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    [数学]福建省泉州市惠安县2024年中考模拟试题(解析版)

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    [数学]福建省泉州市惠安县2024年中考模拟试题(解析版)

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    这是一份[数学]福建省泉州市惠安县2024年中考模拟试题(解析版),共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1. 化简的结果是( )
    A. 2B. 4C. D.
    【答案】D
    【解析】,
    故选:D.
    2. 如图是由一个长方体和一个球组成的几何体,它的主视图是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】C
    【解析】从正面看,图形上面为一个圆,下面是一个矩形,
    故选:C.
    3. 据报道,华为公司坚持每年将10%以上的销售收入投入研究与开发,近十年累计投入的研发费用超过人民币11100亿元,用科学记数法表示数据“11100亿”,结果正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】11100亿,故选:A.
    4. 下列计算正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】A、,故该选项是错误的,不符合题意;
    B、,故该选项是错误的,不符合题意;
    C、,故该选项是错误的,不符合题意;
    D、,故该选项是正确的,符合题意;
    故选:D.
    5. 我们定义:若一个三角形的两个内角与,满足,则这样的三角形称为“奇妙互余三角形”.已知是“奇妙互余三角形”,,则的度数为( )
    A. B. C. D.
    【答案】B
    【解析】是“奇妙互余三角形”,,

    故选∶B.
    6. 如图,在长为,宽为矩形耕地上,修筑同样宽的三条道路(其中有两条纵向和一条横向,横向与纵向道路互相垂直),把耕地分成六块作为试验田,要使试验田总面积为,问道路应为多宽?若设道路宽为,则下列方程正确的是( )
    A.
    B.
    C.
    D.
    【答案】C
    【解析】由题意得,.
    故选:C.
    7. 如图,将绕点按逆时针方向旋转,得到,若点在线段的延长线上,则的大小为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】将绕点按逆时针方向旋转,
    ∴,,,


    故选:C.
    8. 为了解学生体育锻炼情况,某学校随机抽取甲,乙两个班级,对这两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时间(单位:分钟)进行了数据统计,得到如下折线图,则下列说法正确的是( )
    A. 班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的大
    B. 班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为72
    C. 班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为65
    D. 班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的大
    【答案】A
    【解析】A.由折线图可知,班级甲的极差为,班级乙的极差为,

    班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级甲的大,故A项正确,符合题意;
    B.由折线图可知,班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为65,故B项错误,不符合题意;
    C.由折线图可知,班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为30,故C项错误,不符合题意;
    D.由折线图可知,班级甲的平均数为:,
    班级乙的平均数为:,

    班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均数比班级乙的小.故D项错误,不符合题意;
    故答案为:A.
    9. 如图,内接于,若,则的半径为( )
    A. 1B. 2C. D.
    【答案】B
    【解析】连接,并延长交于点,连接,


    为的直径,


    ,,

    的半径.故选:B.
    10. 如图,已知一次函数与反比例函数的图象相交于点,则关于的方程的解是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】一次函数与反比例函数的图象相交于点,
    ,,
    解得,
    关于的方程为,

    解得,,
    故选:D.
    二、填空题:本题共6小题,每小题4分,共24分.
    11. 如图,点A在数轴上的坐标为a,试比较大小:______.(填“”)
    【答案】>
    【解析】由数轴可得,
    ∴,
    即.
    故答案为:>
    12. 如图,中,垂直平分,交于,交于,连结.若,则的长为______.
    【答案】3
    【解析】∵垂直平分,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    故答案为:3.
    13. 某大学自主招生考试需要考查数学和物理.计算综合得分时,按数学,物理占计算.已知小明数学得分为130分,综合得分为114分,那么小明物理得分是______分.
    【答案】90
    【解析】设小明物理得分是分,
    由题意得,
    解得,
    小明物理得分是90分.
    故答案为:90.
    14. 设是方程两个根,且,则的值为______.
    【答案】
    【解析】,

