数学必修 第二册6.2.3 平面向量的坐标及其运算课文配套ppt课件

这是一份数学必修 第二册6.2.3 平面向量的坐标及其运算课文配套ppt课件，共37页。PPT课件主要包含了学习目标，讲授新课，平面向量的坐标，尝试与发现，3-2，-3-1，典例精析，求向量坐标的三个步骤，规律方法，由已知可得等内容，欢迎下载使用。

1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点)2．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算．(重点)3．会用坐标表示平面向量共线的条件，能用向量共线的条件来解决有关向量共线、直线平行及点共线等问题．(重点、难点)
平面上的两个非零向量 a 与b，如果它们所在的直线互相垂直，我们就称向量 a 与b 垂直，记作a⊥b.为了方便起见，规定零向量与任意向量都垂直. 我们已经从平面向量基本定理知道，给定平面内两个不共线的向量 (即给定一组基底)后，平面内的任意一个向量都能用这两个向量表示。 如果平面向量的基底{e₁，e₂}中， e₁ ⊥ e₂ ，就称这组基底为正交基底;在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解。
如图 6-2-10 所示，已知e₁，e₂ 是平面内两个相互垂直的单位向量，将图中的向量a与b都用e₁，e₂表示.
可以看出，a=2e₁+2e₂ ，b=3e₁-2e₂. 一般地，给定平面内两个相互垂直的单位向量 e₁，e₂ ，对于平面内的向量a，如果 a= xe₁+ye₂ 则称 (x，y) 为向量a 的坐标，记作a=(x，y). 因此，图 6-2-10中a的坐标为 (2，2)，b的坐标为1 ______.
平面上向量的坐标也可以按照如下方式来直观理解: 如图 6-2-11 所示，在平面上指定一点 O 作为原点，以 e₁的方向为 x 轴的正方向，以 e₂的方向为 y 轴的正方向，以 e₁ (或 e₂)的模为单位长度建立平面直角坐标系对于平面上任意一个向量a，如果我们把它的始点平移到原点 O，那么a 的终点对应的坐标就是向量a 的坐标.
图6-2-11中，a=(4，2)，b=2________，特别地， e₁ =(1，0), e₂ =3_________. 为了方便起见，以后谈到平面上向量的坐标时，总是默认为已经按照上述方式指定了单位向量 e₁，e₂ ，并建立了平面直角坐标系;同时，谈到平面直角坐标系时，默认为已经指定了与x 轴及y 轴的正方向同向的两个单位向量.
如图 6-2-12 所示，写出向量a，b 的坐标.
因为a 的始点在原点，所以由 a 的终点坐标可知 a=(5，-1).又因为b=-4e₁+e₂ ，所以b=4______.
平面上的向量有了坐标之后，向量的相等以及运算与它们对应的坐标之间有什么关系?
2.平面上向量的运算与坐标的关系
假设平面上两个向量 a，b 满足a =(x₁,y₁)，b=(x₂，y₂)，也就是说
则当a=b 时，有 由e₁，e₂ 是相互垂直的单位向量可知x₁= x₂且y₁ =y₂;反之结论也成立。这就是说，平面上两个向量相等的充要条件是它们的坐标对应相等.另外，因为
类似地，可以得出，如果u，v 是两个实数，那么
已知a=(-2，3)，b=(3，-3)，求下列向量的坐标:
a+b=(-2，3)+(3，-3)=(-2+3，3-3)=(1，0).2a-5b =2(-2，3)-5(3，-3) =(-4，6)-(15，-15)=(-19，21).
事实上，如果向量a=(x，y)，当a与e₁，e₂都不共线时，若a 的始点在原点，则过a 的终点分别作x 轴与y 轴的垂线，可以构造出一个边长分别为|x|与| y |的矩形，而|a |正好等于矩形的对角线长，因此
当a与e₁或e₂共线时，上述结论显然也成立.
即可，其中 为第j门课程的平均成绩. 如今是计算机普及的时代，上述计算不再令人生畏，向计算机输入数据，计算机能在很短的时间内完成计算任务.
3.平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式
利用平面向量坐标的知识，我们可以得到平面直角坐标系内两点之间的距离公式与中点坐标公式。事实上，设 为平面直角坐标系中的两点，则所以因此
这就是平面直角坐标系内两点之间的距离公式.另外，设线段AB 中点为M(x，y)，则 又因为
这就是平面直角坐标系内的中点坐标公式.
已知A(-2，1)，B(1，3)，求线段AB 的中点M 与三等分点 P，Q 的坐标(如图6-2-13 所示).
已知平行四边形 ABCD 的三个顶点A(-2，1)，B(2，2),C(3，4)，而且A，B，C，D 按逆时针方向排列，求:(1) AB，AD; (2) D 点的坐标.
不难看出又因为AD=BC，所以
4.向量平行的坐标表示
在平面直角坐标系中，已知 A(-2，-3)，B(0，1)，C(2，5)，求证:A，B，C 三点共线.
由已知得因为2×8=4×4，所以因此 A，B，C 三点共线.
平面向量坐标的线性运算的方法(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
1．利用向量共线的条件处理求值问题的思路(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．(2)利用向量平行的坐标表达式 直接求解．2．三点共线问题的处理方法三点共线问题的实质是向量共线问题，只要利用三点构造出两个向量，再使用向量共线的条件解决即可．
2.写出平面直角坐标系中零向量的坐标。3. 已知a=(3，1)，b=(-2，1)，求a+b和-3a+2b.
4.已知A(-1，-3)，B(0，-1)，C(1，1)，求向量 ，并判断A，B,C 三点是否共线.5. 已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-1，-2)，B(3，-1)，C(4，2)，而且A，B，C，D 按逆时针方向排列，求:AB，AD;D点的坐标.
一、知识总结1．平面向量的正交分解及坐标表示．2．平面向量坐标的运算．3．两点间的距离公式与中点坐标公式．4．向量平行的坐标表示．
二、方法归纳向量运算代数化．三、常见误区向量的坐标不一定是终点的坐标．向量平行的坐标表示．