊥BC，
∴∠BPD=∠CPD=60°，AD=BD=CD
设PD=t，则BD=AD=3t，AD=AP+PD=t+2，
∴2+t=3t，
∴t=3+1，
∴CE=BD=3t=3+3，故④错误．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．计算：−12−2−38= ．
【答案】2
【分析】
此题主要考查了实数运算，直接利用负整数指数幂的性质以及立方根的性质化简各数进而求出答案．
【详解】解：原式=4−2=2
故答案为：2．
12．2024年1月15日，安徽省交通运输工作会议召开，记者从会上获悉，2023年全省完成交通固定资产投资1548.4亿元，同比增长11.8%．将数据1548.4亿用科学记数法表示为 ．
【答案】1.5484×1011
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤a<10，n为整数即可求解，解题的关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：1548.4亿=154840000000=1.5484×1011，
故选：1.5484×1011．
13．定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形ABCD即为线段AC的“对角线正方形”．如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点P在边AB上，如果线段PC的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上，那么AP的长是 ．
【答案】157/217
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：当线段PC的“对角线正方形”有两边同时落在△ABC的边上时，设正方形的边长为x，则PE=CE=PD=CD=x，BE=4−x，
∵PE∥AC，
∴△BPE∽△BAC，
∴PEAC=BEBC，
∴x3=4−x4，
解得：x=127，
∴PD=127，AD=AC−CD=3−127=97，
∴AP=AD2+PD2=157，
故答案为：157．
14．如图，在平面直角坐标系中，△OAB与△ACD是等边角形，边OA，AC在x轴上，点B，D在第一象限内．反比例函数y=kx(k>0)的图象经过边OB的中点M与边AD的中点N，已知等边△OAB的边长为8．
（1）k= ．
（2）点C的坐标为 ．
【答案】 43 85−8,0/−5+85,0
【分析】本题考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、反比例函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）分别过点M、N作x轴的垂线，垂足分别为H、G，由等边三角形的性质结合题意得出OM=4，∠OMH=90°−∠HOM=30°，由含30°角的直角三角形的性质结合勾股定理得出OH=2，MH=OM2−OH2=23，从而得出点M的坐标为2,23，代入反比例函数即可得解；
（2）先由等边三角形的性质结合勾股定理得出点N的坐标为8+a,3a，结合点N在反比例函数图象上，求得a=−4+25，从而得出△ACD的边长，求出OC，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，分别过点M、N作x轴的垂线，垂足分别为H、G，
，
∵等边△OAB的边长为8，
∴OB=OA=8，∠AOB=60°，
∵边OB的中点为M，
∴OM=4，∠OMH=90°−∠HOM=30°，
∴OH=2，MH=OM2−OH2=23，
∴点M的坐标为2,23，
∵反比例函数y=kx(k>0)的图象经过边OB的中点M，
∴k=2×23=43，
故答案为：43；
（2）设等边三角形ACD的边长为4a，则AN=12AD=2a，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠CAD=60°，
∴AG=a，NG=AN2−AG2=3a，
∴点N的坐标为8+a,3a，
∵点N在反比例函数图象上，
∴8+a×3a=43，
解得：a=−4+25或a=−4−25（不符合题意，舍去），
∴4a=85−16，
∴ △ACD的边长为85−16，
∴OC=OA+AC=8+85−16=85−8，
∴点C的坐标为：85−8,0，
故答案为：85−8,0．
三、解答题
15．先化简，再求值：m−33m2−6m÷m+2−5m−2，其中m=−3+52
【答案】13mm+3，−13
【分析】
本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，熟练掌握分式的性质是解题关键．先对括号内通分，再将除法化为乘法，约分即可将分式化简，再将m的代入，利用二次根式的混合运算法则计算求值即可．
【详解】解：m−33m2−6m÷m+2−5m−2
=m−33mm−2÷m+2m−2−5m−2
=m−33mm−2÷m2−9m−2
=m−33mm−2×m−2m+3m−3
=13mm+3，
当m=−3+52时，原式=13×−3+52×−3+52+3=−13．
16．一套衣服的上衣和裤子共100元．因市场需求变化，商家决定分开销售．裤子降价10%，上衣提价20%，调价后，这套衣服的售价比原来提高了8元．问调价后上衣和裤子的售价各是多少元？