    解得.
    故答案为:.
    15. 如图,点是矩形的边的中点,以点为圆心,长为半径作弧,交于点,若,矩形的面积为8,则图中扇形的面积为______.
    【答案】
    【解析】四边形是矩形,
    ,,,
    点是边的中点,

    以点为圆心,长为半径作弧,交于点,



    即,整理得,
    设,则,,
    矩形的面积为8,
    ,解得,

    图中扇形的面积为.
    故答案为:.
    16. 已知,直线()与x轴交于点C,A是直线上一点,轴于点B,且,若的面积为,则k的值为______.(用含a的式子表示)
    【答案】
    【解析】把代入函数中,得,
    解得,
    ∴点C的坐标为,
    ∵,,

    ∴点B的坐标为或,
    ∵,
    ∴点A的坐标为或,,.
    若点A的坐标为,则,解得;
    若点A的坐标为,则,解得;
    若点A的坐标为,则,解得;
    若点A的坐标为,则,解得;
    综上所述,.
    故答案为:
    三、解答题:本题共9小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17. 计算:.
    解:原式.
    18. 如图,点D,E分别在上,,求证:.
    证明:∵,
    ∴,
    ∵,
    ∴,
    ∴.
    19. 先化简,再求值:,其中.
    解:原式=
    ==,
    当时,
    原式==.
    考点:分式的化简求值.
    20. 某文具店准备购进型号的文具一共100件,两种文具的进价和售价情况如下表:
    (1)问该文具店应如何进货,使得进货款恰好是1340元?
    (2)若购进这两种文具全部售完后,获得利润不超过进货款总数,求该文具店可获利润的最大值.(注:利润=售价-进价)
    解:(1)设购进型号文具件,购进型号文具件,
    依题意,得
    解得
    答:应购进型号文具32件,购进型号文具68件.
    (2)若购进型号文具件,则购进型号文具件,
    由题意,得:所获利润,

    ∴解得,
    由题意,得
    随着的增大而减小
    则当时,
    当文具店购进A型号文具50件时,所获利润最大,最大值为500元.
    21. 如图,四边形中,,,过三点的圆与交于点.
    (1)求证:是的中点;
    (2)若,求证:.
    (1)证明:如图,连接.
    三点共圆,且,
    为直径,
    ,即

    即是的中点.
    (2)证明:连接.

    则,
    又,,
    ,,.
    22. 一个袋中装有2个红球,4个白球和2个黑球,它们除了颜色以外没有任何其他区别.袋中的球已经被搅匀.
    (1)求从袋中随机摸出1个球是白球的概率;
    (2)若先从袋中取出1个红球和个白球,不放回.搅匀后,再从袋中余下的球中随机摸出2个球,求“摸出2个黑球”事件发生的概率.
    解:(1)一个袋中装有2个红球,4个白球和2个黑球,共有8个球,
    则从袋中随机摸出1个球是白球的概率是;
    (2)当时,说明口袋里还有1个红球,1个白球,2个黑球,列表如下:
    一共有12种情况,其中摸出2个黑球的情况数有2种,
    “摸出2个黑球”事件发生的概率是;
    当时,说明口袋里还有1个红球,2个黑球,列表如下:
    一共有6种情况,其中摸出2个黑球的情况数有2种,
    “摸出2个黑球”事件发生的概率是.
    综上所述,“摸出2个黑球”事件发生的概率是或.
    23. 某中学九年级(1)班开展“发现与探究黄金分割”为主题的综合实践活动,爱思考的小丽积极响应,认真做好下面项目及任务.
    一、收集资料,阅读理解
    两千多年前,古希腊数学家欧多克索斯(,约前408年—前355年)发现:将一条线段分割成长、短两条线段,若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比,即(此时线段叫做的比例中项),则可得出这一比值等于0.618….这种分割称为黄金分割,这个比值称为黄金比,点叫做线段的黄金分割点.
    黄金分割被视为最美丽的几何学比率,并广泛地应用于建筑和艺术中,如埃及的金字塔,女神维纳斯的雕像等,就是在日常生活中,黄金分割也处处可见.如演员在舞台上表演,站在黄金分割点上,台下的观众看上去感觉最好.有人发现,人的肚脐高度和人体总高度的比值接近于黄金比.就连普通树叶的宽与长之比,蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也都接近于0.618.还有黄金矩形(即长与宽之比为黄金比)、黄金三角形(顶角为的等腰三角形)等,五角星中更是充满了黄金分割.让我们去发现大千世界中奇妙无比的黄金分割吧!
    二、动手操作,直观感知
    任务一:如图1,已知正方形,点是的中点.连结,以点为圆心,为半径作弧,与的延长线交于点,过点作于,与的延长线交于点,则所得到的四边形是黄金矩形.
    ①根据题意,利用尺规作图,将图1补充完整;
    ②写出黄金矩形的两边与之比,即______(结果保留根号)
    三、探究延伸,灵活运用
    任务二:如果正边形的中心角等于,其外接圆半径为,则______,其边长与的关系式为______;(用三角函数表示)
    任务三:如图2,在中,已知,求的值.(结果保留根号)
    请结合上述材料,解决下面问题:
    (1)补全任务一①、②所缺的内容;
    (2)根据任务二,写出______,边长与R的关系式为______;(用三角函数表示)
    (3)完成任务三问题的解答.
    解:(1)①将图1补充完整如图所示.
    ②解:设正方形的边长为,则,
    ∴,



