数学人教B版 (2019)8.1.2 向量数量积的运算律图片课件ppt

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当a，b是两个非零向量时，因为=，所以根据a·b=| a | | b | cs，b · a= | b | | a | cs可知
a · b = b · a
即向量的数量积满足交换律.
当a，b，c 都是向量时，(a+b)·c，a · c，b · c 都是实数吗? 如果是，这3个实数之间有什么关系?
因为a，b是向量时，a＋b 仍是向量，因此(a+b)·c，a·c，b·c都是实数，而且，从形式上可以猜出
(a+b)·c = a·c+b·c
也就是向量的数量积对加法满足分配律
那么，怎样才能确定这个结论成立呢？如果直接从数量积的定义来考虑，将需要讨论，，等之间的关系，是比较烦琐的. 下面我们从数量积的几何意义来考虑. 当a，b，c 中至少有一个是零向量时，分配律显然成立，因此下面只要说明a，b，c都不是零向量的情形即可.
所以根据向量数量积的几何意义可知(a+b) · c0 = a · c0 ＋ b · c0,在这个式子两边同时乘以|c| ，即可知(a＋b)·c = a · c＋b · c.由向量数量积满足以上的运算律还可得到a · (b+c)= a · b＋a · c，(a－b)·c = a · c－b·c
求证：(1)(a+b)·(a－b) = a2－b2；(2)(a+b)2=a2＋2a·b＋b2.
证明：(1) (a+b)·(a－b) =a · (a－b)+b·(a－b) =a · a－a · b + b · a－b · b =a2－b2
(2) (a+b)2=(a＋b)·(a＋b) =a · (a＋b)＋b·(a＋b) =a·a＋a·b＋b·a＋b·b =a2＋2a·b＋b2例1(2)实际上将a＋b，a，b 这三个向量的模与a·b 联系起来了. 而且，利用完全类似的方法，还可证明：(a－b)2=a2－2a·b＋b2.
(1)已知|a| =2，|b| =1，=60°，求|a＋2b| ;(2)已知|a＋b| = |a－b| ，求a·b.
解 (1) 由题意可知a2=4，b2=_________，a·b=2×1×cs 60°=1，所以|a＋2b|2=(a＋2b)2 =a2＋4a·b＋4b2 =4＋4×1＋4×1 =12因此|a＋2b| =_____________.
(2)由题意可知|a＋b|2 = |a－b|2，即 (a＋b)2=(a－b) 2 ，因此a2＋2a·b+b2=a2－2a·b+b2，因此a · b=___________.
利用向量证明菱形的两条对角线互相垂直.如图8-1-9 所示，已知 ABCD 是菱形， AC 与BD 是两条对角线. 求证：AC⊥BD.
利用向量证明三角形的三条高相交于一点.
如图 8-1-10 所示，已知△ABC 中，BE，CF分别为AC，AB 边上的高，而且 BE 与 CF 相交于点O，连接AO 并延长，与 BC 相交于点 D. 求证：AD⊥BC.