2024年陕西省咸阳市永寿县部分学校中考模拟数学试题

这是一份2024年陕西省咸阳市永寿县部分学校中考模拟数学试题，共12页。试卷主要包含了本试卷分为第一部分，点M，分解因式等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）。全卷共8页，总分120分。考试时间120分钟。
2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号。
3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效。
4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑。
5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．－24的相反数是（ ）
A．24B．－24C．D．
2．如图是一个几何体的立体图形，则该几何体的左视图是（ ）
A．B．C．D．
3．相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．如图所示的风筝骨架中，，若∠1＝141°，则∠2＝（ ）
A．37°B．39°C．41°D．43°
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．在正比例函数中，y随x的增大而减小，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．如图，菱形ABCD的边长为6，对角线AC，BD相交于点O，交CB的延长线于E，若，则BE的长为（ ）
A．B．2C．D．1
7．如图，AB是⊙O的直径，弦，连接AC，BC，OD，若∠B＝52°，则∠AOD＝（ ）
A．104°B．109°C．114°D．119°
8．点M（c，m），N（1，n）为抛物线上两点，且，则c的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
第二部分（非选择题共96分
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．分解因式：________．
10．将边长相等的正五边形和正八边形按照如图所示的方式放置，则．
11．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯系统研究了黄金分割，其定义为：如图①，点C将线段AB分成两部分（），若，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图②，在△ABC中，点D是边BC的黄金分割点（），且．若AD＝2，则BC的长为________．
12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过BC的中点D，交AB于点E，连接DE．若，则k＝________．
13．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OD＝4，E是OD的中点，PQ是对角线AC上的一条动线段，若BP－EQ的最大值为，则PQ的长为________．
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．（本题满分5分）
计算：．
15．（本满分5分）
解不等式：，并将解集在数轴上表示出来．
16．（本题满分5分）
解方程：．
17．（本题满分5分）
如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AD是△ABC的中线．请用尺规作图法，在△ABD内部求作一点P，使∠APD＝120°．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（本题满分5分）
如图，在△ABC和△BDE中，点A，B，D在一条直线上，AB＝BE，∠ABE＝∠CBD，且∠A＝∠E．
求证：BC＝BD．
19．（本题满分5分）
西安市某中学从德、智、体、美、劳等维度出发，全方位、多层次拓展学生课外活动来丰富校园生活，开展了生物社、合唱社、创客社、艺术社四个社团活动（依次记为A，B，C，D），若该校小红和小星两名同学各随机选择一个社团活动参加．
61）小红选择“合唱社”社团活动的概率为_______；
2）请利用画树状图或列表的方法，求小红和小星选择同一个社团活动的概率．
20．（本题满分5分）
某农科所采用“春播夏收”技术与“冬插夏收”技术各种植了20亩的谷子进行试验，最终共收获谷子23000千克，根据以往实验结果，采用“冬插夏收”技术种植的谷子平均亩产量比采用“春播夏收”技术种植的谷子平均亩产量多30%，求采用“春换夏收”技术种植的谷子平均亩产量是多少千克？
21．（本题满分6分）
小莉想利用所学的知识测量楼下公园内凉亭的高度AB，设计了如下测量方案：
请根据以上数据求凉亭的高度AB（结果保留整数）
22．（本题满分7分）
比叶面积是指叶片的单叶面积与单叶重量之比，可作为叶片遮荫度的指数使用．通过对某种温带森林植物的研究，发现这种植物的比叶面积y（）与年均降水量x（）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求出y与x之间的函数表达式；
（2）当年均降水量为530mm时，这种植物的比叶面积是多少？
23．（本题满分7分）
某校为促进学生对于中文历史发展的学习与了解，在全校范围内开展了以“感受中文魅力，弘扬中华文化”为主题的知识普及活动，活动前，在全校范围内随机抽取了20名学生进行了文化知识测试（满分10分，得分为整数），活动结束后，再次在全校范围内随机抽取20名学生进行了文化知识测试，将两次测试成绩进行整理分析如下：
知识普及活动前被抽取学生的测试成绩条形统计图
知识普及活动后被抽取学生的测试成绩如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上表中，；
（2）若该校共有1500名学生，请估计知识普及活动后该校测试成绩在9分及以上的学生人数；
（3）请你结合上述信息对该校知识普及活动的效果进行评价．
24．（本题满分8分）
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连接CD，过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点E，且．
（1）求证：AC＝CD；
（2）若⊙O的半径为5，BC＝6，求BD的长．
25．（本题满分8分）
如图，抛物线的对称轴为直线，且与x轴相交于A（－3，0），B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）将抛物线L向左或向右平移m（m>0）个单位长度，得到抛物线，与轴交于，两点（点在点的左侧），与y轴交于点，当为等腰直角三角形时，求m的值．
26．（本题满分10分）
问题提出
（1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD为BC边上的高，若AD＝6，则BC的最小值为_______；
