中考数学（河南卷）-2024年中考数学第三次模考试

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3、三模考试大概在中考前两周左右，三模是中考前的最后一次考前检验。三模学校会有意降低难度，目的是增强考生信心，难度只能是中上水平，主要也是对初中三年的知识做一个系统的检测，让学生知道中考的一个大致体系和结构。
2024年中考第三次模拟考试
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．的相反数是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，据此求解即可．
【详解】解：的相反数是2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数。
2．某购物平台在一个活动期间的总成交额约为213500000000元，这个数据用科学记数法表示为（ ）
A．元B．元
C．元D．元
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：，
故选：C．
【点睛】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数。
3．如图，是由10个相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三视图的画法，确定从正面看时每列正方形的个数，即可正确解答.
【详解】从正面看易得第一列有3个正方形，第二列最下面一层有1个正方形，第三列有2个正方形，所以该几何体的主视图为选项A所示图形.
故选：A.
【点睛】此题考查简单几何体的三视图.
4．下列因式分解正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用提公因式法，公式法对各项进行因式分解，即可求解．
【详解】解：A、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解方法——提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法，并会结合多项式的特征，灵活选用合适的方法是解题的关键．
5．如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1=∠2=44°，则∠B为（ ）
A．66°B．104°C．114°D．124°
【答案】C
【分析】根据平行四边形性质和折叠性质得∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1，再根据三角形内角和定理可得.
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
由折叠的性质得：∠BAC=∠B′AC，
∴∠BAC=∠ACD=∠B′AC=∠1=22°，
∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°，
故选C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，求出∠BAC的度数是解决问题的关键．
6．如图，四边形内接于为对角线，经过圆心．若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由同弧所对圆周角相等及直角三角形的性质即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵为圆的直径，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同圆中同弧所对的圆周角相等，直角三角形两锐角互余，掌握它们是关键．
7．对于实数a，b定义新运算：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．且
【答案】C
【分析】本题考查了新运算，一元二次方程根的判别式；由新运算得关于x的一元二次方程，根据判别式非负即可求得m的范围．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵有两个实数根，
∴，
∴；
故选：C．
【点睛】本题考查了新运算，一元二次方程根的判别式；由新运算得关于x的一元二次方程。
8．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，分别以点A、O为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交x轴于点B，C是MN上一点，连接AC、OC，将OC绕点O逆时针旋转60°，点C落到点D处，CD交y轴于点E.若，点A的坐标是（6，0），则点D关于x轴对称的点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由尺规作图的步骤可判断MN为线段OA的垂直平分线，借助可证明为等边三角形，由旋转可知，过点D作轴，垂足为H，利用三角函数解直角三角形确定DH、OH的长度即可得到D点坐标，最后确定点D关于x轴对称的点的坐标即可．
【详解】解：由题意可知，MN为线段OA的垂直平分线，即，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，，
∵点A的坐标是（6，0），即，
∴，
∵OD由OC旋转60°得到，过点D作轴，垂足为H，
则，，
在中，
，
，
∴点D的坐标为，
其关于x轴对称的点的坐标是．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的作法、等边三角形的性质、几何图形的旋转及三角函数解直角三角形等知识，综合性强，解题关键是根据题意弄清几何图形的变化，灵活运用相关知识进行解答．
9．一次函数的图象如图所示，则二次函数 的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，先根据一次函数图象所过象限，判断的符号，进而判断出二次函数的图象即可．
【详解】解：∵直线过一，三，四象限，
∴，
∵，
∴抛物线的开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴，
故符合题意的只有选项C；
故选D．
【点睛】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，先根据一次函数图象所过象限，判断的符号，进而判断出二次函数的图象．
10．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度通常在以下；如果血乳酸浓度降到以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是（ ）
A．体内血乳酸浓度和时间是变量
B．当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过
C．采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳
D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松
【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可求解，理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，
