高中数学第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.1 正弦定理集体备课课件ppt

这是一份高中数学第九章 解三角形9.1 正弦定理与余弦定理9.1.1 正弦定理集体备课课件ppt，共26页。PPT课件主要包含了11正弦定理，学习目标，情境与问题，讲授新课，尝试与发现，bsinC，典例精析，总结归纳，两式相除即可得，探索与研究等内容，欢迎下载使用。

9.1正弦定理与余弦定理
1.通过对任意三角形边长和角度的关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形的内角和定理解决简单的解三角形问题.3.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.4.能根据条件,判断三角形解的个数.5.能利用正弦定理、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.
在现代生活中，得益于科技的发展，距离的测量能借助红外测距仪、激光测距仪等工具直接完成。 不过，在这些工具没有出现以前，你知道人们是怎样间接获得两点间距离的吗? 如图 9-1-1 所示，若想知道河对岸的一点 A 与岸边一点B之间的距离，而且已经测量出了 BC 的长，也想办法得到了 ∠ABC与∠ACB 的大小，你能借助这 3个量，求出AB 的长吗?
为了方便起见，本书中，将入△ABC 3 个内角 A，B，C 所对的边分别记为a，b，c. 在这样的约定下，情境中的问题可以转化为:已知 a，B，C，如何求 c?类似的问题可以通过构造直角三角形来解决，更一般地，可利用本小节我们要介绍的正弦定理来求解.
如图 9-1-2 所示，在ABC 中，过点 A 作 BC边上的高 AD，在Rt△ADC 中，由正弦的定义可知 AD=bsin C，因此所求三角形的面积为
可以看出，上述求三角形面积的方法在 C 为锐角时都成立;而当C 为钝角时，如图 9-1-3 所示，仍设△ABC 的 BC 边上的高为AD，则可知 AD=bsin∠ACD=bsin（ π-C ）=1 ，
因此仍有 ;当C为直角时，由sin 90°=1可知上述面积公式仍成立.
一般地，若记入△ABC 的面积为 S，则
由此可知 又因为sinA>0,sin B>0,sin C>0，因此可得
已知△ABC中,B=75°,C=60°,a =10，求c.
由已知可得A=180°-B-C=180°-75°-60°-45°.由正弦定理可知 所以
利用例 1的解法即可求解出前述情境中的问题。而且，例1也可通过构造直角三角形求解，请读者自行尝试，并总结两种解法各自的优缺点. 另外，由例1可知，在一个三角形中，如果已知两个角与一条边，就可以求出这个三角形的另外一个角，然后由正弦定理可求出该三角形其他的两条边.因此，确定了一个三角形的两个角与一条边之后，这个三角形就唯一确定了.事实上，这与我们初中所学的三角形全等的判定定理 AAS(或 ASA)一致。
习惯上，我们把三角形的 3 个角与 3 条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形.
因为 所以
由于0°此时△ABC 是直角三角形，且c 为斜边，从而有
当B=120°时，有 C=180°-A-B=180°-30°-120°=30°,此时入ABC 是等腰三角形，从而由等角对等边可知 c=a=2.
根据例2的解答可知，图 9-1-4 中的(1)(2)都满足例2的条件事实上，这与我们初中所学的 SSA 不能作为三角形全等的判定定理一致.
由 得
由于0°当C=45°时，A=180°-B-C=180°-120°-45°-15°,而所以三角形的面积为当C=135°时，A=180°-B-C=180°-120°-135°-75°.不合题意，应舍去.
判断满足条件A= 30°,a = 1,c =4的△ABC 是否存在，并说明理由.
假设满足条件的三角形存在，则由 可知又因为 sin C ≤ 1，所以这是不可能的，因此不存在这样的三角形.
在ABC 中，已知 sin²A+sin²B=sin²C，求证:△ABC 是直角三角形.
设 ，则k≠0，且又因为sin²A+sin²B=sin²C,所以即a²+b²=c²，因此由勾股定理的逆定理可知△ABC 是直角三角形.
如图 9-1-5 所示，在△ABC 中，已知∠BAC 的角平分线AD 与边 BC 相交于点 D，求证：
在正弦定理中，设 研究常数与△ABC 外接圆的半径的关系，(提示: 先考虑直角三角形.)
1.在△ ABC中，已知c=10，C=45°，B=60°，通过构造直角三角形求出的值.2.已知△ ABC中，A=60°，B=30°，a=3，求b.3.求证:在△ABC中,
4.为了方便起见，有时可对三角形的边和角作一些标记，以表示其中的相等关系.如图(1)中，AB与AC上的标记相同，这表示AB=AC，类似地，有 BC=CD，∠ABC= ∠ ACB， ∠ CBD= ∠ CDB，而且A=70°，BD=10.图(2)(3)(4)中使用了类似的标记，判断这些图中是否存在矛盾.如果有，请指出矛盾所在.
5.已知ABC中,A=45°，B=75，b=8，求a