[数学]河北省邯郸市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份[数学]河北省邯郸市2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，复数z的故虚部为.
故选：A.
2. 已知两条不同的直线，与两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则
B 若且，则
C. 若，，则直线与是异面直线
D. 若，，，则直线与是异面直线
【答案】B
【解析】若，，则与平行或异面，A错；
若且，则内有垂直于的直线，故，B正确；
若，，则直线与是相交，平行或异面直线，C错；
若，，，则直线与平行或异面，D错.
故选：B.
3. 已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，，
所以，
在上的投影向量为.
故选：C.
4. 为了解不同年级男、女学生对食堂饭菜的满意程度，某中学采用按比例分配的分层随机抽样的方法从高一、高二、高三年级的所有学生中抽取样本进行调查.该中学高一、高二、高三年级学生的比例与高一男、女生人数如图所示，若抽取的样本中有高一男生140人，则样本容量为（ ）
A. 500B. 600C. 700D. 800
【答案】C
【解析】由柱状图可知，高一男生500人，女生400人，总共900人，
若抽取的样本中有高一男生140人，则抽取的高一总人数为人，
又因为高一占总人数比例为36%，则抽取的总人数为人，
即样本容量为700.
故选：C.
5. “黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象.根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为.假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为，
且每天是否下雨互不影响，
所以该地区黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为：
.
故选：A.
6. 在中，，，点M，N分别为边AB，AC上的动点，且，点D为斜边BC的中点，则的最小值为（ ）
A. 0B. 4C. D.
【答案】D
【解析】以所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系，
则，设，
因为，则，且，故，
所以，
令，则，
则，
因为，所以，，
故，
所以的最小值为，当且仅当时取得.
故选：D.
7. 武灵丛台位于邯郸市丛台公园中心处，为园内的主体建筑，是邯郸古城的象征.某校数学兴趣小组为了测量其高度，在地面上共线的三点，，处分别测得点的仰角为，，，且，则武灵丛台的高度约为（ ）
（参考数据：）
A. 22mB. 27mC. 30mD. 33m
【答案】B
【解析】由题知，设，
则，，，
又，
所以在中，，①
在中，，②
联立①②，解得.
故选：B.
8. 如图，有质地均匀的正四面体、正六面体和正八面体骰子各一个.首先抛掷正六面体骰子，向上的点数记为.若为奇数，则再抛掷正四面体骰子；若为偶数，则再抛掷正八面体骰子，记第二次向下的点数为.设事件；事件；事件；事件；事件，则下列说法错误的是（ ）
A. 与为互斥事件B. 与相互独立
C. 与为互斥事件D. 与相互独立
【答案】D
【解析】与不可能同时发生，为互斥事件，A选项正确；
B选项，
，
所以
，所以与相互独立，B选项正确；
与不能同时发生，为互斥事件，C选项正确；
D选项，
，
所以，
所以与不是相互独立事件，D选项错误.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下图为2022年2月至2023年2月建筑业和服务业的商务活动指数，该指数等于反映该行业经济与上月比较无变化，大于反映该行业经济比上月总体上升，小于反映该行业经济比上月总体下降，则下列说法正确的是（ ）
A. 2022年9月至12月服务业经济持续下降
B. 2022年9月至12月建筑业经济持续下降
C. 2022年5月建筑业经济上升幅度最小
D. 2023年2月服务业经济上升幅度最大
【答案】ACD
【解析】A选项，根据服务业商务活动指数图象可知，
2022年9月至12月服务业经济持续下降，所以A选项正确；
B选项，根据建筑业商务活动指数图象可知，
2022年9月至12月服务业经济持续上升，所以B选项错误；
C选项，根据建筑业商务活动指数图象可知，
2022年5月建筑业经济上升幅度最小，所以C选项正确；
D选项，根据服务业商务活动指数图象可知，
2023年2月服务业经济上升幅度最大，所以D选项正确.
故选：ACD.
10. 对于非零复数，，下列结论正确的是（ ）
A. 若和互为共轭复数，则为实数
B. 若为纯虚数，则
C. 若，则
D. 若，则的最大值为
【答案】AD
【解析】设且不同时为，
对于A，若和互为共轭复数，则，故为实数，故A正确；
对于B，若为纯虚数，则，，故B错误；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，设且不同时为，
则，
所以，
所以复数在复平面内对应的点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
表示圆上的点到原点的距离，
原点到圆心的距离为，
所以点到原点的距离的最大值为，
即的最大值为，故D正确.
