[数学]广东省中山市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份[数学]广东省中山市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在锐角三角形中，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在锐角三角形中，，由正弦定理得，
又，所以，且，故.
故选：A.
2. 已知复数z满足，则（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】根据题意，设，所以，
所以所以或所以复数或，所以．
故选：B．
3. 已知，且，的夹角为，则在上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】在上的投影向量是：
.
故选：A.
4. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（ ）
A. 8B. C. 16D.
【答案】C
【解析】还原直观图为原图形如图所示，
因为，所以，还原回原图形后，
，，所以，
所以原图形周长为．
故选：C.
5. 已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，则
【答案】D
【解析】若，，，则可能平行，可能相交，故A错误；
若，，则或或或与相交（不垂直），故B错误；
若，则或，故C错误；
因为，，所以，又，所以，故D正确.
故选：D.
6. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔（Flrence Nightingale1820－1910）设计的，图中每个扇形圆心角都相等，半径长短表示数量大小.某机构统计了近些年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图如下，根据此图，下列说法错误的是（ ）
A 2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加
B. 2017年至2018年，知识付费用户数量增加量为近些年来最多
C. 2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍
D. 2016年至2022年，知识付费用户数量的年增加量逐年递增
【答案】D
【解析】对于A，由图可知，2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加，故A正确；
对于BD，知识付费用户数量的逐年增加量分别为：2016年，；
2017年，；2018年，；2019年，；
2020年，；2021年，；2022年，，
可知知识付费用户数量逐年增加量2018年最多，故B正确，D错误；
对于C，由，即2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍，故C正确.
故选：D.
7. 把函数的图象向左平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，
将其图像向左平移个单位长度后得到函数的图象，
则其对称轴为即，
所以，则，
因为，所以的最小值为.
故选：C.
8. 古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧，若在B，C处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC=100，则该球体建筑物的高度约为（ ）（cs10°≈0.985）
A. 45.25B. 50.76C. 56.74D. 58.60
【答案】B
【解析】设球的半径为R，
，，.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，．则b可以为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】AB
【解析】在△ABC中，，，
由正弦定理可得，即，所以，
因为，所以，所以b可以为7，8.
故选：AB.
10. 以下化简结果正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ACD
【解析】对于A中，由两角和与差的正弦公式，可得
，所以A正确；
对于B中，由，所以B错误；
对于C中，因为，
可得，
所以
，所以C正确；
对于D中，由余弦的倍角公式，可得，
所以D正确.
故选：ACD.
11. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件 “第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为奇数”，“两次点数之和为9”，则下列说法正确的有（ ）
A. 与不互斥且相互独立B. 与互斥且不相互独立
C. 与互斥且不相互独立D. 与不互斥且相互独立
【答案】ABD
【解析】对于A：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次与第二次的结果互不影响，
即与相互独立；
第一次出现2点，第二次的点数小于5点可以同时发生，与不互斥；故A正确；
对于B：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果会影响两次点数之和，
即与不相互独立；
第一次出现2点，则两次点数之和最大为8，即与不能同时发生，即与互斥，
故B正确；
对于C：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第二次的结果会影响两次点数之和，
即与不相互独立；
若第一次的点数为5，第二次的点数4点，则两次点数之和为9，即与可以同时发生，
即与不互斥，故C错误；
对于D：连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次的结果不会影响两次点数之和的奇偶，
即与相互独立；
若第一次的点数为2，第二次的点数3点，则两次点数之和为5是奇数，
即与可以同时发生，即与不互斥，故D正确.
故选：ABD.
12. 如图，在正方体中，分别为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 平面
C. 与所成的角的余弦值为D. 点到平面的距离为
【答案】AD
【解析】A选项：取中点为，则易得：，故与，
，可得平面，又平面，故，A正确；
B选项：若平面，则平面或在平面内，显然不成立，
B错误；
C选项：取中点为，则即为所求角，，
故，D错误；
D选项：三棱锥中，，
等边三角形的外接圆半径为，
所以到平面的距离为，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 某校从高一男生中随机抽取了一个容量为20的身高样本，将得到的数据（单位：cm）从小到大排序：152，155，158，164，164，165，165，165，166，167，168，168，169，x，172，172，173，173，174，175．若该样本数据的第70百分位数是171，则x的值为______．
【答案】170
【解析】因为，所以第70百分位数为第14个数和第15个数的平均数，
因为该样本数据的第70百分位数是171，所以，解得.
