[数学]广东省深圳市福田区多校联考2024年中考三模试题（解析版）

这是一份[数学]广东省深圳市福田区多校联考2024年中考三模试题（解析版），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024B. C. D.
【答案】B
【解析】2024的相反数是,
故选：B．
2. 如图是某种榫卯构件的示意图，其中榫的主视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】从正面看榫的主视图为：
故选：B．
3. 2024年春节前夕，全国多地、多趟列车受冰雪天气影响，“春运”第70年见证了“高铁速度，绿皮温度”，据统计，全国铁路春运期间发送旅客4.8亿人次，数据4.8亿用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】亿，
∴，
故选：D．
4. 某班六名同学体能测试成绩（分）如下：80，90，75，75，80，80，对这组数据表述错误的是（ ）
A. 众数是80B. 方差是25
C. 平均数是80D. 中位数是75
【答案】D
【解析】A、80出现的次数最多，所以众数是80，正确，不符合题意；
B、方差是：，正确，不符合题意；
C、平均数是（80+90+75+75+80+80）÷6=80，正确，不符合题意；
D、把数据按大小排列，中间两个数都为80，80，所以中位数是80，错误，符合题意．
故选：D．
5. 把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】，
解不等式①得：
解不等式②得：
∴不等式组的解集为：，
解集表示在数轴上，如图所示，
故选：B．
6. 如图是某家具店出售的黄色木椅的侧面图，其中，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7. 为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，将每年8月8日设置为“全民健身日”．因为为了认真发展体育运动，增强人民体质，贯彻执行《中华人民共和国体育法》，网上各种健身项目层出不穷．如图是侧抬腿运动，可以保证全身得到锻炼！已知小敏大腿根部距脚尖，即，当其完成图中一次动作时，脚尖划过的轨迹长度为（ ）．
A. B. C. 45πD.
【答案】A
【解析】由题意得，轨迹长为：，
故选：A．
8. 我国明代数学著作《算法统宗》记载：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则不足八两”．若设共有名客人，两银子，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意，
∵若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则不足八两”．若设共有名客人，两银子，
∴．
故选：B．
9. 如图是遮阳伞撑开后的示意图，它是一个轴对称图形，若，米，与地面垂直且米，则的长为（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】C
【解析】∵整个图形是一个轴对称图形，
∴，
∵，米，
∴，
在中，
米，
∵米，
∴（米），
故选：C．
10. 如图，在菱形中，，，点E和点F分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为（ ）
A. 4B. C. D. 6
【答案】A
【解析】连接，作点A关于的对称点H，连接，交于N，连接，如图所示：
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴是等边三角形，
∵点A，点H关于对称，
∴，，
∴，
又∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
∴当点F，点D，点H三点共线时，的最小值为的长，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为4．
故选：A．
二、填空题（15分）
11. 因式分解：________．
【答案】
【解析】，
故答案为：．
12. 如图，在中，点D是边上的一点．若，，则的度数为________．
【答案】
【解析】∵，
∴
∵，且
∴
即
故答案为：．
13. 化学课上，同学们将元素周期表中的前5位化学元素（氢氦锂铍硼）制成了一副互不重复的元素扑克牌（共5张，每张上记录一种化学元素）．小明从中先任意抽取一张记录下来，不放回，然后再从中抽取一张记录，则小明两次抽到的元素中含稀有气体的概率为________．
【答案】
【解析】由题意可画树状图：
∴有20种等可能的结果数，符合题意的有8种，
∴小明两次抽到的元素中含稀有气体（氦）的概率为，
故答案：．
14. 一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象，如图①是光束在水中的径迹．如图②，现将一束光以一定的入射角α（）射入水面，此时反射光线与折射光线夹角恰为，直线l为法线，若水深为，则线段________m．
【答案】
【解析】如图，
由题意得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，而，
∴，，
∴，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，点O是边的中点，点P是边上一动点，连接，将线段绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边上，连接，若为直角三角形，则的长为______．
【答案】或3
【解析】∵，
∴，
∵点O是边的中点，
∴，
当时，如图1，过P点作于E点，于F点，
在中，
∵，
∴，
∵线段绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边上，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴；
当时，如图2，过P点作于E点，
在中，
∵，
∴，
∵线段绕点P顺时针旋转，使点O的对应点D落在边上，
∴ ，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
综上所述，的长为或3．
故答案为：或3．
三、解答题（55分）
16 计算：．
解：原式．
17. 先化简，再求值：，其中．
解：原式
，
当时，原式．
18. 某高中在开展“选科走班”教学改革之前，先进行调查：要求该校某班每位学生在思想政治、化学、地理、生物4门学科中选择2门．将调查统计结果制成了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题：

（1）该班共有学生 人，扇形图中化学所对应扇形的圆心角为 度；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）求该班小华同学恰好选中化学和生物的概率．
解：（1）全班人数为：（人）
选择“化学”的人数为：（人）
对应的扇形的圆心角为：
故答案为：45；72．
（1）补全条形统计图，如下图所示．

（3）把思想政治、化学、地理、生物分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示：

由上图可知，所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为化学、生物的结果有2种：，，
∴P（小华恰好选中化学、生物）．
19. 如图，在四边形中，，，以为直径的与边交于点，与对角线交于点，连接．

（1）请判断四边形的形状，并说明理由．
（2）若，求的半径．
解：（1）四边形是矩形，理由如下：
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵是圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半径是．
20. 如图，以平行四边形的一边为直径的圆交边于点E，交对角线于点F，G是边上的一点，连接，且．

（1）请在以下三个条件中任选一个：________，证明：直线是圆M的切线．
①：②F是弧的中点：③E是的中点．
（2）在第（1）问的条件下，若直径为4，连接并延长交于点N，，求四边形的面积．
解：（1）选择②，
证明：连接，

∵F是弧的中点，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴， ，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴
∵
∴
∴
∵为直径，
∴直线是圆M的切线．
（2）如图，

由勾股定理得到，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∴四边形的面积为．
21. 根据以下素材，探索完成任务．
解：任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为，且经过点．
设该抛物线函数表达式为，
则，
∴，
∴该抛物线的函数表达式是．
任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长，
∴悬挂点的纵坐标，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是．
当时，，解得或，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则，
∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼．
∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是．
22. （1）【问题发现】
如图1，在中，，，点D为的中点，以为一边作正方形，点E与点A重合，易知，则线段与的数量关系是________；
（2）【拓展研究】
在（1）的条件下，将正方形绕点B旋转至如图2所示的位置，连接，，．请猜想线段和的数量关系，并证明你的结论；
（3）【结论运用】
在（1）（2）的条件下，若的面积为8时，当正方形旋转到C、E、F三点共线时，请直接写出线段的长．
解：（1）∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，点E与点A重合，
∴，
故答案为：；
（2），理由为：
∵在中，，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）∵在中，，，的面积为8，
∴，则（负值舍去），
∴，
由（1）知，，
设，则，
∵C、E、F三点共线，
∴有两种情况：
①如图1，
在中，，，
由得，
解得（负值舍去）；
②如图②，
中，，，
由得，
解得（负值舍去）；
综上，满足条件的线段值为或．如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高．
素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．