数学2.6.1 双曲线的标准方程图片课件ppt

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如图 2-6-1所示，某中心0接到其正西、正东、正北方向三个观测点A，B，C的报告:
A，C两个观测点同时听到了一声巨响B 观测点听到的时间比A观测点晚4s。已知各观测点到该中心的距离都是1020m.假定当时声音传播的速度为340m/s，发出巨响的位置为点P，且A，B，C，O，P均在同一平面内，你能确定该巨响发生的点的位置吗?
上述情境中，因为观测点A与C同时听到响声，说明P一定在 AC 的垂直平分线上;因为观测点B听到的时间比观测点A晚4s，这说明P距离B 更远，而且那么，满足上式的点P可能的位置有哪些呢?这与本小节我们要讨论的双曲线有关.
一般地，如果F₁，F₂ ，是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a< | F₁F₂ | 则平面上满足 的动点P的轨迹称为双曲线，
另外，从本章导语中可以看出，双曲线也可以通过用平面截两个特殊的圆锥面得到，因此双曲线是一种圆锥曲线。
你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗?
如图所示，将拉链的一边截去一部分，并将拉链的两端用图钉固定在画板的F与F，处，将笔尖放置在拉锁处，随着拉链沿不同的方向逐渐拉开，
笔尖将作出一条曲线调换拉链的两端，按照同样的操作，笔尖也将作出一条曲线.最终作出的图形是双曲线的一部分，其中每一条曲线都称为双曲线的一支。
这种作双曲线的方法实际上验证了双曲线定义中的P点一定存在而且有无数多个，那么，从数学上能不能证明这一点呢?
怎样从数学上证明满足双曲线定义的点一定是存在的?这样的点有多少个?你能想到什么办法来解决这两个问题?
同椭圆的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出双曲线的标准方程.为了方便，设双曲线的焦距为2c，则c>a>0.
以F₁F₂，所在直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图2-6-3所示.此时，双曲线的焦点分别为F₁ (-c，0)， F₂(c，0)
设P(x，y)是双曲线上一点则|PF₁|-|PF₂|=2a因为|PF₁|=|PF₂|=所以由①得
整理得且②与①的右边同时取正号或负号。①＋② 整理得将 ③ 式平方 ， 再整理得
因为c>a>0，所以c ² -a ² >0，设c ² -a ² = b² 且b>0 ，则 ④ 式可化为可以验证，方程⑤就是双曲线的方程，通常称为焦点在x轴上的双曲线的标准方程
显然，满足方程⑤的点的坐标有无穷多组，这无穷多组解对应的点组成的双曲线如图 2-6-3所示,
设双曲线的焦点为上F₁和F₂焦距为2c，而且双曲线上的动点P 满足 其中c>a>0。以F₁F₂所在直线为y轴，线段F₁F₂ 的垂直平分线为x轴。建立平面直角坐标系，如图2-6-4所示，此时:
(1)双曲线焦点的坐标分别是什么?(2)能否通过⑤式来得到此时双曲线方程的形式?显然，此时双曲线的焦点是F₁(0，-c)，F₂(0，c)，而且只要将方程⑤中的x与y互换，就可以得到此时双曲线的方程为
其中 b² =c² -a² ，这个方程通常称为焦点在y轴上的双曲线的标准方程。由上可以看出，双曲线的标准方程由a，c以及焦点的位置确定，其中c > a > 0
如不特别声明，以后总认为双曲线有相应的a，c值以及b值。其中而且谈到双曲线的标准方程时，指的总是⑤⑥这两种形式之一.
分别求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)两个焦点的坐标分别是(-5，0)，(5，0)，且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8。 由已知得因此a=4，且b²=c²-a²=5²-4²=9.又因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求的双曲线的标准方程是
分别求适合下列条件的双曲线的标准方程:(2)双曲线的一个焦点坐标是(0，一6)，且双曲线经过点A(-5，6).所以另一个焦点坐标为因为点A(-5，6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为
因此a=4从而b²=6²-4²=20因此，所求双曲线的标准方程是例1的(2)中，也可以先设双曲线的方程为然后再通过已知求出a，b的值来求解，请读者自行尝试
已知F₁ (-2，0)，F₂ (2，0)，动点P满足求动点P的轨迹方程. 因为且焦点在x轴上的双曲线上这就是说，点P的坐标(x，y)一定满足
另一方面，由|PF₁|－ |PF₂|=2>0可知|PF₁|>|PF₂|因此P的横坐标要大于零从而可知P的轨迹方程为
类似地，对于本节开始部分的情境与问题来说，如果以O为坐标原点，AB，OC所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图2-6-5所示则可知
发出巨响的位置P在以A，B为焦点的双曲线上，而且双曲线中因此所以点 P的坐标(x，y)满足另一方面,容易求得AC的垂直平分线为这也是点P的坐标(x，y)要满足的方程