2024年中考数学第二次模拟考试（湖南省卷）

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2、二模考试大致在五月份，难度相对较大。这次考试主要检测学校以及学生在第一轮复习的成果，让老师和孩子找到问题的关键，是否存在基础不扎实，计算能力是否需要加强等等。然后找到解决方法，做到复习方法的改进，以及重难点的分布，复习的目标。
3、三模考试大概在中考前两周左右，三模是中考前的最后一次考前检验。三模学校会有意降低难度，目的是增强考生信心，难度只能是中上水平，主要也是对初中三年的知识做一个系统的检测，让学生知道中考的一个大致体系和结构。
2024年中考第二次模拟考试（湖南省卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
本题考查相反数的定义，根据相反数定义直接求解即可得到答案，熟记相反数定义是解决问题的关键．
【详解】解：的相反数是，
故选：D．
2．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．熟练掌握平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形的定义进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，
是轴对称图形，
故选：D．
3．2023年全国粮食播种面积17.85亿亩，比上年增加954.6万亩，增长0.5%．将数据“17.85亿”用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：数据“17.85亿”用科学记数法表示为．
故选：B．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，单项式的乘法，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用相关法则对各项进行判定即可．
【详解】解：选项A：，正确，
选项B：，故错误，不符合题意，
选项C：，故错误，不符合题意，
选项D：，故错误，不符合题意，
故选：A
5．如图，是的平分线，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由平行线的性质可得，，再由角平分线的定义可得，从而可求解．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵是的平分线，
∴，
∴．
故选：D．
6．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点O，作射线，交于点E．已知，，的面积为（ ）
A．6B．9C．12D．18
【答案】B
【分析】
本题考查了角平分线的性质和角平分线的尺规作图．作，由题意可知平分，故可得，即可求解的面积．
【详解】解：过点E作，如图所示：
由题意可知：平分，
∵，，
∴，
∴
故选：B
7．古语有言“逸一时，误一世”，其意是教导我们青少年要珍惜时光，切勿浪费时间，浪费青春，其数字谐音为1，1，4，5，1，4，有关这一组数，下列说法错误的是（ ）
A．中位数为1
B．从1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大
C．众数是1
D．平均数为
【答案】A
【分析】
本题主要考查了求中位数，求众数，求平均数以及简单的概率计算，根据中位数的和众数的定义即可判断AC；根据平均数的计算公式即可判断D；分别求出从1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数，取得奇数的概率和取得偶数的概率即可判断B．
【详解】解：A、把这组数据从小到大排列为：1，1，1，4，4，5，处在最中间的两个数为1，4，则中位数为，原说法错误，符合题意；
B、∵一共有6个数，其中4个是奇数，2个是偶数，
∴从1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数抽到奇数的概率为，抽到偶数的概率为，
∵，
∴从1，1，4，5，1，4中随机抽取一个数，取得奇数的可能性比较大，原说法正确，不符合题意；
C、∵数字1出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是1，原说法正确，不符合题意；
D、平均数为，原说法正确，不符合题意；
故选：A．
8．今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】B
【分析】
根据概率公式，即可解答．
【详解】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，
故选到前两首的概率是，
故选：B．
【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，排列出总共可能的情况的数量是解题的关键．
9．如图，在矩形中，．对角线与相交于点，，垂足为，，则的长为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】D
【分析】
本题考查了矩形的性质和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．设，则，先在和中，利用勾股定理可得和，再在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：∵，
∴设，则，
∵四边形是矩形，，
∴，
在中，，
在中，，
在中，，即，
解得，
，
则或（不符合题意，舍去），
故选：D．
10．若三条长度分别为，，的线段能构成三角形，我们就把称为三角数组，已知是三角数组，则下列说法正确的是（ ）
①一定是三角数组；②不一定是三角数组；
③一定是三角数组；④不一定是三角数组；
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】B
【分析】，且，先证明，即可证明，由此即可判断①②；根据是一个三角数组，不是一个三角数组即可判断③④．
【详解】解：∵是三角数组，
∴可设，且，
∴，
∵，
∴，
∴一定是三角数组，故①正确，②不正确；
∵是一个三角数组，，
∴不是一个三角数组，
∴当是三角数组时，不一定是三角数组，故③错误，④正确；
故选B．
【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，实数比较大小，正确理解题意是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】
解：根据题意得：
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是理解二次根式有意义，即被开方数大于或等于0．
12．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键．利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
13．不等式组的解集是 ．
【答案】/
【分析】
本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
14．若关于x的分式方程有增根，则m的值是 ．
【答案】1
【分析】先将分式方程去分母化为整式方程求出解，再根据分式方程有增根得，即可求出答案．
【详解】解：将方程去分母，得，
整理，得
∵关于x的分式方程有增根，
∴
∴
∴
故答案为：1．
【点睛】此题考查了利用分式方程的根的情况求参数，正确掌握分式方程的解法及增根的意义是解题的关键．
15．设a，b是方程的两个实数根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数的关系，先根据一元二次方程的解得到，利用根与系数关系得到，则，再利用整体代入的方法计算即可．熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键．
【详解】∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
故答案为：．
16．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，是的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则的值是 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，圆的概念及性质，构造直角三角形是解题的关键．
连接并延长交于点，连接，则，利用勾股定理求解的长，再解直角三角形可求解．
【详解】解：连接并延长交于点，连接，
则，
故答案为：．
17．如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，已知点A，，在坐标轴上，，的面积为16，则 ．

