江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题

这是一份江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.某工厂生产，，种不同型号的产品，产量之比为3：2：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中种型号的产品有18件，则样本容量（ ）
A.40B.60C.80D.100
2．复数，则的虚部为（ ）
A．B．C． D．
3．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ）
①若，则为异面直线 ②若，则
③若，则 ④若，则
⑤若，，则
A．②③⑤B．①②⑤C．④⑤D．①③
4.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时,则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
5.已知，则（ ）
A.B.C.D.
6.已知是单位向量，且，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
7.在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（ ）
A.B.C.D.1
8.锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现点数为奇数”，事件B=“出现点数为3”，事件C=“出现点数为3的倍数”，事件D=“出现点数为偶数”，则以下选项正确的是（ ）
A．B与D互斥B．A与D互为对立事件C．D．
10.在中，内角A、B、C的对边分别为、、， AD为边BC的上的中线，
AD=x，BC=x，以下说法正确的是 ( )
A. 若，则的面积的最大值为 B. 若λ= 6，则AB⋅AC=-x2
C. 若λ=1，则 D. 若，则的取值范围是
11.棱长为2的正方体，，分别是，的中点，则（ ）
A.直线与直线是异面直线
B.过点，，的平面截该正方体所得的截面面积为
C.在上存在一点，使二面角的大小为
D.点到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在2,3,5,7,11,13这6个数中，任取两个不同的数，则这两数之和仍为素数的概率是__．
13.如图，在等腰直角ΔABC中，∠B=90​∘，AC=4，D为AC的中点，将线段AC绕点D旋转得到线段EF.设M为线段AB上的点，则ME⋅MF的最小值为____．
14.在四面体中，，，，，，则四面体的外接球的表面积为 ，四面体的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.复数，且在复平面上对应的点在第一象限．
(1)若，求复数的模；
(2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值．
16.2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
(2)在这100名候选者用分层随机抽样的方法从第四组和第五组面试者内抽取10人，再从这10名面试者中随机抽取两名，求两名面试者成绩都在第五组的概率．
(3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差．
17.如图，四棱锥的体积为，底面为等腰梯形，，，，，，是垂足，平面平面．
(1)证明：；（2）若为的中点，求直线和平面所成角的正弦值．
18.“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.
在中，内角，，的对边分别为，，.
（1）若，且的面积为，设点为的费马点，求的取值范围；
（2）若内一点满足，且平分，试问是否存在常实数，使得，若存在，求出常数；若不存在，请说明理由.
19.在三棱柱中，，，，, 分别为的中点.
(1)证明：平面∥平面；
(2)证明：平面⊥平面；
(3)若为线段上的动点，求二面角的平面角的余弦值的取值范围．
1.某工厂生产，，种不同型号的产品，产量之比为3：2：5.现用分层抽样的方法抽取1个容量为的样本，若样本中种型号的产品有18件，则样本容量（ ）B
A.40B.60C.80D.100
2．复数，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C【分析】利用复数的除法运算和乘方运算计算得解.
【详解】，
所以复数.故选：
3．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为（ ）
①若，则为异面直线 ②若，则
③若，则 ④若，则
⑤若，，则
A．②③⑤B．①②⑤C．④⑤D．①③
【答案】A【分析】根据空间线面的位置关系，逐项判断即可.
【详解】对①：因为平面的平行线和平面内的直线可以平行，也可以异面，故①错误；
对②：平行于同一个平面的两个平面平行，故②正确；
对③：先根据垂直于同一条直线的两个平面平行得，再根据，可得，故③正确；对④：两直线平行，和这两条直线分别垂直的平面也平行，故④错误.
⑤正确，故选：A
4.本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足一小时的部分按一小时计算）．有甲、乙两人分别来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间互不影响且都不会超过四小时,则甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为（ ）D
A．B．C．D．
租车费用相同可分为租车费用都为0元、2元、4元三种情况．
都付0元的概率为；……………………………………2分
都付2元的概率为；……………………………………2分
都付4元的概率为．……………………………………2分
所以甲、乙两人所付租车费用相同的概率为．……………………………………1分
5.已知，则（ ）B
A.B.C.D.
6.已知是单位向量，且，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）C
A．B．C．D．
7.在正方体中，是的中点，是棱上一点，且平面平面，则（ ）D
A.B.C.D.1
8.锐角中，角A、B、C的对边分别为、、，满足，若存在最大值，则实数的取值范围是（ ）C
A．B．C．D．
可得，
由于为锐角三角形，则，即，解得，
，因为，则，
因为存在最大值，则，解得．故选：C．
9．抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件A=“出现点数为奇数”，事件B=“出现点数为3”，事件C=“出现点数为3的倍数”，事件D=“出现点数为偶数”，
则以下选项正确的是（ ）ABD
A．B与D互斥B．A与D互为对立事件C．D．
10.在中，角的对边分别为，为边上的中线，，，以下说法正确的是 ( )ACD
A. 若，则的面积的最大值为
B. 若λ= 6，则AB⋅AC=-x2
C. 若λ=1，则35≤csA