[数学]广东省广州市天河区2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份[数学]广东省广州市天河区2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】因为，所以复数在复平面内对应的点为，
位于第二象限.
故选：B.
2. 一个单位有职工800人，其中具有高级职称的120人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其他人员160人.为了解职工收入情况，决定按等比例分层随机抽样的方法，从中抽取容量为40的样本.则高级职称应抽取（ ）
A. 9人B. 8人C. 7人D. 6人
【答案】D
【解析】由题意抽样比为，高级职称的120人，应抽人数为.
故选：D.
3. 已知，则的值为（ ）
A. B. C. －3D. 3
【答案】A
【解析】，
.
故选：A.
4. 甲、乙两人独立地破译一份密码，密码被成功破译的概率为，已知甲单独破译密码的概率为，则乙单独破译密码的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，设乙单独破译密码的概率为，
因为密码被译出对立事件是两个人同时不能译出密码，
所以，则.
故选：A.
5. 海洋洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】如图，在中，，，
，所以，
由正弦定理得，解得，
在中，，，
，
所以，故，
所以在中，由余弦定理得
，
则，即A，B两点间的距离为．
故选：D.
6. 以下说法错误的是（ ）
A. 已知平面，，满足，，则
B. 已知直线a、l，平面，满足，，，则
C. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，则这两个角相等
D. 用一个平面去截一个正方体，截面图形有可能是等边三角形，不可能是直角三角形
【答案】C
【解析】对于选项A：，，根据空间中面面位置关系可得，故A正确；
对于选项B：，，，根据线面平行的性质可得：，故B正确；
对于选项C：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，根据等角定理可知：
这两个角相等或互补，故C错误；
对于选项D：如图，在正方体中，
对于截面，可知，即为等边三角形，
所以截面图形有可能是等边三角形；
如图，根据正方体的对称性，任取一个三角形截面，
设，不妨设，
可得，
则为最大边，即为最大角，
可得，
且，则为锐角，即为锐角三角形，
截面图形不可能是直角三角形，故D正确.
故选：C.
7. 为了解学生的课外阅读情况，某校对高中生进行平均每周课外阅读时间（单位：小时）的调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样.如果不知道样本数据，只知道抽取了男生40人，其平均数和方差分别为5和1.65，抽取了女生60人，其平均数和方差分别为4和3.5，则估计该校学生平均每周课外阅读时间的总体方差为（ ）
A. 2.58B. 2.76C. 3D. 3.2
【答案】C
【解析】因为抽取了男生40人，其平均数和方差分别为和，
抽取了女生60人，其平均数和方差分别为和，
设抽取的总样本的平均数为和方差为，
则，
，
所以估计该校学生平均每周课外阅读时间的总体方差为.
故选：C.
8. 已知中，，，，O为的外心，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意可知，为的外心，
设半径为r，在圆O中，过O作，垂足分别为，
因为 ，两边乘以，即，
的夹角为，而，
则 ，得①，
同理两边乘 ，即，，
则 得②，
①②联立解得，，所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 已知复数，则（ ）
A. z的虚部是B.
C. D. z是方程的一个根
【答案】BCD
【解析】因为，
则z的虚部是，故A错误；
则，故B正确；
因为，
所以，故C正确；
因为，即，解得，
所以方程的复数根为，即z是方程的一个根，
故D正确.
故选：BCD.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 在一次试验中，随机事件A，B满足，则
B. 在一次试验中，随机事件A，B满足，则事件A，B互为对立事件
C. 已知一组数据8，5，7，6，6，9，10，8，7，9，则该组数据第70百分位数为8.5
D. 已知一组数据8，5，7，6，6，9，10，8，7，9，去掉这组数据的众数后，所得的一组新数据的极差与原来的相同
【答案】ACD
【解析】对A，根据，则，则，故A正确；
对B，对立事件的前提是事件A，B为互斥事件，但本选项事件A，B可以不是互斥事件，
如：设A为“抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为1，2”，
为“抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为”，
则，，，满足，
但此时，不互斥，则其不是互为对立事件，故B错误；
对C，首先将数据由小到大排序为5，6，6，7，7，8，8，9，9，10，，
则该组数据第70百分位数为，故C正确；
对D，众数为6，7，8，9，去完后，最小值依旧为5，最大值为10，则极差不变，
故D正确.
故选：ACD.
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若非零向量，满足，则
B. 若非零向量，满足，则
C. 已知P是△所在平面内一点，若，则点P是△的内心
D. 已知向量，，则在上的投影向量是
【答案】ABD
【解析】选项，将两边同时平方，
设非零向量，的夹角为，则，
∵向量，为非零向量，∴，，∴，
又∵，∴，∴，则正确；
选项，将两边同时平方，
即，则，则正确；
选项，点是△所在平面内一点，满足，
则点P是△的重心，则错误；
选项，设向量和的夹角的余弦值为，
在上的投影向量是，则正确.
故选：.
12. 如图，在边长为2的正方形中，E、F分别是、的中点.若沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使、、三点重合，重合后的点记为G，则（ ）
A. B. 点G到平面SEF的距离为
C. 三棱锥的外接球表面积为D. 二面角等于
【答案】AC
【解析】由题意可得：，
对于选项A：因为平面，
可得平面，且平面，所以，故A正确；
对于选项B：在中，可得，
则边上的高为，
设点G到平面SEF的距离为，
利用等体积可得：，解得，
所以点G到平面SEF的距离为，故B错误；
对于选项C：三棱锥转化为长方体，
则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，
所以外接球的半径，
可得外接球表面积为，故C正确；
对于选项D：因为，
所以二面角的平面角为，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中第16题第一空2分，第二空3分，共20分.
