[数学]河南省郑州市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份[数学]河南省郑州市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 如图，向量对应的复数是，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由图可知，所以，
所以，
所以复数的虚部为.
故选：D.
2. 抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则事件与事件（ ）
A. 相互独立B. 互为对立事件C. 互斥D. 相等
【答案】A
【解析】分别抛掷两面均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，
则，，
所以，所以事件与相互独立.
故选：A.
3. 已知向量，若，则x的值为（ ）
A. 6B. C. 16D.
【答案】C
【解析】向量，则，又，
因此，解得，所以x的值为16.
故选：C.
4. 若数据的平均数为3，方差为4，则下列说法错误的是（ ）
A. 数据的平均数为13
B. 数据的方差为12
C.
D
【答案】B
【解析】依题意，，，
对于A，，A正确；
对于B，依题意，，所以数据的方差为：
，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，
由，
解得，D正确.
故选：B.
5. 已知中，角所对的边分别为，设向量，，且，则角可以为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由向量，，
因为，可得，
即，可得，
因为，可得，所以或，所以或.
故选：B.
6. 已知的外心为O，且，，向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在中，由，得点为线段的中点，
而为的外心，
则，即有，又，则为正三角形，
即，
于是，，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B.
7. 2023年郑州市科技活动周暨郑州科技馆“青春逐梦科技”主题活动于5月31日落下帷幕．科技活动周期间，郑州市科技馆为青少年准备了一场场科技盛宴，通过魅力科学课、深度看展品、科普表演秀、科普大篷车等活动，引导青少年用科学的眼光看待世界，点燃青少年对科学的好奇心．5月27日科技馆安排了《失重通道》、《永不消逝的密码》、《海底小火山》、《回旋纸飞机》四个体验课程．每个人选择每门课程是相互独立的．已知小明选择四门课程的概率分别为，若他恰好选择两门课程的概率为，则他四门课程都选择的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】小明选择《失重通道》、《永不消逝的密码》、《海底小火山》、《回旋纸飞机》的事件分别记为，
则，
小明恰好选择两门的事件，
因此
，
整理得，而，解得，
所以小明四门课程都选择的概率为.
故选：D.
8. 三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，且，，，则球O的表面积为（ ）
A. 16πB. 32πC. D.
【答案】C
【解析】，，
，平面，平面，
作出的外接圆圆心，设其外接圆半径为，，
则，
则根据正弦定理有，则，
在图中作出外接球球心，设外接球半径为，
则，平面，因为，则为中点，则，
平面，平面，则，
同理，则四边形为矩形，则，
在中，由勾股定理得，即，
则球O的表面积为.
故选：C.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．
9. 某校随机抽取了100名学生测量体重，经统计，这些学生的体重数据（单位：kg）全部介于45至75之间，且体重不低于60kg的人数为35人，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则（ ）
A. 频率分布直方图中b的值为0.04
B. 这100名学生中体重低于55kg的人数为35
C. 用样本估计总体，估计该校学生体重的第80百分位数约为
D. 用样本估计总体，估计该校学生体重的平均数小于中位数
【答案】AC
【解析】A选项，由题意得，解得，A正确；
B选项，这100名学生中体重低于55kg的人数为，故B错误；
C选项，，，
故第80百分位数落在内，，
解得，
用样本估计总体，估计该校学生体重的第80百分位数约为，C正确；
D选项，平均数为
，
因为，，
故学生体重的中位数落在内，
设中位数为，则，解得，
因为，故样本估计总体，估计该校学生体重的平均数大于中位数，D错误.
故选：AC.
10. 已知复数：，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若为纯虚数，则
B. 若为实数，则
C. 设，复数z满足，则的最大值为
D. 复数对应的点不可能在第一、三象限的角平分线上
【答案】AC
【解析】复数，，
对于A，，由为纯虚数，得，A正确；
对于B，，而，因此不能为实数，
B错误；
对于C，，，令复数在复平面内所对点分别为，
则，
令坐标原点为，有，
而，解得，
当且仅当点在线段上时取等号，所以的最大值为，C正确；
对于D，，
当时，对应的点在第一、三象限的角平分线上，D错误.
故选：AC.
11. 已知四面体的各棱长均为2，且E为CD的中点，则（ ）
A.
B. 四面体的表面积为
C. 直线AC与BE所成的角为60°
D. 四面体的体积为
【答案】ABD
【解析】对A，如图，由题意，四面体ABCD为正四面体，取底面BCD的中心为G，
连接BE，
则点为的三等分点，且，连接，
则，底面BCD，平面，
所以，又因为面，所以平面，
平面，所以，故A正确；
对B，根据棱长均为2，则四个面均为边长为2的等边三角形，
则，故B正确，
对C，取中点，分别连接，因为为的中点，则，
直线AC与BE所成的角即为直线EF与BE所成的角，
，则，则C错误；
对D，底面BCD，底面BCD，则，
，则，则，
则，故D正确.
故选：ABD．
12. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则（ ）
A.