、体内血乳酸浓度和时间均是变量，该说法正确，故选项不合题意；
、当时，两种方式下的血乳酸浓度均超过，该说法正确，故选项不合题意；
、采用静坐方式放松时，运动员大约后就能基本消除疲劳，原说法错误，故选项符合题意；
、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，该说法正确，故选项不合题意；
故选：．
【点睛】 本题考查了函数的图象，根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可求解。
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．某电子产品的进价为元，超市将价格提高作为零售价销售，则该商品的零售价为 元（用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】此题的等量关系：进价×（1+提高率）=售价列出代数式即可．
【详解】解：商品的售价为元．
故答案为：．
【点睛】此题考查列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系进行解题．有关销售问题中的提高名词要理解透彻，正确应用．
12．今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．甲、乙两位同学打算去观看这四部影片的其中一部，则这两位同学选择观看相同影片的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用列表或画树状图法求概率和概率公式．画树状图，共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一部电影的结果有4种，再利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：A表示《热辣滚烫》、B表示《飞驰人生2》、C表示《熊出没逆转时空》、D表示《第二十条》，
画树状图如下：
共由16种等可能的结果，其中，甲、乙两人选择同一部电影的结果有4种，
甲、乙两人选择观看相同影片的概率为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了用列表或画树状图法求概率和概率公式。
13．若不等式组只有一个正整数解，则写出一个满足条件的m值为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】先确定不等式组的整数解，再求出m的取值范围即可解答．
【详解】解：由得：，
由得：，
∵不等式组只有一个整数解，
∴，
则m可取，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了解不等式组的整数解的问题，掌握解不等式组的整数解的方法是解题的关键．
14．如图，以为直径作半圆O，C为的中点，连接，以为直径作半圆P，交于点D．若，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】/
【分析】如图，连接，先由垂径定理的推理得到，再由圆周角定理得到，则由垂径定理可得，利用勾股定理求出的长，进而求出，再根据进行求解即可．
【详解】解：如图，连接．
∵C为的中点，
∴，
∵是小圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求不规则图形的面积，垂径定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理的推理等等，熟知垂径定理和垂径定理的推论是解题的关键．
15．如图，矩形中，，，点为矩形对角线，的交点，将绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接，当点落在矩形的对称轴上时，的长为 ．
【答案】2或/或2
【分析】分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求解．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，，，
，
，
如图，当落在的垂直平分线上时，
，
将绕点顺时针旋转，
，
当点落在的垂直平分线上时，连接，设的垂直平分线与交于点，
同理可得，
，
四边形是菱形，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
综上所述：的长为2或，
故答案为：2或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）（）计算：；
（）化简：．
【答案】（）；（）．
【分析】（）根据立方根、绝对值、负整数指数幂分别运算，再合并即可求解；
（）根据二次根式的性质、运算法则进行计算即可解答；
【详解】解：（）原式，
；
（）原式
，
．
【点睛】本题考查了实数的运算，分式的化简，掌握实数和分式的运算法则是解题的关键。
17．（9分）学校组织七、八年级学生参加了“国家安全知识”测试（满分100分）．已知七、八年级各有200人，现从两个年级分别随机抽取10名学生的测试成绩（单位：分）进行统计：
七年级 86 94 79 84 71 90 76 83 90 87
八年级 88 76 90 78 87 93 75 87 87 79
整理如下：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：_______，________．
同学说：“这次测试我得了86分，位于年级中等偏上水平”，由此可判断他是________年级的学生；
(2)学校规定测试成绩不低于85分为“优秀”，估计该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数；
(3)你认为哪个年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好？请给出一条理由．
【答案】(1)85，87，七；
(2)220
(3)八年级，理由见解析
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）两组数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【详解】（1）解：把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为：71，76，79，83，84，86，87，90，90，94，
根据中位数的定义可知，该组数据的中位数为，
八年级10名学生的成绩中87分的最多有3人，所以众数，
A同学得了86分大于85分，位于年级中等偏上水平，由此可判断他是七年级的学生；
故答案为：85，87，七；
（2）（人），
答：该校这两个年级测试成绩达到“优秀”的学生总人数为220人；
（3）我认为八年级的学生掌握国家安全知识的总体水平较好，
理由：因为七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，所以八年级的学生掌握防震减灾科普知识的总体水平较好．
【点睛】本题考查中位数、众数、方差的意义和计算方法以及用样本估计总体，理解各个概念的内涵和计算方法是解题的关键．
18．（9分）如图，四边形是平行四边形．

