高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系11.4.1 直线与平面垂直备课课件ppt

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.4 空间中的垂直关系11.4.1 直线与平面垂直备课课件ppt，共37页。PPT课件主要包含了学习目标，讲授新课，直线与直线所成角，尝试与发现，m∩n≠∅，典例精析，SO⊥AC，同理SO⊥BD，因此所求体积为，总结归纳等内容，欢迎下载使用。
11.4空间中的垂直关系
11.4.1　直线与平面垂直
1.理解异面直线所成角的含义,结合实例概括出直线与平面垂直的定义,了解直线与平面垂直的性质.2.理解线面垂直的判定定理,能运用文字语言、图形语言和符号语言对该定理加以表述,初步学习运用该定理判定或论证直线与平面垂直问题.3.理解线面垂直的有关性质,并能运用这些性质进行论证.4.了解点到平面的距离的定义.
初中几何中已经提到，两条直线相交，可以形成四个角，其中有些角是对顶角，有些角是邻补角，而且对顶角相等，邻补角互补.如图11-1-1中，直线与直线m相交形成的四个角中，∠1与∠3是对顶角，∠1与∠2是邻补角，因此
∠1=∠3，∠1+∠2=180°.
习惯上，两条相交直线所成角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小，例如，图11-4-1中，直线l与直线m所成角的大小，指的是∠1或∠3的大小.
从几何体等的学习中，我们已经知道:空间中的两条直线，有可能相交，也有可能不相交;当两条直线不相交时，它们要么平行，要么异面;不存在任何一个平面，能同时过两条异面直线，
如图 11-4-2所示正方体中，AB与B₁C₁异面，AB与B₁D₁也异面. (1)直观上，你认为这两种异面有什么区别? (2)如果要利用角的大小来区分这两种异面，你认为该怎样做?
一般地，如果a，b是空间中的两条异面直线，过空间中任意一点，分别作与a，b平行或重合的直线a´ ，b´ ，则a´ 与b´所成角的大小，称为异面直线a´ 与b´所成角的大小.
例如，图11-4-2中，AB与B₁C₁所成角的大小，等于AB与BC所成角的大小，即为1 ; AB与B₁D₁所成角的大小，等于A₁ B₁与B₁D₁，所成角的大小，即为2 .
为了方便起见，规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°，这样一来，空间中任意两条直线所成角的大小都是确定的.两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角，特别地，空间中两条直线l，m所成角的大小为90°时，称l与m垂直，记作l⊥m.
显然，若a//b且b⊥c，则一定有a⊥c.
2.直线与平面垂直及其判定定理
前面我们已经通过长方体等直观认识了直线与平面的垂直，知道直线l与平面a垂直，指的是直线l与平面a内过它们公共点的所有直线都垂直，
由空间中两条直线相互重直的定义可知，直线l与平面a直的充要条件是，直线l与平面a内的任意直线都垂直，这可以用符号表示为
一般地，直线与平面乖直，可以用图11-4-3表示.
我们的日常生活中，很多线面的形象都可以抽象成直线与平面垂直，如图 11-4-4 所示.
由于平面内过指定点的直线有无数条，因此利用直线与平面垂直的定义来判定直线与平面垂直是不便于操作的，所以我们有必要寻求其他方法来判定直线与平面垂直.
如图 11-4-5 所示， ，如果空间中的直线l满足l⊥m，那么一定有l⊥α吗?如果l ⊥ m且l ⊥ n呢?利用合适的实物演示，并猜测直线与平面垂直的判定方法，
一般地，我们可以归纳出如下直线与平面垂直的判定定理(简称为线面垂直的判定定理). 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直. 这就是说，如果 3 , l⊥m,l⊥n,则l⊥a，这给出了线面垂直的一个充分条件.
地面上插有一根直杆，将地面看成平面，只借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗?写出你的方案并说明理由.
根据线面垂直的判定定理，只需检测直杆是否与地面上的两条相交直线垂直即可，又因为利用米尺可以量长度，所以可以借助勾股定理的逆定理来检测.
如图11-4-6所示，将绳子的一端固定在直杆的A处，并使得AB=0.8m截取绳子的长度，使得绳长为1m.拉紧绳子，并把它不固定的那端放在地面上与B不共线的两点C，D处.测量BC与BD的长度，如果它们的长度都是0.6m，那么直杆就和地面垂直.