B. 若D为AB边的中点，且CD＝2，c＝4，则b＝2
C. 若，则
D. 当取得最大值时，为直角三角形
【答案】BCD
【解析】对于A，由余弦定理得，，
则，
A错误；
对于B，由于是的中点，有，又，即有，
则为直角，，联立，解得，B正确；
对于C，由选项A知，，
由正弦定理得，
而，
整理得，又，显然，
于是，有，而，所以，C正确；
对于D，由得，，
而，有，则，，有，又，
因此，显然角都为锐角，则，
又，当且仅当时取等号，
而正弦函数在上单调递增，
因此取得最大值，此时，，有，
等式成立，所以为直角三角形，D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13. 某学校组织“红色故事”知识竞赛，某班的8名参赛学生的成绩（单位：分）分别是：98、93、84、92、82、87、86、94，则这8名学生成绩的75%分位数是______．
【答案】
【解析】8名学生成绩由小到大排列为： 82、84、86、87、92、93、94、98，
由，得这8名学生成绩的75%分位数是.
故答案为：.
14. 已知某圆台的上底面和下底面的面积之比为，轴截面面积为15，母线长为上底面半径的倍，则该圆台的体积为______．
【答案】
【解析】设圆台上底面圆半径为，因为圆台的上底面和下底面的面积之比为，
则上下底面圆半径之比为，
因此圆台下底面圆半径为，轴截面等腰梯形上下底边长为，
腰长为圆台母线长，
于是圆台的高即轴截面等腰梯形的高，
由轴截面面积为15，得，解得，则下底面圆半径为3，高为3，
所以该圆台的体积.
故答案为：.
15. 在中，，．设，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】在中，由，，得，
则，
又，则有，
所以.
故答案为：.
16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是______．
【答案】
【解析】在中，，则，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
当且仅当时取等号，
因此，解得，
所以最大值是.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知，其中，是单位向量且夹角为．
（1）求，夹角；
（2）设，若，求和的值．
解：（1）单位向量，的夹角为，则，
于是，
，，
因此，而，所以.
（2）依题意，，
而与不共线，因此，解得，
所以.
18. 在一次校园诗朗诵比赛中，由10名专业评委和10名观众代表各组成一个评委小组为选手打分．已知某参赛选手的得分如下：
（1）分别计算该选手在A组和B组得分的平均数；
（2）选择一个可以度量打分一致性的量，并对每组评委的打分计算该度量值，根据这个值判断A组与B组哪个是专业评委组，哪个是观众代表组？
解：（1）小组的打分中，
选手得分的均值，
小组的打分中，选手得分的均值.
（2）由（1）知，该选手在A组和B组得分的平均数相同，于是选择方差度量打分一致性，
组数据的方差，
组数据的方差，
由以上数据知，组的打分方差较大，数据波动较大，所以组为专业组，组为观众组.
19. 如图，已知正方体的棱长为4．
（1）求二面角的正切值；
（2）若E，F分别是棱AD，的中点，请画出过B，E，F三点的平面与正方体表面的交线（保留作图痕迹，画出交线，无需说明理由），并求出交线围成的多边形的周长．
解：（1）在正方体中，取的中点，连接，如图，
则，又为的中点，则有，
即是二面角的平面角，
而平面平面，即有，
由正方体的棱长为4，得，在中，，
所以二面角的正切值为.
（2）在正方体中，取中点，的中点，连接，
则线段是过，，三点的平面与正方体表面的交线，理由如下：
连接，，因为为棱中点，则，
即四边形为平行四边形，
于是，四边形是平行四边形，则，
又为棱的中点，因此，即，，，四点共面，
所以线段是过，，三点的平面与正方体表面的交线，
，，
所以交线围成的四边形的周长是.
20. 数学核心素养是指在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的关于数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现．数学核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析六个方面．某学校高一、高二、高三学生分别有720，1080，1200人，现采用分层抽样的方法，从该学校上述学生中抽取250人调查学生数学核心素养的发展情况．
（1）应从高一、高二、高三学生中分别抽取多少人？
（2）抽取的250人中，核心素养六个方面中至少两项不达标的学生有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．具体情况如下表，其中“○”表示达标，“×”表示不达标．现从这6人中随机抽取2人接受采访．
（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设M为事件“抽取的2人不达标的项目中至少有一项相同”，求事件M发生的概率．
解：（1）由已知，高一、高二、高三学生人数之比为，
由于采取分层抽样的方法从中抽取250位学生，
，
因此应从高一、高二、高三学生中分别抽取60人，90人，100人.
（2）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
，共15种.
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为
，
共11种，所以事件发生的概率.
21. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求B的值；
（2）给出以下三个条件：①；②，；③，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件，并回答下列问题：的角平分线与直线AC交于点D，求BD的长．
解：（1）在中，由得，，
因此，而，则，
又，所以.
（2）在中，由（1）知，，则，
显然条件②不成立，因此正确的条件为①③，
由余弦定理得，由，得，
于是，而，解得，又，解得，
因为是的角平分线，即，
则由，
得，即，
所以.
22. 如图，直三棱柱中，，且平面平面．
（1）求BC的长；
（2）求直线AC与平面所成角的正弦值．
解：（1）证明：在平面内任取一点，分别作，如图所示，
因为直三棱柱，可得平面平面，
又因为平面，且平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
又由平面平面，且平面，
且平面平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，且平面，所以平面，
因为平面，所以，
在直角中，因为，可得.
（2）过点作，垂足为，
由平面平面，且平面，平面，
所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
在直角中，，可得，所以，
在直角中，可得，
所以直线与平面所成的角的正弦值为.评委小组
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A组
7.3
7.5
7.8
7.8
8.0
8.0
8.2
8.3
8.5
8.6
B组
6.8
7.5
7.6
7.8
7.8
8.0
8.0
8.5
9.0
9.0
数学核心素养
A
B
C
D
E
F
数学抽象
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○
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直观想象
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逻辑推理
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数学运算
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数学建模
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数据分析
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