(1)尺规作图；作对角线的垂直平分线（保留作图痕迹）；
(2)若直线分别交，于，两点，求证：四边形是菱形
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；
（2）设与交于点，证明，得到，得到四边形为平行四边形，根据，即可得证．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；

（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
如图：设与交于点，

∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题考查基本作图—作垂线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键．
19．（9分）如图，堤坝斜坡长为，坡度i为，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高的铁塔．小明欲测量山高，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角为．求堤坝高及山高．（，，，小明身高忽略不计，结果精确到）
【答案】堤坝高为8米，山高约为23米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过B作于H，设，，根据勾股定理得到，求得，过B作于F，则，设，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：如图所示，过B作于H，

∵坡度i为，
∴，
∴设，，
∴，
∴，
∴，
过B作于F，则四边形是矩形，
∴，
设，
∵．
∴，
∴，
∵坡度i为，
∴，
∴，
∴（米），
∴（米），
答：堤坝高为8米，山高约为23米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定。
20．（9分）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，对角线交于点M，点，若反比例函数的图象经过A，M两点，求：
(1)点M的坐标及反比例函数的解析式；
(2)的面积；
(3)的周长．
【答案】(1)；；
(2)9；
(3)28
【分析】(1)利用中点坐标公式计算，代入解析式确定k．
(2) 过点A作轴于点D，过点M作轴于点E，利用计算即可．
(3)利用勾股定理求得OA的长即可．
【详解】（1）∵四边形是平行四边形，对角线交于点M，点，
∴点．
将点代入中，得
．
∴反比例函数解析式为．
（2）如图，过点A作轴于点D，过点M作轴于点E．
∵四边形是平行四边形，点，
∴点A的纵坐标为4，即．
将代入中，得，即点．
∴．
由（1）知点，即．
∴．
∴．
∵，
∴．
（3）∵点，
∴．
在中，．
∵四边形是平行四边形，，
∴的周长为．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，反比例函数的性质和解析式，中点坐标公式，熟练掌握平行四边形的性质，灵活运用中点坐标公式是解题的关键．
21．（9分）某百货计划在春节前夕购进A、B两种服装进行销售．已知购进1件A 服装和2件B 服装，需元；购进3件A 服装和4件B服装，需元．
(1)A、B 两种服装的进货单价分别是多少？
(2)设A服装的销售单价为x（单位：元/件），在销售过程中发现：当时，A 服装的日销售量y（单位：件）与销售单价x之间存在一次函数关系，x、y之间的部分数值对应关系如下表：
请写出当时，y与x之间的函数关系式．
(3)在（2）的条件下，设A 服装的日销售利润为元，当A服装的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)A、B两种服装的进货单价分别是元/件、元/件；
(2)y与x之间的函数关系式为；
(3)当A服装的销售单价定为元/件时，日销售利润最大，最大利润是元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键．
（1）设A、B两种服装的进货单价分别是a元/件、b元/件，然后列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设与之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可；
（3）先列出利润和销售量的函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解∶设A、B两种服装的进货单价分别是a元/件、b元/件
由题意得： ，
解得 ，
∴A、B两种服装的进货单价分别是元/件、元/件；
（2）解：设y与x之间的函数关系式为，将，代入得∶
，
解得 ，
∴y与x之间的函数关系式为；
（3）解：由题意得∶
∴当时，取得最大值，
∴当A服装的销售单价定为元/件时，日销售利润最大，最大利润是元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、运用待定系数法则求函数解析式以及二次函数的性质求最值等知识点，弄懂题意、列出方程组或函数解析式是解答本题的关键．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作轴，垂足为D，线段与直线相交于点E．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接，是否存在点P，使得？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点P的横坐标为
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
（1）由待定系数法即可求解；
（2）延长到H，设，连接，证明，可得，设，则，根据，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵点A的坐标是，点B的坐标是，
∴可设抛物线的表达式为：，
∵抛物线的表达式为：，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设存在点P，使得，理由如下：
对于，当时，,
∴点C的坐标为，即，
延长到H，设，连接，如图：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得（舍去）或或（舍去），
∴点P的横坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度．
23．（11分）综合与实践：折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从长方形纸片开始，下面就让我们带着数学的限光来探究一下有关长方形纸片的折叠问题，看看折叠长方形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识．
(1)如图①，在一张长方形纸片上任意画一条线段，将纸片沿线段折叠（如图②）．
①重叠部分的的形状 （是、不是）等腰三角形．
②如果长方形纸片，重叠部分的面积为 ．
(2)如图③，长方形纸片，点E为边上一点，将沿着直线折叠，使点C的对应点F落在边上，请仅用无刻度的尺子和圆规在图③中找出点E的位置．
(3)如图④，长方形纸片，，若点M为射线上一点，将沿着直线折叠，折叠后点B的对应点为，当点恰好落在的垂直平分线上时，求的长．
【答案】(1)①是；②
(2)见解析
(3)15或9
【分析】（1）①设纸片右下角的点为点M，根据平行线的性质以及折叠的性质可得，即可；②过点C作于点H，则，根据勾股定理可得的长，再由三角形的面积公式计算，即可；
（2）以点B为圆心，以长度为半径作圆交于点F，作的角平分线，交于点E，即可；
（3）分两种情况讨论：当点落在长方形纸片的外部时；当点落在长方形纸片的内部时结合锐角三角函数，即可求解．
【详解】（1）解：①如图，设纸片右下角的点为点M，
根据题意得：，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴的形状为等腰三角形，
故答案为：是；
②由①得：，
过点C作于点H，则，
∴，
∴重叠部分的面积为
故答案为：
（2）解：以点B为圆心，以长度为半径作圆交于点F，作的角平分线，交于点E，作图如下：
（3）解：当点落在长方形纸片的外部时，
如图，过点作于点H，交于点，
根据题意得：，
∵点恰好落在的垂直平分线上，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
解得：，
∴；
当点落在长方形纸片的内部时，
同理；
综上所述，的长为15或9．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行线的性质，解直角三角形，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
90
八年级
84
87
销售单价x（元/件）
日销售量y（件）