高中数学6.1 平面向量的概念课堂检测

这是一份高中数学6.1 平面向量的概念课堂检测，共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.化简AB+CD−OB−CO=( )
A. ODB. OAC. ACD. AD
2.下列结论中正确的为( )
A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B. 向量AB与向量BA的长度相等
C. 对任意向量a，a|a|是一个单位向量
D. 零向量没有方向
3.在四边形ABCD中，|AB|=|AD|且BA=CD，则四边形ABCD的形状一定是( )
A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 等腰梯形
4.向量a与b不共线，AB=a+kb，AC=la+b(k,l∈R)，且AB与AC共线，则k，l应满足( )
A. k+l=0B. k−l=0C. kl+1=0D. kl−1=0
5.若|AB|=8，|AC|=5，则|BC|的取值范围是( )
A. [3,13]B. (3,8)C. [3,8]D. (3,13)
6.已知|a|=5，|b|=3，且a⋅b=−12，则向量a在向量b上的投影向量为( )
A. 43bB. −43bC. 23bD. −23b
7.若|a|=1，|b|= 3，c=2a+b，且c⊥b，则向量a，b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
8.对于任意向量a，b，下列命题中正确的是( )
A. 如果a，b满足|a|>|b|，且a与b同向，则a>b
B. |a+b|≤|a|+|b|
C. |a⋅b|>|a|⋅|b|
D. |a−b|>|a|−|b|
二、多选题：本题共1小题，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在平行四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列结论不正确的是( )
A. AB=CD，BC=AD
B. AD+OD=AO
C. AO+OD=AC+CD
D. AB+BC+CD=DA
三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。
10.已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a−b|=1，则(a−b)⋅(b−c)的最大值为______.
11.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足AP=12(AB+AC)，则PB⋅PD=______.
四、解答题：本题共1小题，共8分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
12.(本小题8分)
化简下列各式：
(1)3(6a+b)−9(a+13b)；
(2)12[(3a+2b)−(a+12b)]−2(12a+38b)；
(3)2(5a−4b+c)−3(a−3b+c)−7a.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵AB+CD−OB−CO=AB+CD−(CO+OB)=AB+CD−CB=AB+BD=AD，
故选：D.
利用向量的加减法运算法则可得答案．
本题考查向量的加减法运算法则的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：∵单位向量的方向任意，
∴当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，故A选项错误，
向量AB与向量BA是相反向量，方向相反，长度相等，故B选项正确，
当a=0 时，a|a|没有意义，故C选项错误，
零向量的方向是任意的，故D选项错误．
故选：B.
根据零向量，单位向量的概念，以及相反向量模长相等的公式，即可求解．
本题主要考查了零向量，单位向量的概念，以及模长的求解，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：在四边形ABCD中，BA=CD，可得四边形ABCD的形状一定平行四边形，又|AB|=|AD|，因此平行四边形是菱形．
故选：C.
利用向量的平行四边形法则、菱形的定义即可判断出结论．
本题考查了向量的平行四边形法则、菱形的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵a,b不共线，∴la+b≠0，且AB与AC共线，
∴存在实数λ，使a+kb=λ(la+b)，
∴λl=1k=λ，∴kl−1=0.
故选：D.
根据题意知la+b≠0，然后根据AB与AC共线可得出a+kb=λ(la+b)，从而可得出k，l应满足的关系式．
本题考查了共线向量和平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：∵BC=AC−AB
∴BC2=(AC−AB)2=AC2−2AC⋅AB+AB2
∵|AB|=8且|AC|=5
∴BC2=(AC−AB)2=64−2AC⋅AB+25=89−2AC⋅AB
∵−40≤AC⋅AB≤40，
当AC、AB夹角为180∘时，左边取等号；当AC、AB夹角为0∘时，右边取等号
可得−80≤−2AC⋅AB≤80
∴BC2=89−2AC⋅AB∈[9,169]
由此可得|BC|的取值范围是[3,13]
故选：A.