【答案】调价后上衣的单价是72元，袘子的单价是36元
【分析】
本题考查了二元一次方程的应用；设调价前上衣的单价是x元，裤子的单价是y元，列出二元一次方程组，解方程组即可作答．
【详解】解：设调价前上衣的单价是x元，裤子的单价是y元，由题意得
x+y=100(1−10%)y+(1+20%)x=100+8
解得，x=60y=40
60×(1+20%)=72（元）
40×(1−10%)=36（元）
答：调价后上衣的单价是72元，袘子的单价是36元．（方法不唯一）
17．新考法·借助网格找点，如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点均为格点（网格线的交点）．
(1)将线段AD先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段A′D′，画出线段A′D′；
(2)以D为旋转中心，将线段BC按逆时针方向旋转90°，得到线段B′C′，画出线段B′C′；
(3)以A′，B′，D′为顶点，画一个四个顶点均为格点的四边形，使得该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】
本题考查了平移作图、旋转作图，熟练掌握相关作图方法及性质是解题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图即可；
（3）根据菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，A′D′即为所求；
（2）如图所示，B′C′即为所求；
（3）如图，取格点E，
由勾股定理可得A′D′=B′D′=B′E=A′E=12+42=17，
∴四边形A′D′B′E是菱形，
菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，
即：四边形A′D′B′E即为所求．
18．图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n=nn+12．如果图3和图4中的圆圈均有13层．
(1)我们自上往下，在每个圆圈中都图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是____；
(2)我们自上往下，在每个圆圈中按图4的方式填上一串连续的整数−23，−22，−21，−20，…，求最底层最右边圆圈内的数是____；
(3)求图4中所有圆圈中各数值之和．（写出计算过程）
【答案】(1)79
(2)67
(3)2002
【分析】本题是一道找规律的题目，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法：1+2+3+…+n=nn+12．
（1）13层时最底层最左边这个圆圈中的数是前12层圆圈的个数和再加1；
（2）首先计算圆圈的个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数即可得；
（3）将图④中的所有数字加起来利用所给的公式进行计算即可得．
【详解】（1）解：当有13层时，图3中到第12层共有1+2+3+⋯+11+12=78个圆圈，对底层最左边圆圈中的数为78+1=79个，
故答案为：79；
（2）图4中所有圆圈共有1+2+3+⋯+13=13×142=91个数，
最底层最右边圆圈内的数是−23+91−1=67，
故答案为：67；
（3）图4中共有91个数，其中23个负数，1个0，67个正数，所以图4所有圆圈中各数之和为：−23+−22+⋯+−1+0+1+2+⋯+67=91×−23+672=2002
故答案为：2002．
19．除夕夜小李和亮亮相约去看烟花，如图，小李从B点出发，沿坡度为i=5:12的山坡BA走了130米到达坡顶A点，亮亮则沿B点正东方向到达离A点水平距离30米的C点观看，烟花在与B、C同一水平线上的点D处点燃，并在D的正上方E点绽放，小李在坡顶A处看烟花绽放处E的仰角为45°，亮亮在C处测得E点的仰角为60°（点A、B、C、D、E在同一平面内）．烟花燃放结束后，小李和亮亮帮忙清理现场的垃圾，他们发现刚才燃放的烟花盒子上的说明书写着烟花的燃放高度为190±5米，请你帮他们计算一下说明书写的烟花燃放高度（图中DE）是否属实．（参考数据：2≈1.414,3≈1.732）
【答案】说明书写的烟花燃放高度属实．
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题．过A作AG⊥BD于G，根据矩形的性质得到∠AGD=∠AGB=∠AFE=∠D=90°，AF=DG，AG=DF，设AG=5k，BG=12k，根据勾股定理得到AB=AG2+BG2=13k=130，BG=12k=120米，由（1）知CG=30米，DF=50米，求得AF=DG=(30+CD)米，得到EF=AF=30+CD，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
解：过A作AG⊥BD于G，AF⊥DE于F，

则四边形AGDF是矩形，
∴∠AGD=∠AGB=∠AFE=∠D=90°，AF=DG，AG=DF，
在Rt△ABG中，AB=130米，AGBG=512，
设AG=5k，BG=12k，
∴AB=AG2+BG2=13k=130，
∴k=10，
∴AG=50米．BG=12k=120米，
