2024年中考数学第二次模拟考试（河南卷）

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3、三模考试大概在中考前两周左右，三模是中考前的最后一次考前检验。三模学校会有意降低难度，目的是增强考生信心，难度只能是中上水平，主要也是对初中三年的知识做一个系统的检测，让学生知道中考的一个大致体系和结构。
2024年中考第二次模拟考试
数学·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（共30分）
1．|﹣9|的值是（ ）
A．9B．﹣9C．D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的计算方法：负数的绝对值等于它的相反数即可求解．
【详解】∵，
∴的值是9，
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值，解题的关键是明确绝对值的性质，熟练掌握：正数和0的绝对值是其本身，负数的绝对值是其相反数．
2．如图是正方体的表面展开图，则“铸”字相对面上的字为（ ）
A．雪B．松C．风D．骨
【答案】D
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，据此解答．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“就”与“松”是相对面，
“雪”与“风”是相对面，
“铸”与“骨”是相对面．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．
3．2024年春节假期，珠溪古镇持续火㩧，成为游客出行热门目的地．截至2月17日，珠溪古镇春节假期预估接待游客突破50万人次，实现旅游综合营收元，数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】
解：，
故选D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同底数幂乘法法则、同底数幂除法法则、合并同类项法则、幂的乘方法则逐项判断即可．
【详解】解：A，，故运算错误；
B，，故运算错误；
C，，故运算正确；
D，，故运算错误；
故选C．
【点睛】本题考查同底数幂乘法、同底数幂除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各项运算法则是解题的关键．
5．如图，将三角板的直角顶点放在两条平行线a，b中的直线b上，如果∠1＝42°，则∠2的度数是（ ）
A．30°B．40°C．45°D．48°
【答案】D
【分析】由将三角板的直角顶点放在两条平行线a、b中的直线b上，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠3的度数，又由平角的定义，即可求得∠2的度数．
【详解】解：如图，
∵a∥b，∠1=42°，
∴∠3=∠1=42°，
∵∠2+∠3+∠4=180°，∠4=90°，
∴∠2=48°．
故选D．
【点睛】此题考查了平行线的性质与平角的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
6．若一次函数与反比例函数的图象没有公共点，则k的值可以是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，一元二次方程根的判别式的意义；联立解析式得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解．
【详解】解：依题意，联立，消去得，
即
∵一次函数与反比例函数的图象没有公共点，
∴
解得：
故选：B．
7．如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线．分别交于点D，E，连接．若，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，由垂直平分线的性质和直角三角形的性质，求出，然后求出的度数．
【详解】解：根据题意，MN垂直平分AB，
∴点D是AB的中点，∠BDE=90°，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的进行解题．
8．读万卷书，行万里路，研学是校园的一部分，某校计划暑假开展研学活动，现有红旗渠风景区、清明上河园、鄂豫皖苏区革命博物馆三个地方供大家选择，每位同学任意选取其中一个地方研学，则小明和小红选取同一个地方的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；
画表格，共有9种等可能的结果，其中小明和小红选取同一个地方研学的结果有3种，再由概率公式求解即可；
【详解】设红旗渠风景区、清明上河园、鄂豫皖苏区革命博物馆分别为．由题意，列表如下．
由表格，知共有9种等可能的结果，其中小明和小红选取同一个地方研学的结果有3种，所以(小明和小红选取同一个地方)，