13. 已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，则实数m的值为______.
【答案】1
【解析】由题意得，解得.
故答案为：1.
14. 已知，是夹角为的两个单位向量，若与，则的值为______.
【答案】
【解析】由题意可知：，
所以.
故答案为：.
15. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称，则______.
【答案】
【解析】若平移所得图象关于y轴对称，
即将位于y轴左侧对称轴平移至y轴，
令，解得，
即，
且，则.
故答案为：.
16. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.如下图的印信，可以看成是将一个棱长等于2cm的正方体截去8个一样的四面体之后得到的，则该印信的所有棱长之和等于______cm，该印信的表面积等于______.
【答案】
【解析】一个棱数为24的印信有12个顶点，14个面；
正方体截去8个一样的四面体之后得到的印信，故其顶点是正方体各棱的中点，
印信的棱长为，则该印信的所有棱长之和等于；
印信是十四面体，共有14个面，8个正三角形6个正方形，
则表面积为.
故答案为: .
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在一个盒子中有5个大小质地完全相同的球，其中蓝球、红球各2个，黄球1个，从中随机摸出2个球.
（1）若采用有放回简单随机抽样，求恰好摸到一个红球的概率；
（2）若采用无放回简单随机抽样，求取出的球颜色相同的概率.
解：（1）记2个蓝球分别为，2个红球分别为，黄球为，
若采用有放回简单随机抽样，共有25个基本事件，恰好摸到一个红球的有12个基本事件，
所以恰好摸到一个红球的概率.
（2）若采用无放回简单随机抽样，
则有，共10个基本事件，
取出的球颜色相同的有，共2个基本事件，
所以取出的球颜色相同的概率.
18. 某电子商务公司对10000名网络购物者2023年第一季度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示.
（1）求频率直方图中a的值，并估计这些网络购物者第一季度消费金额的平均数；
（2）该电子商务公司决定对消费金额高的前18%的消费者进行奖励，若小明的消费金额是0.65万元，请你估算他会得到奖励吗？
解：（1）由题中条件可得
又，
所以频率直方图中的值为这些网络购物者第一季度消费金额的平均数约为万元.
（2）消费金额在区间得频率分别为，和为
设第82百分位数为
则所以，
，则小明得不到奖励.
19. 如图，在正三棱柱中，D是的中点，.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成的角的正弦值.
解：（1）设，连接，
因为为平行四边形，则为的中点，
又因为D是的中点，则//，
且平面，平面，所以平面.
（2）设为的中点，连接，
因为为等边三角形，则，
又因为平面，平面，则，
且，平面，所以平面，
可得与平面所成的角为，且，
所以与平面所成的角的正弦值.
20. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.
（1）求A；
（2）已知D是BC上的点，AD平分，若，的面积为，求AD的长.
解：（1）在中，由及正弦定理得：，
则，
即，
整理得：，而，，因此，又，
所以.
（2）设，则根据，
则有，
化简得，，结合，则，
则有，解得，即.
21. 如图，四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，且侧面面ABCD，O是AD的中点，.
（1）求证：平面平面POB；
（2）当时，在棱PC上是否存在一点M，使得三棱锥的体积为，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由.
解：（1），为中点，所以，
因为侧面面ABCD，且侧面面，平面，
所以面ABCD，因为面，所以，
因为底面ABCD是直角梯形，，，则，
因为，为中点，则，
则四边形为平行四边形，
又因为，，则四边形为正方形，
则，又因为，面，
所以面，又因为面，所以平面平面POB.
（2）假设在棱PC上是否存在一点M满足题意，
当时，则，因为为中点，则，
则，
则，
，，
设点到平面的距离为，点到平面的距离为，
则.
22. 如图，树人中学在即将投入使用的新校门旁修建了一条专门用于跑步的红色跑道，跑道由三部分组成：第一部分为曲线段，该曲线段可近似看作函数在区间上的图象，图象的最高点为；第二部分为线段；第三部分可近似看作是以O为圆心，以2为半径的扇形，其圆心角为.
（1）求曲线段的解析式；
（2）若新校门位于图中的B点，其离的距离为1.5千米，一学生准备从新校门笔直前往位于O点的立德楼，求该学生走过的路的长；
（3）若点P在劣弧上（不含端点），点M和点N分别在线段和线段上，，且轴.若梯形区域为学生的休息区域，记，设学生的休息区域的面积为，求的最大值及此时的值.
解：（1）由图形易知，，
又，则，又，所以，
又当时，有，即，
因为，所以，则，故，
所以曲线段的解析式为，.
（2）因为B点离的距离为1.5千米，则设，
所以，则，
因为，所以，所以，
故，
所以，即该学生走过的路BO的长为千米.
（3）依题意，，，
在中，，，，
则由正弦定理，可得，
故可得，
在中，，
故
，其中，
为锐角，
因为，所以，
显然当时，休息区域的面积取得最大值，
此时.2 1
a
b
c
d
e
a
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b
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c
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d
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