∵CG=30米，DF=50米，
∴AF=DG=(30+CD)米，
∵∠EAF=45°，
∴∠AEF=∠EAF=45°，
∴EF=AF=30+CD，
在Rt△CDE中，∠DCE=60°，DE=30+CD+50=80+CD，tan∠DCE=DECD，
∴80+CD=3CD，
∴CD=40+403，
∴DE=80+40+403≈189.3（米)．
∵189.3在190±5即185与195的范围内，
答：说明书写的烟花燃放高度属实．
20．如图1，在△ABC中，∠ABC和∠C互余，点D是BC上一点，以BD为直径作⊙O切AC于点E，连接BE．
(1)若∠ABE=24°，求∠C的度数；
(2)如图2，AB与⊙O交于点F，点F是BE的中点，AB=3，求⊙O的半径．
【答案】(1)42°；
(2)2．
【分析】
本题考查了切线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，弧、弦、圆周角之间的关系，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，作出辅助线是解决本题的关键．
（1）连接OE，首先根据切线的性质可证得AB∥OE，∠ABE=∠OEB，再根据等腰三角形的性质，可证得∠OEB=∠OBE，再利用三角形内角和定理即可求得；
（2）连接OF,OE，根据题意证明∠C=30°，再证明△OCE∽△BCA，
可得OE=2，据此即可解答．
【详解】（1）证明：如图1，连接OE，
∵AC是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，
又∵∠A=90°，
∴AB∥OE，
∴∠ABE=∠OEB，
∵OB=OE，
∴∠EBO=∠OEB，
∵∠ABE=24°，
∴∠ABE=∠EBO=∠OEB=24°，
∴∠C=180°−∠EBO−∠OEB−∠OEC=180°−24°−24°−90°=42°，
所以∠C的度数是42°．
（2）解：连接OF，OE，
∵点F是BE的中点，
∴BF=EF，
∴∠BOF=∠EOF，
∵AB∥OE，
∴∠BFO=∠EOF,∠OBF=∠COE，
∴∠BOF=∠EOF=∠COE=60°，
∴∠C=30°，
∴CO=2EO，
∵∠A=∠OEC,∠C=∠C，
∴△OCE∽△BCA，
∴OEAB=OCBC，
∵AB=3,OB=OD=OE，
∴OE3=2OE3OE，
∴OE=2，
即⊙O的半径为2．
21．某果园有一种特产水梨，收获季节来临，随机抽取20棵该品种梨树并统计每棵树挂梨的个数，调查数据如下：
28，32，36，37，39，40，41，44，45，45，46，46，47，51，53，55，55，55，60，60．
将上述数据按5组进行分组，绘制不完整的统计表和统计图如下：
根据上述统计图表提供的数据，解答下列问题：
(1)该组数据的中位数是______、众数是______；
(2)a=______，b=______，c=______，请补全频数分布直方图；
(3)若该果园有该品种水梨树5000棵，请你估算其中水梨树挂梨个数在A、B两组的棵数．
【答案】(1)45.5，55
(2)5，35%，4，补全频数分布直方图见解析
(3)该果园有该品种水梨树梨个数在A组由500棵，B组有1250棵
【分析】
本题考查频数分布直方图，频数分布表，用样本估计总体，中位数，众数，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键．
（1）根据中位数，众数的定义进行求解即可；
（2）根据频数分布表中频数，频率求解即可；
（3）将5000乘以A组，B组所占百分比即可作出估计．
【详解】（1）解：∵共有20个数据，
∴中位数为第10个，第11个的平均数，即：中位数为：45+462=45.5；
55出现的次数最多，即：众数为55，
故答案为：45.5，55；
（2）a=20×25%=5，b=720×100%=35%，c=20×20%=4，
补全频数分布直方图如下：
故答案为：5，35%，4；
（3）A组的棵树：5000×10%=500棵，
B组的棵树：5000×25%=1250棵，
即：该果园有该品种水梨树梨个数在A组由500棵，B组有1250棵．
22．（1）【问题发现】
如图1，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC的中点，以BD为一边作正方形BDEF，点E与点A重合，易知△ABF∽△CBE，则线段AF与CE的数量关系是________；
（2）【拓展研究】
在（1）的条件下，将正方形BDEF绕点B旋转至如图2所示的位置，连接BE，CE，AF．请猜想线段AF和CE的数量关系，并证明你的结论；
（3）【结论运用】
在（1）（2）的条件下，若△ABC的面积为8时，当正方形BDEF旋转到C、E、F三点共线时，请直接写出线段AF的长．
【答案】（1）CE=2AF；（2）CE=2AF，详见解析；（3）23−2或23+2
【分析】
（1）根据正方形的性质和勾股定理得到AB=2EF即可求解；
（2）根据等腰直角三角形和正方形的性质证得BCAB=BEBF=2，∠CBE=∠ABF=45°−∠ABE，进而可证得△CBE∽△ABF，利用相似三角形的性质可得结论；
（3）先利用等腰直角三角形的性质求得AB=4，BC=2AB=42，进而EF=BF=22AB=22，设AF=x，则CE=2x，根据题意分两种情况，利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）∵四边形BDEF是正方形，