问题探究
（2）如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝BC＝6，E是边BC上一点，若DE＝5，∠DAE＝45°，求△ADE的面积；
问题解决
（3）如图③，某地有一片足够大的绿化带四边形ABCD，其中∠B＝∠D＝60°，，且AD＝2AB＝40m．现在绿化公司想在这块绿化带中规划出一片花卉区△AEF，要求点E落在BC边上，点F落在CD边上，为了花卉区的美观，要保证．由于绿化公司的经费预算有限，要求△AEF的面积最小，是否存在符合要求的设计方案？若存在，请求出△AEF面积的最小值；若不存在，请说明理由．
数学
参考答案及评分标
参考答案
第一部分（选择题共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分）
第二部分（非选择题共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9． 10．27 11． 12．4 13．1
三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程）
14．解：原式
15．解：去分母，得，
移项、合并同类項，得．
将这个不等式的解集表示在数轴上如答案图所示．
16．解：，
，
，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．
17．解：作法一：如答案图①，点P即为所求．
作法二：如答案图②，点P即为所求．
18．证明：∵∠ABE＝∠CBD，
∴∠ABE－∠CBE＝∠CBD－∠CBE
∴∠ABC＝∠EBD
在△ABC和△EBD中，
∴，
∴BC＝BD．
19．解：（1）
（2）根据题意列表如下：
由列表可知共有16种等可能的结果，其中小红和小星选择同一个社团活动共有4种结果，
∴P（小红和小星选择同一个社团活动）．
20．解：设采用“春播夏收”技术种植的谷子平均亩产量是x千克，则采用“冬播夏收”技术种植的谷子平均亩产量是（1+30%）x千克，
由题意得，，
解得x＝500．
答：采用“春播夏收”技术种植的谷子平均亩产量是500千克
21．解：如答案图，过点C作于点H，则四边形BDCH为矩形，
∴CH＝BD，BH＝CD＝1．5，
根据题意，得△ABF△EFG，
∴，即，解得．
在中，，
∵小莉与测角仪之间的距离为20米，
∴，即，
解得（米）．
答：凉亭的高度AB约为8米
22解：（1）设y与x之间的函数表达式，
将（400，22.62），（500，26.62）分别代入，
得，解得，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）将代入中，
得．
答：当年均降水量为530mm时，这种植物的比叶面积是27.82．
（7分）
23．解：（1）7.95，9；
（2）（名），
答：估计知识普及活动后该校测试成绩在9分及以上的共有900名学生；
（3）知识普及活动后学生测试成绩的平均数、众数、中位数均高于知识普及活动前，说明知识普及活动取得了良好的效果。
24．（1）证明：如答案图，连接OC，AD，
（1分）CE是的切线，∠OCE＝90°，即．
∵，∴，∴∠OCB＝∠CBE．
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CBE＝∠OBC．
∵四边形ACBD内接于，∴∠CAD＝∠CBE．
∵∠ADC＝∠ABC，∴∠CAD＝∠ADC，∴AC＝CD；
（2）解：∵的半径为5，∴，
在中，BC＝6，∴．
∵∠BAC＝∠BDC，∠ACB＝∠CED＝90°，
∴，
∴，即，
解得．
在中，，
∴．
25．解：（1）∵抛物线L的对称轴为直线，
∴，解得，
∴．
将点A（－3，0）代入中，得，解得
∴抛物线L的表达式为；
（2）∵，∴当为等腰直角三角形时，只需．
∵抛物线L的对称轴为直线，A（－3，0），∴B（1，0）．
由（1）得，
分两种情况讨论：
①将抛物线L向右平移m（m>0）个单位长度后得到抛物线的表达式为，
∴．
当时，解得或（舍去）；
当时，解得或（舍去），
∴m的值为2或4；
②将抛物线L向左平移m（m>0）个单位长度后得到抛物线的表达式为，
∴．
当时，解得（舍去）或；
当时，解得（舍去）或；
当时，点，均与点O重合，
此时不存在为等腰直角三角形．
综上所述，m的值为2或4．
26．解：（1）；
（2）如答案图①，过点A作交CD的延长线于点F，
∵，AB＝BC，
∴四边形ABCF是正方形，∴AB＝AF．
将△AFD绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，
∵∠ABC+∠ABG＝∠ABC+∠AFD＝90°+90°＝180°，
∴G，B，C三点共线．
由旋转性质得AG＝AD，∠GAB＝∠DAF，
∵∠DAE＝45°，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠EAG＝45°
∵AE＝AE，∴△GAE△DAE（SAS），
∴EG＝DE＝5
∴．；
（3）存在．
如答案图②，过点A作AG⊥BC于点G，作AH⊥CD于点H，作AM⊥AF交BC于点M，
则四边形AGCH是矩形，
∴∠GAH＝∠AGB＝∠AHD＝∠MAF＝90°．
∵，∴，．
∵∠MAG+∠GAF＝90°，∠GAF+∠FAH＝90°，
∴∠MAG＝∠FAH，∴．，
∴，∴AF＝2AM．
∵∠MAE＝∠MAG+∠GAE＝∠FAH+∠GAE＝90°－∠EAF＝30°，
在△AEF中，AE边上的高为，
在△AEM中，AE边上的高为
∴，
∴，即，
∴当△AEM的面积最小时，△AEF的面积取得最小值
∵，在，，
∴当线段EM最短时，的面积取得最小值．
作△AEM的外接圆，过点作于点N，连接OA，OM，OE，
∵，∴，∴，∴OA＝OM，
∴，．
∵，当A，O，N三点共线时取“＝”，
∴，得，
∴，
∴
∴，
∴存在符合要求的设计方案，△AEF面积的最小值为
主题
测量凉亭的高度AB
测量工具
测角仪，皮尺
测量方案
示意图
说明
点G，F，B，D在一条直线上，EF，AB，CD均垂直DG
测量数据
小莉的身高EF＝1．5米、测角仪的高度CD＝1.5米，，小莉与测角仪之间的距离为20米，在阳光下，凉亭AB的影长为BF，小莉的影长FG＝2米
参考数据
年均降水量（mm）
…
400
430
500
570
600
…
比叶面积y（）
…
22.62
23.82
26.62
29.42
30.62
…
平均数（分）
众数（分）
中位数（分）
知识普及活动前
8
8
知识普及活动后
8.45
9
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
C
C
B
A
D
A
B
C
D
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
（D，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
（D，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
（D，C）
D
（A，D）
（B，D）
（C，D）
（D，D）