故答案为：170.
14. 如图，在△ABC中，，，，M是BC边上的中点，P是AM上一点，且满足，则__________.
【答案】
【解析】由图可得三点共线，又，
则.注意到，
则
.
故答案为：.
15. 某班同学的体重状况调查中，已知30名男生的平均体重为60kg，方差为50，20名女生的平均体重为50kg，方差为60，那么该班50名同学的平均体重为__________kg，方差为__________.
【答案】56 78
【解析】该班50名同学的平均体重为；
由总体样本方差公式可得该班50名同学的方差为.
故答案为：56 78.
16. 为了研究问题方便，有时将余弦定理写成：，利用这个结构解决如下问题：若三个正实数，满足，，，则_______.
【答案】
【解析】设的角、、的对边分别为、、，
在内取点，使得，
设，，，
由余弦定理得，，
，∴，
，∴，
则，
则，所以，
由，
得，
即，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知向量，满足，，．求：
（1）；
（2）与的夹角．
解：（1）由，得，
故，代入，，得，
由，得.
（2）由，
由于，
故与的夹角为.
18. 已知锐角三角形中，，.
（1）求证：；
（2）求的值.
解：（1）证明：，，
，
所以.
（2），，，
即，将代入，得，
解得，舍去负值，得.
19. 在某次乒乓球团体选拔赛中，甲乙两队进行比赛，采取五局三胜制（即先胜三局的团队获得比赛的胜利），假设在每局比赛中，甲队获胜的概率为0.6，乙队获胜的概率为0.4，各局比赛相互独立.
（1）求这场选拔赛三局结束的概率；
（2）若第一局比赛乙队获胜，求比赛进入第五局的概率.
解：（1）设“第i局甲胜”为事件，“第j局乙胜”为事件（i，，2，3，4，5），
记“三局结束比赛”，则，
所以
.
（2）记“决胜局进入第五局比赛”，则，
所以
.
20. 古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，即利用三角形的三边长求三角形面积.若三角形的三边分别为a，b，c，则其面积，其中.
（1）证明：海伦公式；
（2）若，，求此三角形面积的最大值.
解：（1）
，其中，得证.
（2）因为，，所以，
所以
，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以得最大值为，
此时，，，满足，符合题意.
21. 已知满足．
（1）试问：角是否可能为直角？请说明理由；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围．
解：（1）假设角为直角，则，所以，
因为，所以，
所以，所以，
显然，所以矛盾，故假设不成立，所以角不可能为直角．
（2）因为，
所以，
由正弦定理，得，
由余弦定理化简，得，
因为为锐角三角形，
所以
令，则有，
所以的取值范围为．
22. 如图1，在平行四边形ABCD中，，，，E是边BC上的点，且．连结AE，并以AE为折痕将△ABE折起，使点B到达点P的位置，得到四棱锥，如图2．
（1）设平面PEC与平面PAD的交线为l，证明：AD∥l；
（2）在图2中，已知．
①证明：平面PAE⊥平面AECD；
②求以P，A，D，E为顶点的四面体外接球的表面积．
解：（1）由题设，，而面，面，
所以面，
又面，面，平面PEC与平面PAD的交线为l，面，
所以且，综上.
（2）①若为中点，连接，
由题设，，，则，，
所以，故，
又，平行四边形ABCD中，可得，
在△中，，，故，
在△中，，，即，
所以，又为中点，故，
在△中，，，则，
所以，
由，面，故面，
又面，则面面.
②由①知：△为直角三角形，则外接圆圆心为，故外接圆半径为，
又面，则以P，A，D，E为顶点的四面体外接球球心在直线上，
若外接球半径为，则，可得，
所以外接球的表面积为.