故选：AD.
11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则有两组解
B. 若，则有两组解
C. 若为锐角三角形，则
D. 若为等腰三角形，则或
【答案】BC
【解析】A选项，∵，∴有一解，故A错误；
B选项，∵，∴有两解，故B正确；
C选项，∵为锐角三角形，∴，即，故C正确；
D选项，∵为等腰三角形，则或或，
当，则故得；
当，则故，得，
综上，或或，故D错误.
故选：BC.
12. 在棱长为4的正方体中，动点在正方形（包括边界）内运动，且满足平面，则下列结论正确的是（ ）
A. 线段长度的最小值为
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角正弦值的取值范围为
D. 若动点在线段上，则线段长度的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于，如下图所示，
连接，
易得平面，所以平面，
同理，平面，又所以平面平面，
又平面平面，故可知动点在线段上，
则时，线段长度的最小，此时是的中点，易求
所以正确；
对于，平面，故点到平面的距离为定值，
又的面积也为定值，则为定值，即三棱锥的体积为定值，
所以正确；
对于因为直线与所成角即为异面直线与所成角，
又为等边三角形，当位于的中点时，，
即直线与所成角为，其正弦值为故错误；
对于，由题意，异面直线与之间的距离，即为线段长度的最小值，
连接平面，
故平面，则异面直线与之间的距离，
即为到平面距离，即点到平面的距离，设为
又 即
即则正确.
故选：
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则_________.
【答案】
【解析】由三角形内角和定理，可得，
由正弦定理，可得，解得.
故答案为：.
14. 已知非零向量满足，且，则与的夹角为_________.
【答案】
【解析】因为，所以，
又，所以，所以，
因为，所以.
故答案为：.
15. 已知某圆台的高为4，母线长为5，侧面积为，则该圆台的体积为_________.
【答案】
【解析】设圆台上下底面圆的半径分别为，
则母线，高，构成一个直角三角形，母线为斜边，高为直角边，
由勾股定理得到，即，
圆台的侧面积公式，
所以，，
所以圆台的体积为：.
故答案为：.
16. 在中，，为的中点，，沿将折起.当时，三棱锥的外接球半径为_________；当，且时，过点作三棱锥外接球的截面，则截面圆的面积的最小值为_________.
【答案】
【解析】在中，因为，所以，故，
因为为的中点，，，则为等边三角形，
如图，设为的中点，为外接圆的圆心，
为三棱锥的外接球的球心，
则在线段上，且，且平面，
由题意得，
又平面，所以平面，故，
设三棱锥的外接球的半径为，则，
即三棱锥的外接球半径为，
当，则，所以，
所以为等腰直角三角形，则外接圆的圆心为的中点，
设为点，则，
设为三棱锥的外接球的球心，
则平面，故，，
则三棱锥外接球的半径为，
由，得，
在中，由余弦定理得，
因为平面，平面，所以，
则，
当点为截面圆的圆心时，截面圆的半径最小，
此时截面圆的半径，
所以截面圆面积的最小值为.
故答案为： .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 为了推进共同富裕，国家选择在某省建设共同富裕示范区，为全国推动共同富裕提供范例.为了了解共同富裕示范区的建设成果，某统计机构调查了该省某示范区100位居民2022年整年的可支配收入，整理后得到如下频率分布直方图.
（1）根据频率分布直方图估计这100位居民可支配收入的众数和分位数；
（2）居民人均可支配收入的中位数和平均数的比值是衡量收入分配的指标之一，比值越大收入分配越公平.已知2022年全国居民的人均可支配收入为36883元，人均可支配收入的中位数是平均数的.请根据频率分布直方图说明该示范区是否起到了示范的作用（利用平均数，中位数和平均数的比值进行说明）.
解：（1）由频率分布直方图可得，人数最多的为，所以众数为，
的人数占比为，的人数占比为，
的人数占比为，
所以该示范区100位居民可支配收入的分位数落在区间内，
设该示范区100位居民可支配收入的分位数为，则，
解得，
故该示范区100位居民可支配收入的分位数为9.
