[数学]湖南省永州市新田县2023-2024学年七年级下学期期中试题（解析版）

这是一份[数学]湖南省永州市新田县2023-2024学年七年级下学期期中试题（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A．此方程组是由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组，是二元一次方程组；
B．此方程组中有3个未知数，不是二元一次方程组；
C．此方程组中第2个方程不是一次方程，不是二元一次方程组；
D．此方程组中第1个方程不是一次方程，不是二元一次方程组；
故选：A．
2. 下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意；
B、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意；
C、，属于因式分解，符合题意；
D、，分解不完全，不属于因式分解，不符合题意；
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项正确，符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
4. 已知是因式分解的结果，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴
∴．
故选：A．
5. 将多项式提公因式后，另一个因式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
，
∴公因式是，另一个因式为．
故选：B
6. 若是一个完全平方公式，则的值为（ ）
A. 6B. 12C. D.
【答案】D
【解析】且是一个完全平方式，
，即，
故选：D．
7. 从甲地到乙地有一段上坡路与一段下坡路．如果上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，从乙地走到甲地需要20分钟．若设从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，则所列方程组正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】∵从甲地到乙地上坡路程为xkm，下坡路程为ykm，上坡平均每小时走2km，下坡平均每小时走3km，那么从甲地走到乙地需要15分钟，
∴，
返回时，列方程为，
联立方程组为，
故选C．
8. 如果是方程组的解，则的值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】D
【解析】∵是方程组的解，
∴
①②得，解得，
把代入①得，解得，
∴，
故选：D．
9. “九宫图”源于我国古代夏禹时期的《洛书》（如图1），是世界上最早的矩阵，又称“幻方”，其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等（如图2），图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则的值为（ ）

A. 0B. 1C. 3D. 6
【答案】D
【解析】根据题意得：，解得，
故选：D．
10. 如图，将两张边长分别为和的正方形纸片按图1，图2两种方式放置长方形内（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，若长方形中边、的长度分别为m、n．设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为．当时，的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图所示，图①中阴影部分面积为
∴，且，，，
∴；
如图所示，图②中阴影部分面积为
∴，且，，，
∴，
∴，
当时，，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，请将答案填在答题卡的答案栏内）
11. 计算： ____．
【答案】
【解析】，
故答案为：
12. 已知一个正方形的边长是，则它的面积是______（用科学记数法表示）．
【答案】
【解析】，
故答案为：
13. 请写出一个解是3，另一个解是的二元一次方程______
【答案】（答案不唯一）
【解析】根据题意得：．
故答案为：（答案不唯一）．
14. 已知关于的方程，当______时，此方程为二元一次方程．
【答案】
【解析】∵方程为二元一次方程，
∴，且，，
∴，
故答案为：．
15. 已知实数，满足，，则______
【答案】26
【解析】∵，，
∴．
故答案为：26．
16. 已知二元一次方程与二元一次方程有相同的解，则______
【答案】3
【解析】关于，的二元一次方程与二元一次方程有相同的解，
联立方程组，
解得，
将代入中，
即，
故答案为：3．
17. 用完全平方公式计算______
【答案】
【解析】，
故答案为：
18. 观察下列各式及其展开式：
；
；
；
；
请你猜想的展开式中含项的系数是______
【答案】28
【解析】由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
故含项的系数为：．
故答案为：28．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：
（1）；
（2）.
解：（1）原式；
（2）原式
．
20. 因式分解：
（1）
（2）
解：（1）原式
（2）原式
21. 解下列方程组：
（1）
（2）
解：（1）
把①代入②，得
解得
把代入①， 解得
因此原方程组的解是；
（2）
得 ③
得 ④
得
解得
把代入①，解得
因此原方程组的解是
22. 先化简，再求值：，其中．
解：原式
当时，
原式．
23. 有甲、乙两个长方形纸片，边长如图所示，面积分别记为和．
（1）①计算：______；______；
②用“”，“”或“”填空：______．
（2）若一个正方形纸片的周长与甲长方形的周长相等，面积为．
①该正方形的边长是______（用含的代数式表示）；
②小方同学发现：与的差与无关，请判断小方的发现是否正确，并通过计算说明你的理由．
解：（1）① ，
故答案为：，；
，
，
，
故答案为：；
（2），
，
② 正确 .
理由如下：
∵
∴
∵与的差是4
∴ 与的差与m无关，小方的发现正确．
24. 李强总理代表国务院在第十四届全国人大二次会议上作《政府工作报告》，报告中指出要“加强生态文明建设，推进绿色低碳发展”．新能源汽车作为一种新兴的低碳出行方式，受到越来越多的人们青睐．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解2辆型新能源汽车和2辆型新能源汽车的进价共计70万元；3辆型新能源汽车和5辆型新能源汽车的进价共计145万元．
（1）求两种型号的新能源汽车每辆的进价分别是多少万元？
（2）若某公司计划正好用170万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请通过计算求出共有几种不同的购买方案．
解：（1）设A型号的新能源汽车每辆进价为x万元，B型号的新能源汽车每辆进价为y万元．

解得
答：A型号的汽车每辆进价为15万元，B型号的汽车每辆进价为20万元．
（2）设A型号的汽车购进a辆，B型号的汽车购进b辆．
则
即 ，
∵ 两种型号的新能源汽车均购买,
∴a、b 均为正整数．
或或
答: 共有3种不同的购买方案：
方案1：A型号的汽车购进2辆，B型号的汽车购进7辆；
方案2：A型号的汽车购进6辆，B型号的汽车购进4辆；
方案3：A型号的汽车购进10辆，B型号的汽车购进1辆．
25. 类比是数学中常用数学思想．比如，我们可以类比多位数的加、减、乘、除的竖式运算方法，得到多项式与多项式的加、减、乘、除的运算方法．例：
① ②

③ ④

理解应用：
（1）请仿照上面的竖式计算：；
（2）已知两个多项式的和为，其中一个多项式为，请用竖式的方法求出另一个多项式．
（3）已知一个长为，宽为的矩形，将它的长增加8，宽增加得到一个新矩形，且矩形的周长是矩形周长的3倍（如图），求矩形的面积．
解：（1）
；
（2）
另一个多项式是:；
（3） 矩形的周长是矩形周长的倍
解得：，
矩形的面积为：．
26. 若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，如对于四位数3674，因为，所以3674是“交替数”，对于四位数2353，因为，所以2353不是“交替数”．
（1）判断3986是否是“交替数”，并说明理由；
（2）最小的“交替数”是______，最大的“交替数”是______．
（3）若一个“交替数”满足千位数字与百位数字的平方差是21，且十位数字与个位数的和能被5整除．请求出所有满足条件的“交替数”．
解：（1）不是，理由如下：
∵，
∴ 3986不是“交替数”．
（2）最小的“交替数”是1001，最大的“交替数”是9999．
故答案为：1001，9999；
（3）设这个“交替数”为， k为正整数．
由题意得 ∶ ， ， ．
∵ ， 且，
∴ ， ，
解得(舍去)， ，
∵ ( k为正整数) ，
∴ 取1或2或3 ，
又∵ ， 即， 则，
① 当取1时， 即 ，
∴ ，解得，
∴ “交替数”是5214．
② 当取2时， 即 ，
∴ ，解得 (舍去) ，
③ 当取3时， 即 ，
∴ ，解得，
∴ “交替数”是5269．
综上所述，满足条件的“交替数”为5214或5269．