这是因为在△ABC中，如果AB=0.8m，AC=1m，BC=0.6m，那么 AB ² +BC ² =AC ² ，
所以∠ABC=90°，即AB⊥BC.同理可知BD=0.6m时，有AB ⊥ BD.又因为B，C，D3点不共线，所以AB ⊥平面BCD，即直杆与地面垂直.
如图11-4-7所示的四棱锥S-ABCD 中，已知底面 ABCD 是一个平行四边形，AC∩BD=O，且SA=SC，SB=SD.求证:SO⊥平面 ABCD.
由已知可得O为AC 的中点.
在△SAC中，因为SA=SC，且AO=OC，所以由等腰三角形三线合一可知
又因为 AC∩BD=O，所以SO平面ABCD.例2中，SO实际上是四棱锥的高，因此利用线面垂直的判定定理，可以找出几何体的高.
3.直线与平面垂直的性质
如果直线a垂直于一个平面a，直线b与直线a平行，那么直线b与平面a是否垂直?利用合适的实物演示，猜测结果并说明理由.
一般地，我们可以证明结论:如果两条平行直线中，有一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
证明如图11-4-8所示，要证明这个结论只要证明l//m且l⊥a时，能够推出m⊥a即可.
又因为l//m ，根据空间中两条直线互相垂直的定义知 m⊥a， m⊥b,所以根据线面垂直的判定定理得 m⊥a.
如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线具有怎样的位置关系?利用合适的实物演示，猜测结果并说明理由.
一般地，我们可以归纳出直线与平面垂直的性质定理(简称为线面垂直的性质定理). 如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行.
证明 如图11-4-9所示，l⊥a，m⊥a，设m∩a=O.
假设直线m不与直线l平行，则过点O可作直线m´与l平行，由上面证明的结论可知 m´⊥a.
因为m∩m'=O，所以m与m'能确定一个平面，记为 β，设a∩β=a.
因此假设不成立，即l//m.上述证明过程也说明，过空间中一点，有且只有一条直线与已知平面垂直.
4.直线与平面垂直的应用
我们已经知道，如果A是平面a外一点，B是平面α内一点，则 AB⊥a时，AB是平面a的垂线段，类似地，如果是平面a内一点，且AC与α不垂直，则称 AC是平面α的斜线段(相应地，直线AC称为平面a的斜线)，称C为斜足.
BC=BD或∠ACB= ∠ ADB.
为了求出这个三棱锥的体积，关键是作出三棱锥的高，也就是要找到S在底面的射影.
例3说明，利用线面垂直，可以找出点到平面的距离，从而求出一般几何体的高，进而得到几何体的体积等.
另外，因为直线与平面平行时直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离，都是通过点到平面的距离来定义的，所以我们也可以利用点到平面的距离来求出直线与平面的距离，以及两平行平面之间的距离.
因为 AB ⊥ a， ，所以 AB ⊥ l .又因为l ⊥ BC日AB∩BC=B，所以 l ⊥平面 ABC,
而且 ，所以l ⊥ AC.
例4的结果可以简述为“平面内垂直于射影的直线也垂直于斜线”
1.如果一条直线垂直于平面内的两条平行直线，那么这条直线垂直于这个平面吗?举例说明.2.如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，说明折痕为什么和桌面垂直.
3.三角形的两边，可以同时垂直于同一个平面吗?说明理由.4.已知两个平行平面中，有一个平面与一条已知直线垂直，写出另一个平面与这条直线的位置关系.5.在空间中，过任意一点都存在一条且只有一条直线与已知直线垂直吗?为什么?
1.设 AB 是空间中的一条线段，则AB的垂直平分线有多少条?这些垂直平分线共面吗?如果共面，AB 与这个平面垂直吗?这个平面可以由AB的两条垂直平分线确定吗?
2.判断下列命题的真假.(1)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线与这个平面内的任何直线都垂直;(2)如果一条直线与一个平面不垂直，那么这条直线与这个平面内的任何直线都不垂直;(3)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直.
3.如果一条直线垂直于一个平面内的(1)三角形的两条边;(2)梯形的两条边:(3)圆的两条直径分别判断这条直线是否与平面垂直，并说明理由.
4.已知平面a和直线a，b，如果a∥a，且b⊥a，那么b ⊥ a是否一定正确?举例说明.