根据平面向量减法法则，得BC=AC−AB，从而将BC2化简整理得BC2=89−2AC⋅AB.讨论AC、AB夹角可得−40≤AC⋅AB≤40，由此代入前面的式子即可得到BC2的取值范围，进而得到|BC|的取值范围．
本题给出向量AC、AB的模，求向量BC模的取值范围，着重考查了平面向量减法法则和平面向量数量积的运算性质等知识，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：设a与b的夹角为θ，
则csθ=a⋅b|a||b|=−125×3=−45，
∴向量a在向量b上的投影向量为|a|csθ⋅b|b|=5×(−45)×b3=−43b.
故选：B.
由已知利用数量积求a与b的夹角，再由投影向量的概念求解．
本题考查由数量积求夹角，考查投影向量的概念，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意，设向量a，b的夹角为θ，
若c=2a+b，且c⊥b，则c⋅b=(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=2 3csθ+3=0，
解可得：csθ=− 32，
又由0≤θ≤π，则θ=5π6；
故选：D.
根据题意，设向量a，b的夹角为θ，分析可得c⋅b=(2a+b)⋅b=2a⋅b+b2=2 3csθ+3=0，解可得csθ的值，结合θ的范围分析可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：A.如果a，b满足|a|>|b|，且a与b同向，由于向量不能比较大小，故A错；
B.对于任意向量a、b，由向量的三角形法则和三角形三边大小关系可得，
|a+b|≤|a|+|b|，故B正确；
C.|a⋅b|=|a|⋅|b|⋅cs≤|a|⋅|b|，故C错；
D.可举a=(3,0)，b=(1,0)，则|a−b|=2=|a|−|b|，故D错．
故选：B.
A.由于向量不能比较大小，即可判断出；
B.由向量的三角形法则和三角形三边大小关系即可判断出；
C.由向量的数量积的定义和余弦函数的值域，即可判断；
D.可取同向的两向量，比如a=(3,0)，b=(1,0)，即可判断．
本题考查两向量的运算的性质，两向量和的模不大于模的和，差的模不小于模的差，同时考查向量的数量积的性质，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，因为平行四边形ABCD，
所以AB//CD，且AB=CD，
AB=DC，故A错误；
对于B，因为AD−AO=OD，
所以AD−OD=AO，故B错误；
对于C，因为AO+OD=AD，AC+CD=AD，
所以AO+OD=AC+CD，
故C正确；
对于D，因为AB+BC+CD=AC+CD=AD，
故D错误；
故选：ABD.
根据向量的相等可判断A；
由向量的加减运算法则可验证B，C，D是否正确．
本题考查了向量的相等，向量的运算，属于基础题．
10.【答案】12
【解析】解：由|a−b|=1，得|a−b|2=a2−2a⋅b+b2=2−2a⋅b=1，则a⋅b=12，
∴(a−b)⋅(b−c)=a⋅b−a⋅c−b2+b⋅c=12−1−(a−b)⋅c
=−12−|a−b|⋅|c|cs=−12−cs，
∵cs∈[−1,1]，∴(a−b)⋅(b−c)∈[−32,12]，
即(a−b)⋅(b−c)的最大值为12.
故答案为：12.
把已知等式平方求得a⋅b，化简(a−b)⋅(b−c)，结合余弦函数的有界性得答案．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查运算求解能力，是中档题．
11.【答案】−1
【解析】解：建立坐标系如图，正方形ABCD的边长为2，
则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，点P满足AP=12(AB+AC)，
所以P(2,1)，PB=(0,−1)，PD=(−2,1)，
所以PB⋅PD=−1.
故答案为：−1.
画出图形，判断P的位置，利用向量的坐标运算求解向量的数量积即可．
本题考查向量的数量积的求法与应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
12.【答案】解：(1)3(6a+b)−9(a+13b)
=18a+3b−9a−3b=9a；
(2)12[(3a+2b)−(a+12b)]−2(12a+38b)
=32a+b−12a−14b−a−34b=0；
(3)2(5a−4b+c)−3(a−3b+c)−7a
=10a−8b+2c−3a+9b−3c−7a
=b−c.
【解析】由平面向量的线性运算依次化简即可．
本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．