故选：B．
9．如图，在平面直角坐标系中，以正六边形的中心为原点，顶点在轴上，若半径是4，则顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过点作，如图所示，利用正多边形外角性质求出内角及线段长，再由含直角三角形性质及勾股定理求出长，数形结合即可得到．
【详解】解：过点作，连接，如图所示：
在正六边形中，，
因为，
所以是等边三角形，
，，
在中，，则，
则由勾股定理可得，
，
故选：A．
【点睛】本题考查图形与坐标、涉及正多边形性质、含直角三角形性质及勾股定理等知识，熟练掌握正多边形性质、含直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键．
10．如图所示，菱形ABCD中，直线l⊥边AB，并从点A出发向右平移，设直线l在菱形ABCD内部截得的线段EF的长为y，平移距离x＝AF，y与x之间的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．3B．C．2D．3
【答案】C
【分析】将图1和图2结合起来分析，分别得出直线l过点D，B和C时对应的x值和y值，从而得出菱形的边长和高，从而得其面积．
【详解】解：由图2可知，当直线l过点D时，x＝AF＝a，菱形ABCD的高等于线段EF的长，此时y＝EF＝ ；
直线l向右平移直到点F过点B时，y＝；
当直线l过点C时，x＝a+2，y＝0
∴菱形的边长为a+2﹣a＝2
∴当点E与点D重合时，由勾股定理得a2+＝4
∴a＝1
∴菱形的高为
∴菱形的面积为2．
故选C．
【点睛】本题是动点函数图象问题，将图形的运动与函数图象结合起来分析，是解决此类问题的关键，
二、填空题（共15分）
11．写出一个3到4之间的无理数 ．
【答案】π（答案不唯一）．
【详解】考点：估算无理数的大小．
分析：按要求找到3到4之间的无理数须使被开方数大于9小于16即可求解．
解：3到4之间的无理数π．
答案不唯一．
12．小明家1至5月份每月用水量的折线统计图如图所示，根据图中的信息，小明家1至5月份每月用水量的平均数是 吨．
【答案】
【分析】根据平均数定义：平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，进行求解即可．
【详解】解：（4+3+6+5+3）÷5
＝21÷5
＝4.2（吨），
答：小明家1至5月份每月用水量的平均数是4.2吨．
故答案为：4.2．
【点睛】本题考查折线统计图及平均数的计算，明确折线统计图的特征，熟记平均数计算方法是解题的关键．
13．已知，，计算的值为 ．
【答案】7
【分析】将代数式化简，然后直接将，代入即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了提取公因式法，化简求值，化简是解题关键．
14．如图，已知双曲线经过直角三角形斜边的中点，与直角边相交于点，若的面积为6，则 .
【答案】4
【分析】过点作轴的垂线交轴于点，可得到四边形，和三角形的面积相等，通过面积转化，可求出的值．
【详解】解：过点作轴的垂线交轴于点，
的面积和的面积相等．
的面积和四边形的面积相等且为6．
设点的横坐标为，纵坐标就为，
为的中点．
，，
四边形的面积可表示为：
．
故答案为：4．
【点睛】本题考查反比例函数的综合运用，解题的关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出的值．
15．如图，已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB延长线一点，以BE为边做正方形BEFG，连接AC、AF、CF，那么的面积为 ．
【答案】
【分析】连接BF，根据正方形的性质推出AC∥BF，得到△ACF的面积=△ACB的面积，再计算即可．
【详解】解：连接BF，
∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，
∴∠BAC=∠EBF=45°，
∴AC∥BF，
∴点F与点B到AC的距离相等，
∴△ACF的面积=△ACB的面积，
∵AB=BC=1，
∴S△ACF=S△ACB==，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，平行线之间的距离，解题的关键是推出△ACF的面积=△ACB的面积．
三、解答题（共75分）
16．（10分）（1）计算；
（2）解方程组．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据立方根意义求值，以及绝对值的性质计算；
（2）利用加减消元法，解方程组求出答案即可．
【详解】解：原式＝
．
（2）解方程组，
得：，
将代入①中，解得，
∴原方程组的解为．
【点睛】本题考查了立方根的定义，绝对值，实数的混合运算和解二元一次方程组等知识点，能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键．