【答案】
【分析】
由平行四边形面积转化为矩形面积，在得到矩形面积，应用反比例函数比例系数k的意义即可．
【详解】
解：如图，过点做轴于点．

四边形为平行四边形，
，
又轴，
为矩形，
，
，
为对角线交点，轴，
四边形为矩形面积为8，
即，
设点坐标为，
．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了反比例函数k的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．
18．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数： ；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： …，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是 ．
【答案】
【分析】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），根据所给的二组数找规律可得结论．
【详解】根据规律可得，如果a,b,c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一条直角边 ，弦 ．
则弦为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20、21题每题6分，第22、23题每题8分，第24、25题每题10分，第26题12分，共66分）
19．计算：．
【答案】
【分析】
本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握绝对值化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂与零指数幂的运算法则；根据绝对值化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂与零指数幂的运算法则解题即可．
【详解】解：
．
20．先化简，后计算：，其中是满足条件的合适的非负整数．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的运算，化简求值，先通分计算分式的加减，再将除法变为乘法计算并化为最简，最后选择适合的数值代入计算即可．
【详解】原式，
．
根据题意可知1，0，，
将代入，原式．
21．如图1是某商场的入口，它是由立桂、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点在同一水平线上，经过测量，支架的立柱与地面垂直，米，支撑杆于点且，从点观测点的仰角为，又测得米．

(1)求该支架的边的长；
(2)求支架的边的顶端点到地面的距离．（结果保留根号）
【答案】(1)该支架的边的长为米；
(2)
【分析】
（1）在中，，根据已知可得，即可求解．
（2）由代入数据求得，进而根据，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴是直角三角形，
在中，，
∵，
∴，
即该支架的边的长为米；

（2）
根据已知可得，在，中，且，
∴，
即，
解得：，
在矩形中，，
∴米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
22．4月22日是“世界地球日”，某校为调查学生对相关知识的了解情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行测试，测试成绩进行整理后分成五组，并绘制成如下的频数分布直方图和扇形统计图．

(1)n＝ ，补全频数分布直方图；
(2)在扇形统计图中，“70﹣80”这组的扇形圆心角为 °；
(3)若成绩达到80分以上为优秀，请你估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数．
【答案】(1)50，图见解析
(2)72
(3)672
【分析】（1）根据80～90的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的学生人数，然后即可计算出90～100这一组的人数，从而可以将频数分布直方图补充完整；
（2）根据（1）中的结果，可以计算出70﹣80所对应的扇形圆心角的度数；
（3）根据直方图中的数据，可以估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数．
【详解】（1）本次调查共抽测了名学生，
90～100的学生有：人），
补全的频数分布直方图如图所示：