（2）该示范区居民可支配收入的平均数为
（万元元，
设该示范区100位居民可支配收入的中位数为，
则，解得（万元），
，所以该示范区起到了示范作用.
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正切值.
解：（1）连接交于点，连接，
由于底面为正方形，故点O为中点，
在中，分别为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
（2）取的中点，连接，由可得，所以，
因为底面，底面，故，
因为，平面，
所以平面，平面，所以，
又因为平面，所以平面，
因此，即为与平面所成角，
设，则，，
所以，
所以与平面所成角的正切值为.
19. 在中，.
（1）若，用表示；
（2），线段交于点，且，求的值.
解：（1）如图所示，因为，，
所以，所以，
因为，所以.
（2）如图所示，
因为C，G，D三点共线，所以，
因为E，G，B三点共线，所以，
所以解得所以，，所以.
20. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求的值；
（2）若，角的平分线与交于点，，求的面积.
解：（1）因为，所以，
由正弦定理得，所以，
由正弦定理得.
（2）设，
因为，，
所以，，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
将，代入，
得，即，
又因为，所以，
，得，
代入上式得，，，
所以，
因为，所以，
所以.
21. 五行，指金、木、水、火、土五个元素.五行学说用五行之间的生、克关系来阐释事物之间的相互关系，是中国文化的重要组成部分，五行之间相生相克的关系如图所示.现有一个不透明的盒子，盒子中有5个完全相同的小球，5个小球上分别标有“金、木、水、火、土”5个字，代表5个元素.现在甲、乙两人各从盒子中随机抽取一个球：
①若甲抽到的元素克乙抽取的元素，则甲分； ②若甲抽到的元素生乙抽取的元素，则甲分；③若甲抽到的元素被乙抽取的元素克，则甲分；④若甲抽到的元素被乙抽取的元素生，则甲分；⑤若甲抽到的元素与乙抽取的元素相同，则甲不计分.现有两个游戏方案可供甲选择：方案一，乙先从盒子中随机抽取一个元素后放回，然后甲再从盒子中随机抽取一个元素；方案二，乙先从盒子中随机抽取一个元素不放回，然后甲再从盒子中随机抽取一个元素.每次积完分后把所有小球放回盒子再进行下次游戏.
（1）若按方案一进行两次游戏，求两次游戏后甲的积分之和为1分的概率；
（2）现在要从方案一或方案二中选一个方案进行两次游戏，若两次游戏后甲的积分之和超过1分，则甲获得胜利.为了尽可能获胜，甲应该选择哪个方案，请说明理由.
解：（1）按方案一进行第一次游戏，记甲的积分为，
分析可知且出现的概率相同，均为；
按方案一进行第二次游戏，记甲的积分为，
分析可知且出现的概率相同，均为；
样本空间，
每个样本点出现的概率相等，均为，
设按方案一进行两次游戏后甲的积分之和为1分为事件，
则，所以.
（2）设两次游戏甲的积分分别为m，n，两次游戏后甲的积分和超过1分记为事件，
若按方案一进行两次游戏，由（1）知，，
所以，
若按方案二进行两次游戏，则样本空间，
每个样本点出现的概率相等，均为，
则，所以，
因为，所以甲应该选择方案二.
22. 在正三棱锥中，，点在线段上.过点作平行于和的平面，分别交棱于点M，N，O.
（1）证明：四边形为矩形；
（2）若，求多面体MNPOBC的体积.
解：（1）因为//平面，平面，平面平面，
所以，
同理可得：，所以，
因为平面，平面，平面平面，
所以，
同理可得：，所以，
故四边形为平行四边形，
取的中点，连接，
因为，，则，，
而，平面，
可得平面，
且平面，所以，
又因为，，则，
所以四边形为矩形.
（2）由题意可知该三棱锥的所有棱长均为3，
过点作平面，垂足为，
可得，则，
即点到平面的距离为，
连接，此多面体由四棱锥和三棱锥两部分组成，
因为，所以点到平面距离为，
可得，
故，
，
根据正四面体的对称性可知：点到平面的距离为，
且，所以点到平面的距离为，
故，
所以多面体的体积为.