17．（9分）某学校近期开展了“亮眼控肥”系列活动，旨在增强学生爱眼护眼和预防肥胖的意识，使学生在日常生活中保持良好的用眼，饮食和运动习惯．为了了解学生对于“亮眼控肥”知识的掌握情况，该学校采用随机抽样的调查方式，且对收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：
(1)该学校抽样调查的学生人数是__________．
(2)请补全条形统计图，并求扇形统计图中“合格”部分所对应圆心角的度数．
(3)若该学校共有学生1600人，请估计该学校学生中“亮眼控肥”知识掌握情况为“合格”和“待合格”的总人数．
【答案】(1)80人
(2)补全图见图示，
(3)400人
【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合题．
（1）由优秀人数36人及占比可求总人数；
（2）用总人数减去优秀，合格，待合格三者的和即可得出良好的人数，求出合格的占比再乘即可求出合格部分对应圆心角的度数；
（3）用样本数据取估计总体，先求出合格与待合格的总占比，再乘1600即可．
【详解】（1）解：该学校抽样调查的学生人数是（人）
故答案为：80；
（2）良好的人数为：（人），补全图如图所示，
合格部分对应圆心角为：；
（3）合格和待合格的总人数为：（人）．
18．（9分）建于明洪武七年（1374年），高度米的光岳楼是目前我国现存的最高大、最古老的楼阁之一（如图①）．喜爱数学实践活动的小伟，在米高的光岳楼顶楼处，利用自制测角仪测得正南方向商店点的俯角为，又测得其正前方的海源阁宾馆点的俯角为（如图②）．求商店与海源阁宾馆之间的距离（结果保留根号）．
【答案】商店与海源阁宾馆之间的距离米
【分析】本题考查解直角三角形的应用，解决本题的关键是借助俯角构造直角三角形，运用三角函数定义表示与所求线段相关的线段的长度．利用的正切值可求得长，利用的正切值可求得长，即为商店与海源阁宾馆之间的距离．
【详解】解：∵两条水平线是平行的，
∴，
∵米，，
∴（米），
（米），
∴（米），
答：商店与海源阁宾馆之间的距离米．
19．（9分）已知一次函数（a为常数）与x轴交于点A，与反比例函数交于B、C两点，B点的横坐标为．
(1)求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；
(2)求出点C的坐标，并根据图象写出当时对应自变量x的取值范围；
(3)若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．
【答案】(1)，画图象见解析
(2)点C的坐标为（3，2）；当时，或
(3)
【分析】（1）根据B点的横坐标为-2且在反比例函数y2=的图象上，可以求得点B的坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可；
（2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点C的坐标，然后再观察图象，即可写出当y1＜y2时对应自变量x的取值范围；
（3）根据点B与点D关于原点成中心对称，可以写出点D的坐标，然后点A、D、C的坐标，即可计算出△ACD的面积．
【详解】（1）解：∵B点的横坐标为-2且在反比例函数y2=的图象上，
∴y2==-3，
∴点B的坐标为（-2，-3），
∵点B（-2，-3）在一次函数y1=ax-1的图象上，
∴-3=a×（-2）-1，
解得a=1，
∴一次函数的解析式为y=x-1，
∵y=x-1，
∴x=0时，y=-1；x=1时，y=0；
∴图象过点（0，-1），（1，0），
函数图象如图所示；
；
（2）解：解方程组，
解得或，
∵一次函数y1=ax-1（a为常数）与反比例函数y2=交于B、C两点，B点的横坐标为-2，
∴点C的坐标为（3，2），
由图象可得，当y1＜y2时对应自变量x的取值范围是x＜-2或0＜x＜3；
（3）解：∵点B（-2，-3）与点D关于原点成中心对称，
∴点D（2，3），
作DE⊥x轴交AC于点E，
将x=2代入y=x-1，得y=1，
∴S△ACD=S△ADE+S△DEC= =2，
即△ACD的面积是2．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
20．（9分）某地计划修建一条长1080米的健身步道，由甲、乙两个施工队合作完成．已知乙施工队每天修建的长度比甲施工队每天修建的长度多，若乙施工队单独修建这项工程，那么他比甲施工队单独修建这项工程提前3天完成．
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米？
(2)若甲施工队每天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元，实际修建时，先由甲施工队单独修建若干天，为了尽快完成工程，后请乙施工队加入，甲、乙施工队共同修建，乙工作队恰好工作3天完成修建任务，求共需修建费用多少元？
【答案】(1)甲施工队每天修建90米，乙施工队每天修建120米
(2)共需修建费用149000元