    (2)
    如图所示,
    依题意,,,
    过点作于点,

    在中,
    ∴,

    (3)如图,延长至,使得,连结.
    ,即,则垂直平分

    过点作的平分线,交于点,则,

    法1:设,则


    ,解得
    为正数,

    法2:由题意知是的比例中项,
    由任务一结论,可知,
    又,

    24. 已知抛物线与轴交于两点,为抛物线上不与重合的相异两点,设直线的交点为.
    (1)求抛物线的函数表达式;
    (2)若四点构成的四边形是轴对称图形,且,求四边形的面积;
    (3)若直线的交点在直线上,则直线必过定点,直接写出该定点的坐标.
    解:(1)两点在抛物线上
    ∴,
    解得
    抛物线的函数表达式为.
    (2)如图,由图形的轴对称,可知四点构成的四边形是等腰梯形.
    又,且

    设点,则点
    ,则
    ,则点
    (3)直线过定点.
    如图,设,
    设直线解析式为.
    依题意,得
    则有
    设直线解析式为.
    在直线上


    又,
    设直线解析式为
    在直线上

    又,
    直线的交点在直线上



    整理得
    故,
    解得
    直线解析式为
    故直线过定点.
    25. 如图,在正方形中,点是上一点,的垂直平分线分别与、交于点,连结,其中与交于点.
    (1)求证:;
    (2)如图1,若正方形的边长为1,当时,求的长;
    (3)如图2,当时,求证:.
    解:(1)如图1,垂直平分,

    ,即,



    又,

    在正方形中,,
    ,则,

    (2)如图2,设,则,
    由(1)知,

    又,且,

    又,

    则,,
    又,
    ,解得,
    ,,
    ,则,

    (3)如图3,过点作于点,连结.
    由(1)知,

    则为等腰直角三角形,

    垂直平分,


    ,即为等腰直角三角形,
    则,又,

    在与中,


    在中,,

    即. 价格
    型号
    进价(元/件)
    售价(元/件)

    10
    12

    15
    23





    (红,黑)
    (红,黑)
    (红,白)

    (黑,红)
    (黑,黑)
    (黑,白)

    (黑,红)
    (黑,黑)
    (黑,白)

    (白,红)
    (白,黑)
    (白,黑)




    (红,黑)
    (红,黑)

    (黑,红)
    (黑,黑)

    (黑,红)
    (黑,黑)

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