河北省邯郸市永年区第二中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷

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【分析】分别求出集合，再根据交集的定义求解即可.
【详解】由题意，，或
所以.
故选：A．
2．C
【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定.
【详解】命题“”的否定是“”.
故选：C
3．C
【分析】根据题意，利用线面平行的判定定理与性质定理，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】当时，可能在内或者内，故不能推出且，所以充分性不成立；
当且时，设存在直线，，且，
因为，所以，根据直线与平面平行的性质定理，可知，
所以，即必要性成立，故“”是“且”的必要不充分条件.
故选：C.
4．A
【分析】由已知函数结合奇函数的定义，即可求解．
【详解】因为是奇函数，所以，
所以，
即，所以.
故选：A.
5．A
【分析】根据等差数列前n项和公式函数性质、与的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】设等差数列的公差为，
由等差数列的前项和，
类比表达式，有.
当为递增等差数列时，有；
反之，当时，例如，可得；
，则，
此时数列从第二项开始才为递增的等差数列；
所以“为递增的等差数列”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6．B
【分析】利用条件求出函数的周期，结合奇函数求出，从而得到答案.
【详解】,则，则函数的周期，则，
又函数为奇函数，所以，所以.
故选：B.
7．B
【分析】根据对勾函数的性质以及反比例函数的性质，即可由分类讨论，结合分段函数的单调性求解.
【详解】因为函数，在上单调递增，
当时，由于和均在单调递增函数，
故在上单调递增，
所以，解得，
当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增，
则，解得，
当时，，此时，显然满足在上单调递增，
综上，．
故选：B
8．B
【分析】由三角形面积可得，进而得，结合向量线性运算及三点共线求得，根据，最后利用基本不等式求解最值即可.
【详解】因为面积是，所以，所以，
所以.
因为，所以，
因为为上一点，所以可设，
所以
，又，
所以，解得，所以，
所以
，
当且仅当即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：B
9．ACD
【分析】对A，B，利用不等式性质可判断；对C，利用基本不等式判断；对D，利用作差比较法判断.
【详解】对于A，，，则，即，故A正确；
对于B，，，又，所以，故B错误；
对于C，，，即，故C正确；
对于D，，，，
，，则，即，故D正确.
故选：ACD.
10．ABC
【分析】求出函数的定义域和值域可判断A、B；根据图象的平移法可判断C；根据函数的单调性解不等式可判断D
【详解】由得，所以的定义域为，A正确；
由及，
可得的值域为，B正确；
的图象可由奇函数的图象向右平移4个单位，
再向上平移个单位得到，所以的图象关于点对称，C正确；
在上单调递减，则或，即或 ，D错误．
故选：ABC．
11．BCD
【分析】令，即可判断A；令，即可判断B；令，求出，再令，即可判断C；由BC选项判断出函数的周期性，再根据函数的周期性即可判断D.
【详解】对于A，令，则，即，
所以，故A错误；
对于B，令，则，
所以，所以为偶函数，故B正确；
对于C，令，则，所以，
令，则，
所以的图象关于点对称，故C正确；
对于D，由BC选项得，，
则，
所以，所以，
所以函数是以为周期的周期函数，
由，
得，
所以，
所以，
故D正确.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.
12．
【分析】根据为一次函数列式计算即可.
【详解】由题意知为一次函数，则
所以.
故答案为：.
13．8（答案不唯一）
【分析】根据复合函数单调性法则知在上单调递增，利用绝对值函数单调性列不等式即可求解.
【详解】因为函数在上单调递增，且在定义域上单调递增，
根据复合函数单调性法则知，在上单调递增，所以，所以，
则实数的取值范围为，故实数的值可以是8.
故答案为：8（答案不唯一）
14．6
【分析】根据题意可知直线和直线的斜率存在，且斜率之积为，设出两直线方程解出，两点坐标，即可得的表达式，利用基本不等式即可求出其最小值.
【详解】如下图所示：
设，则，
易知，，直线和直线的斜率存在，
且斜率之积为.
设直线的方程为，则，
直线的方程为，则，
所以.
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为6.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据不等式的解法，求得和，结合集合并集的运算，即可求解；
（2）由，得到，分和，两种情况，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：由，解得，所以，
当，可得，所以.
（2）解：因为，所以，所以，
当时，，解得.
当时，则满足，解得；
综上可得，，即的取值范围是.
16．(1)
(2)
【分析】（1）设，利用求得，由可求得，即得答案；
（2）依题意可得当时，恒成立，参变分离可得恒成立，再令，，求出，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）由题意设，
由得；
由得，
即恒成立，故，则，
故；
（2）因为当时，的图象恒在图象的上方，
所以当时，恒成立，
即当时，恒成立，
令，，则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围为.
17．(1)
(2)是区间上的增函数，理由见解析，
(3)
【分析】（1）由函数的奇偶性定义以及性质求解即可；
（2）利用定义证明单调性，进而得出最值；
（3）由在区间上的单调性以及奇偶性，解不等式得出t的范围.
【详解】（1）因为在是奇函数
验证：，，函数为奇函数；
为偶函数，则
验证：，，函数为偶函数.
（2）是区间上的增函数，理由如下：
设是区间上任意两个实数，且，
则
因为所以
是区间上的增函数
（3）因为是区间上的增函数，且是奇函数，
由满足
，即t的范围是
18．(1)；
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数求出函数的单调区间，再根据函数的单调性求出最值即可；
（2）求出导函数的零点，再由零点的大小分类讨论即可得出答案.
【详解】（1）当时，，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，，
所以，
综上：，；
（2），
当时，令得，令得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上恒成立，
所以在上单调递减；
当时，令得或，令得，
所以在，上单调递减，在上单调递增；
当时，令得或，令得，
所以在，上单调递减，在上单调递增；
综上：当时在，上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，在，单调递减，在上单调递增；
当时，在单调递减，在上单调递增.
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析，当且仅当时取“”
(3)证明见解析，当且仅当时取“”
(4)①证明见解析；②.
【分析】（1）由展开即可得结果；
（2）根据题意结合（1）中结论分析证明；
（3）根据题意结合（1）中结论分析证明；
（4）①根据题意结合（2）中结论分析证明；②根据题意结合（3）中结论分析求解.
【详解】（1）由可知，，当且仅当时取“” ，
所以.
（2）因为，
由（1）可得，当且仅当时取“”，
则，
所以，当且仅当时取“”.
（3）当，，，时，
因为，
由（1）可得，当且仅当时取“”
则，
所以，当且仅当时取“”.
（4）①由（2）可知，当且仅当时取“”，
即，所以
②因为，
由（3）可得：，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.