【分析】本题考查了分式方程的实际应用以及一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）设甲施工队每天修建的长度为米，则乙施工队每天修建米，列式代入数值进行计算，注意验根；
（2）设甲施工队单独修建天，列式，得出，结合“甲施工队每天的修建费用为13000元，乙施工队每天的修建费用为15000元”进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：设甲施工队每天修建的长度为米，则乙施工队每天修建米
依题意，得
解得
经检验，是原分式方程的解
∴（米）
∴甲施工队每天修建90米，乙施工队每天修建120米；
（2）解：设甲施工队单独修建天，
依题意，得
解得
∴甲施工队单独修建5天
则（元）
∴共需修建费用149000元．
21．（9分）如图，在中，，在上取一点D，以为直径作，与相交于点E，作线段的垂直平分线交于点N，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径为1，求线段的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定和性质，中垂线的性质，勾股定理：
（1）连接，根据中垂线的性质，等边对等角，推出，进而得到，即可；
（2）连接，设，利用勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵是的中垂线，
∴，
∴，
∵是直角三角形，，
∴，
∴，
∴，
即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：如图，连接，
∵的半径为1，
∴，
∵是的中垂线，
∴，
设，则：，
在中，，
在中，，
∴，
即，
解得，
即．
22．（10分）综合与实践
主题：设计高速公路的隧道
【答案】，
【分析】问题一：根据车道的宽度范围，结合，即可求解，
问题二：中点，建立坐标系，作，求出点点的坐标，代入抛物线表达式，即可求解，
本题考查了，二次函数的应用，解题的关键是：根据题意建立坐标系．
【详解】解：问题1：∵每条车道的宽为（其中），，，，
∴，
∵
∴，
问题2：取中点，以为轴，建立坐标系，作交抛物线于点，
设抛物线表达式：，
∵，，，
∴，
由题意得：，
∴，
将、代入，
得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：，
故答案为：，．
23．（10分）（1）观察猜想：如图（1）矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P、Q分别是AB、AD边的中点，以AP、AQ为邻边作矩形APEQ连接CE，的值是 ．
（2）类比探究：当矩形APEQ绕着点A逆时针旋转至如图（2）位置时，请判断的值是否发生变化？若不变，说明理由；若改变，求出新的比值．
（3）解决问题：若将（1）中的矩形ABCD改变为平行四边形ABCD，且AB＝6，AD＝8，∠B＝60°，P、Q分别是AB、AD边上的点，且AP＝AB，AQ＝AD，以AP、AQ为邻边作平行四边形APEQ．当平行四边形APEQ绕着点A逆时针旋转至如图（3）位置时，连接CE、DQ，请直接写出的值．
【答案】（1）；（2）不变，见解析；（3）
【分析】(1)延长PE交CD于H，则四边形QEHD是矩形，在中，利用勾股定理即可解决问题；
(2)连接AE、AC，证明，由对应边成比例即可解决问题；
(3)利用已知计算AC的长，同理得 ，通过对应边成比例即可解决问题；
【详解】解：（1）延长PE交CD于H，如图：
则四边形QEHD是矩形，
在，
∴，
∴，
故答案为： ；
（2）的值不变，理由如下：
连接AE、AC，如图：
由旋转可知：∠QAD＝∠EAC，
由勾股定理可知：AC＝10，AE＝5，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）过A作于H，连接AC，如图：
∵∠B＝60°，
∴
∵AB＝6，
∴
∴,
由勾股定理得： ，
∴，
连接AE、AC，如图：
同理 中，，可得AE＝，
∴，
由旋转得：，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查四边形综合题、矩形的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
情境素材
素
材
1
高速公路隧道设计及行驶常识：为了行驶安全，高速公路的隧道设计一般是单向行驶车道，要求货车靠右行驶．
素
材
2
据调查，一般的大型货车宽，车货总高度从地面算起不超过．为了保证行驶的安全，货车右侧顶部与隧道的竖直距离不小于．
素
材
3
某高速公路准备修建一个单向双车道（两个车道的宽度一样）的隧道，隧道的截面近似看成由抛物线和矩形构成（如图）．每条车道的宽为（其中），车道两端（、）与隧道两侧的距离均为．
问题解决
问
题
1
确定单向双车道隧道的宽度
估计将要修建的隧道宽度的合理范围．
问
题
2
设计隧道的抛物线部分
已知要修建的隧道矩形部分，．求抛物线的解析式．