[数学]重庆市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份[数学]重庆市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 一组数据从小到大排列为1，2，3，3，4，5，7，9，13，15，估计该组数据的第75百分位数为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 11
【答案】C
【解析】依题意，，所以第8个数据为该组数据的第75百分位数为9.
故选：C.
2. 复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，则该复数的虚部为.
故选：B.
3. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题，
又，则.
故选：C.
4. 在中，，若存在两个满足条件，则的长可以为（ ）
A. 2B. C. 3D. 4
【答案】C
【解析】如下图所示：
过点作，因为，
可求得 则时，存在两个，
故又所以正确.
故选：
5. 今年月日是第个“世界读书日”，某中学高二数学统计小组发起了一项关于阅读的调查，通过各班小组成员在本班（共四个班级）收集的有效问卷数（份）如下：、、、，其中关于“每人每天电子阅读时长”（单位：分钟）的各班平均数依次为：、、、，则据此估计该中学高二学生平均每人每天电子阅读时长为（ ）
A. 分钟B. 分钟C. 分钟D. 分钟
【答案】C
【解析】由题意可知，该中学高二学生平均每人每天电子阅读时长为：
分钟.
故选：C.
6. 在一个不透明的袋中有4个红球和个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少有一个红球的概率为，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由题可得取出的球中没有红球的概率，即两次都摸出黑球的概率为，
则.
故选：B.
7. 已知圆锥的顶点和底面圆都在球的球面上，圆锥底面半径为，侧面展开是一个半圆，则球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意圆锥底面半径，设圆锥的高为，母线为，
圆锥的外接球的半径为，
则，即，解得，所以，
所以，即，解得，
所以圆锥的外接球球的表面积.
故选：D.
8. 如图，一个棱长为4的正方体封闭容器中，在棱的中点和顶点处各有一个小洞，则该容器最多能盛水（ ）
A. 36B. 48C. D.
【答案】C
【解析】如下图：
设为中点，为中点，，，
则容器最多能盛水的体积为正方体在截面下方的部分，
截面上方为棱台，
可知可得为得中点，又所以，
棱台体积
所求体积为．
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 平行向量不是共线向量
B. 若两个非零向量夹角锐角，则
C. 向量与共线的充要条件是存在唯一实数使得
D. 向量在非零向量上投影向量的长度为
【答案】BD
【解析】根据平行向量与共线向量的定义，平行向量就是共线向量，A错；
若两个非零向量夹角为锐角，则，B正确；
若，满足向量与共线，但不存实数使得，C错；
两个非零向量夹角，则，
则向量在非零向量上投影向量为，
其长度为，D正确.
故选：BD.
10. 某工厂加工一批零件，为了检测加工质量，工厂随机抽取了10个零件进行尺寸的误差检测，若这10个零件中的每个零件的误差都不超过2，则认为该批零件合格．若已知这10个零件的误差统计数据如下，则一定可以判断这批零件合格的是（ ）
A. 中位数为0.4，极差为1.5B. 平均数为1，众数为0.5
C. 平均数为1，方差为1.2D. 平均数为1，方差为0.01
【答案】AD
【解析】对于A，因为这批零件尺寸的误差值中位数为0.4，极差为1.5，
所以10个零件的尺寸的误差值的最大值小于等于，故A正确；
对于B，因为这批零件尺寸的误差平均数为1，众数为0.5，
设这批零件尺寸误差为，因为，故B不正确；
对于C，D，因为这批零件尺寸的误差平均数为1，
若出现一次大于，即，
所以
，故C不正确，D正确.
故选：AD.
11. 已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列说法一定正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
【答案】AD
【解析】对于A：若，，由面面平行的性质定理可知，故A正确；
对于B：若，，则或或或与相交（不垂直），故B错误；
对于C：若，，则或，故C错误；
对于D：若，则存在直线，使得，又，，所以，
所以，故D正确.
故选：AD.
12. 如图，，线段与交于点，记，则（ ）
A. B.
C D.
【答案】AD
【解析】，
设，，，
∵，∴，同理，，，
，联立解得.
故选：AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若是方程（其中）的一个根，则________．
【答案】7
【解析】将代入，因，
则.
则.
故答案为：7.
14. 已知事件相互独立，且，则________．
【答案】
【解析】因为事件相互独立，所以也相互独立，且，
，解得.
故答案为：.
15. 如图，有两条直线和相交，交点为，甲、乙两人同时从点分别沿方向出发，速度分别为后，两人相距__________．
【答案】
【解析】因为点分别沿方向出发速度分别为后可得：
，
在中应用余弦定理得，
，
所以两人相距.
故答案为: .
16. 在四面体中，平面于点，点到平面的距离为，点为的重心，二面角的大小为，则__________．
【答案】
【解析】设，连结，因为平面，平面，
所以，又，，平面，平面，
所以平面，又平面，故，
所以是二面角的平面角，所以，又，
所以为中点，又点为的重心，故在上，过作于，
由到平面的距离为，可得，于是，，，
在中，由余弦定理可得，，
所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （1）计算：；
（2）若复数在复平面对应的点位于第四象限，求实数的取值范围．
解：（1）原式.
（2）由题.
18. 设是直线，是平面，且．
（1）若，求证：；
（2）若，求证：．
解：（1）∵，∴，
又，，∴.
（2）∵，∴，又，∴，
∵，∴，∴.
19. 某校对高一年级名学生的身高进行了统计，发现这名学生的身高介于（单位：），现将数据分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．
已知第五组的频率与第三组的频率相同，第三组的频率是第二组频率的倍，第二组频率是第一组频率的倍．
（1）求第一组学生的人数，并估计这名学生身高（单位：）的中位数（保留位小数）；
（2）若采用分层抽样的方法从前两组中抽取位同学参加某项课外活动，在这位同学中随机选出人作为队长，求这两人来自于同一组的概率．
解：（1）由频率分布直方图可知第四组的频率为，
设第一组的频率为，由题可知，解得，
∴第一组的人数为人，
前三组的频率之和为，，
估计中位数为.
（2）第二组频率是第一组频率的倍，所以第一组抽取人，记为，
第二组抽取人，记为，
从人中随机抽取人的样本点有
，
，共个，且每个样本点等可能发生，
其中两人来自于同一组的样本点有，共个，
故所求概率为.
20. 在中，角的对边为．
（1）求；
（2）设为边上的高，为的平分线，与交于点，求的面积．
解：（1）由正弦定理，
由余弦定理.
（2）∵为锐角，∴，
因为，∴，
∴，
由（1）为等腰直角三角形，
.
21. 如图，在平行四边形中，为的中点，记．
（1）用表示；
（2）若，求．
解：（1）设，则，
，
联立两式解得，
所以.
（2），
由，
代入上式，
由得，
即，∴，即.
22. 在长方体中，分别为棱的中点，．
（1）过作平面平面交直线于点，求；
（2）求四面体的体积．
解：（1）如图，取的中点为，连接，取的中点为，
连接并延长交直线于，
过在平面作的平行线，交的延长线于，
连接，由长方体的性质可得，
而，故，
故四边形为平行四边形，所以，
因为，故，故，
而平面，平面，故平面，
同理平面，
而平面，故平面平面，
又平面，故平面即为平面，故重合，
因为，故四边形为平行四边形，
故.
（2）∵为中点，
，
而，
故.
由（1）知：.