故答案为：50．
（2）70﹣80所对应的扇形圆心角的度数是，
故答案为：72．
（3）估计全校1200名学生对“世界地球日”相关知识了解情况为优秀的学生人数为（名）．
答：相关知识了解情况为优秀的学生672人．
【点睛】本题考查了样本容量计算，条形统计图的完善，圆心角的计算，样本估计总体，熟练掌握样本容量计算，圆心角的计算，样本估计总体是解题的关键．
23．为了培育“一镇一特，一村一品”，加快农民脱贫致富步伐．近年来，长沙某镇依托地域优势创办了优质葡萄种植基地，该基地对外销售种植的A，B两种不同品种的葡萄，A品种葡萄每千克的售价比B品种葡萄每千克的售价的2倍少4元，3千克A品种葡萄比4千克B品种葡萄多卖4元．
(1)问葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是多少元？
(2)某超市计划从葡萄种植基地购进400千克葡萄，其中A品种葡萄不少于80千克，且总费用不超过3600元，超市对购进的葡萄进行包装销售（如下表），全部包装销售完，当包装A品种葡萄多少包时，所获总利润最大？最大总利润为多少元？
【答案】(1)A，B两种葡萄每千克的售价各是12元，8元．
(2)当包装A品种葡萄100包时，所获总利润最大，最大总利润为元
【分析】本题考查二元一次方程组及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
（1）设葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是x元，y元，根据“A品种葡萄每千克的售价比B品种葡萄每千克的售价的2倍少4元，3千克A品种葡萄比4千克B品种葡萄多卖4元．”列方程组并解方程组即可；
（2）设包装A品种葡萄m包，则包装B品种葡萄包，设总利润为w元，列不等式组求出m的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）
解：设葡萄种植基地销售的A，B两种葡萄每千克的售价各是x元，y元，根据题意，得
，
解得
答：A，B两种葡萄每千克的售价各是12元，8元．
（2）设包装A品种葡萄m包，则包装B品种葡萄包，设总利润为w元，
则，解得，
总利润，
∵，
∴w随着m的增大而增大，
∵，
∴当时，得到最大值，
∴当包装A品种葡萄100包时，所获总利润最大，最大总利润为元
24．如图，已知的内接锐角三角形中，、、所对的边分别记作，，．
(1)如图①，若在直径的延长线上取一点，使，求证：是的切线；
(2)如图①，在（1）的条件下，若，，求的长度；
(3)如图②，若设的半径为，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）如图①，连接，由是直径，可得，证明，则，即，由，可得，则，即，进而结论得证；
（2）设，则，，由，可得，即，解得，（舍去），则，，，在中，由勾股定理得，即，计算求解满足要求的值即可；
（3）证明：如图②，连接并延长交于，连接，由知，，则，即，连接并延长交于，连接，连接并延长交于，连接，同理可证，，进而结论得证．
【详解】（1）证明：如图①，连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：设，则，，
∵，
∴，即，解得，（舍去），
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得，（舍去），
∴的长度为；
（3）证明：如图②，连接并延长交于，连接，则，
∵，
∴，
∴，即，
如图②，连接并延长交于，连接，则，同理可得，即，
如图②，连接并延长交于，连接，则，同理可得，即，
∴．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质，切线的判定，勾股定理，同弧所对的圆周角相等，正弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25．定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”．
(1)下列选项中一定是“等补四边形”的是________；
A．平行四边形；B．矩形；C．正方形；D．菱形
(2)如图1，在边长为a的正方形中，E为边上一动点（E不与C、D重合），交于点F，过F作交于点H．
①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由；
②如图2，连接，求的周长；
③若四边形是“等补四边形”，求的长．
【答案】(1)C
(2)①四边形是等补四边形，见解析；②；③或者
【分析】（1）在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，符合等补四边形的定义，即可得到问题的答案；
（2）①先证A、B、H、F四点共圆，利用圆周角定理可得，进而求出，利用等角对等边得出，最后利用“等补四边形”的定义即可证明；
②将绕A点逆时针旋转得到，证明，再证，得出，即可求出的周长；
③根据，四边形是“等补四边形”可得四边形有一组邻边相等，然后分、、、四种情况讨论即可．
【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、正方形、菱形中，只有正方形的邻边相等且对角互补，
∴正方形是等补四边形，
故选：D．
（2）解：①四边形是“等补四边形”，理由如下：
∵为正方形的对角线，
∴，
又，，
∴A、B、H、F四点共圆，
∴，
∴，
∴，
又，
∴四边形是“等补四边形”．
②将绕A点逆时针旋转得到，
∴，，
∴E、D、L三点共线，
由①得，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴的周长；
③∵，四边形ECHF是“等补四边形”，
∴还需要一组邻边相等，分以下四种情况讨论：
情况1：，
连接，
由题意知∶，，
又，
∴，
∴，
则为正三角形，
∴，
∴，
∴，；
情况2：，则，
∴，
同情况1，；
情况3：，由②得的周长．
设，则，有，
∴，
即；
情况4：，
连接，
则，
则HF垂直平分AE，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
又，，
∴，
∴，这不可能，故这种情况不存在．
综上：或者．
【点睛】本题考查了正方形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，目前题意，理解新定义，找出所求问题需要的条件是解题的关键．
26．我们定义：对于一个函数，如果自变量与函数值，满足：若，则（为实数），我们称这个函数在上是同步函数．比如：函数在上是同步函数．理由：，，，得，是同步函数．
(1)若函数在上是同步函数，求的值；
(2)已知反比例函数在上是同步函数，求的值；
(3)若抛物线在上是同步函数，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于，点，与轴相交于点．若的内心为，外心为，试求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据同步函数的定义和一次函数的增减性可得答案；
（2）根据反比例函数的增减性可知，时，，从而得出答案；
（3）由，，得，则抛物线在上是递增的，可知时，，且最小值为，得出抛物线的解析式，从而得出点、、的坐标，设，根据，可得的坐标，再利用面积法求出点的坐标，从而解决问题．
【详解】（1）解：函数在上是同步函数，且函数是递减函数，
∴，，当时，；当时，；
，
．
（2）解：∵反比例函数在上是同步函数，
∴，，
反比例函数在或上是递减的，
当时，取最大值，当，取最小值，
，
．
（3）解：抛物线的顶点式为，顶点坐标为，
，，
，
抛物线在上是递增的，
当时，取最小值，
，解得，，
抛物线的函数表达式为，
抛物线与直线相交于、两点，设，，

假设点在点的左侧，即，
，解得，，，
在中，，，，
，，，
外心在线段的垂直平分线上，设，则，
，解得，，
，
在中，根据内心的性质，设内心到各边距离为，得，
，
∵是等腰三角形，轴为的角平分线，
内心在轴上，
，
，
．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质等知识，理解新定义，得出抛物线的解析式从而得出的顶点坐标是解题的关键．
葡萄品种
A品种
B品种
每包中葡萄重量（千克）
1
2
售价（元/包）
18
20
每个包装盒的成本（元）
3
2