∴EF=BF，∠F=90°，
∴AB=EF2+BF2=2BF=2EF，
∵AB=AC，点E与点A重合，
∴CE=2AF，
故答案为：CE=2AF；
（2）CE=2AF，理由为：
∵在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，
∴BC=AC2+AB2=2AB，
∵四边形BDEF是正方形，
∴BE=2BF，∠FBE=45°，
∴BCAB=BEBF=2，∠CBE=∠ABF=45°−∠ABE，
∴△CBE∽△ABF，
∴CEAF=BCAB=2，
∴CE=2AF；
（3）∵在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，△ABC的面积为8，
∴12AB2=8，则AB=4（负值舍去），
∴BC=2AB=42，
由（1）知，EF=BF=22AB=22，
设AF=x，则CE=2x，
∵C、E、F三点共线，
∴有两种情况：
①如图1，
在Rt△CFB中，∠BFC=90°，CF=CE+EF=2x+22，
由CF2+BF2=BC2得2x+222+222=422，
解得x=23−2（负值舍去）；
②如图②，
在Rt△CFB中，∠BFC=90°，CF=CE−EF=2x−22，
由CF2+BF2=BC2得2x−222+222=422，
解得x=23+2（负值舍去）；
综上，满足条件的线段AF值为23−2或23+2．
【点睛】本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的性质，以及分类讨论和方程的思想的运用是解答的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−14x2+bx+c与x轴分别相交于A−2,0，B8,0两点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)点D是第一象限内该抛物线上的动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，交x轴于点F．
①求DE+BF的最大值；
②若G是AC的中点，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，求点D的坐标．
【答案】(1)y=−14x2+32x+4
(2)①9；②4,6或3,254
【分析】
（1）运用待定系数法求出函数解析式；
（2）①设点D的坐标为m,−14m2+32m+4，则求出直线BC的解析式，得到Em,−12m+4，求出DE+BF，并根据二次函数的最大值得到答案；
②根据点的坐标得到∠ACB=90°，根据勾股定理求出AG长，由①知DE=−14m2+2m，Em,−12m+4，分两种情况：OADE=AGCE和OACE=AGDE，建立方程求出m，得到点D的坐标．
【详解】（1）将A−2,0，B8,0代入抛物线y=−14x2+bx+c，
得−14×−22−2b+c=0−14×82+8b+c=0，
解得b=32c=4，
∴该抛物线的解析式为y=−14x2+32x+4．
（2）①由抛物线的解析式为y=−14x2+32x+4，得C0,4．
设直线BC的解析式为y=kx+t，将B8,0，C0,4代入，
得8k+t=0,t=4,解得k=−12,t=4,
∴直线BC的解析式为y=−12x+4．
设第一象限内的点D的坐标为m,−14m2+32m+4，则Em,−12m+4，
∴DE=−14m2+32m+4−−12m+4=−14m2+2m，BF=8−m，
∴DE+BF=−14m2+2m+8−m=−14m−22+9．
∵−14<0，
∴当m=2时，DE+BF有最大值，为9．
②∵A−2,0，B8,0，C0,4，
∴OA=2，OB=8，OC=4，AB=10，
∴AC2=OA2+OC2=20，BC2=OB2+OC2=80，AB2=102=100，
∴AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠CBA=90°．
∵DF⊥x轴于点F，
∴∠FEB+∠CBA=90°，
∴∠CAB=∠FEB=∠DEC．
以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，只需OADE=AGCE或OACE=AGDE．
∵G是AC的中点，A−2,0，C0,4，
∴G−1,2，OA=2，AG=12AC=1220=5．
由①知DE=−14m2+2m，Em,−12m+4，
∴CE=m2+4−−12m+42=52m．
当OADE=AGCE时，2−14m2+2m=552m，
解得m=4或m=0（舍去），
∴D4,6．
当OACE=AGDE时，252m=5−14m2+2m，
解得m=3或m=0（舍去），
∴D3,254．
综上所述，以点C，D，E为顶点的三角形与△AOG相似，点D的坐标为4,6或3,254．
【点睛】此题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的最值问题，勾股定理，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．组名
分组
频数
频率
A
28≤x<36
2
10%
B
36≤x<44
a
25%
C
44≤x<52
7
b
D
52≤x<60
c
20%
E
60≤x<68
2
10%