2024年湖北省孝感市汉川市中考一调数学试题

这是一份2024年湖北省孝感市汉川市中考一调数学试题，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A.B.C.D.
2.下列事件中，是必然事件的是（ ）
A.一个不透明的袋子中只装有2个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球，结果是红球
B.抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1∼6的骰子，朝上一面的数字小于7
C.从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品
D.打开电视，正在播放广告
3.如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，的夹角为150°，弧长为，则半径的长为（ ）
A.50cmB.60cmC.120cmD.30cm
4.把如图所示的五角星图案，绕着它的中心旋转，若旋转后的五角星能与自身重合.则旋转角至少为（ ）
A.30°B.45°C.60°D.72°
5.已知电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：（或者），实际生活中，由于给定已知量不同，因此会有不同的可能图象，图象不可能是（ ）
A.B.
C.D.
6.学生甲与学生乙玩一种转盘游戏.如图是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示.固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线、则都重转一次.在该游戏中乙获胜的概率是（ ）
A.B.C.D.
7.如图，是的弦，交于点C，点是上一点，，则的度数为（ ）
A.30°B.40°C.50°D.60°
8.如图，函数与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，连接，.则四边形的面积为（ ）
A.12B.8C.6D.4
9.已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（ ）
A.相切B.相离C.相交D.相切或相交
10.如图是二次函数图象的一部分，对称轴为，且经过点.下列说法：
①；；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）.其中说法正确的是（ ）
A.③④⑤B.①②④C.①④⑤D.①③④⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知一元二次方程，将其化成二次项系数为正数的一般形式后，它的常数项是______.
12.五张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、矩形、等边三角形、直角三角形、平行四边形图案.现把它们正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为______.
13.中，，，.把它沿所在直线旋转一周，所得几何体的全面积为______.
14.抛物线的顶点坐标是______.
15.在等腰直角三角形中，，，如果以的中点O为旋转中心，将旋转180°，使点B落在点处，那么点和B的距离是______cm.
16.如图矩形的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点D为对角线的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点D，且与，分别交于E，F两点，若四边形的面积为9，则k的值为______.
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题6分）
用适当的方法解下列方程.
（1）；
（2）.
18.（本小题7分）
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点的坐标分别为，，.
（1）画出绕点O逆时针旋转90°后；
（2）在（1）的条件下，求线段扫过的图形的面积（结果保留）.
19.（本小题9分）
在一个不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个，黄球有1个.
（1）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；
（2）若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小聪共摸6次小球（每次摸1个球，摸后放回）得22分，问小聪有哪几种摸法？
20.（本小题9分）
已知直线与双曲线在第一象限交于点A，B，连接，过点A作轴于点C，若.
（1）求两个函数解析式；
（2）求直线在双曲线上方时x的取值范围.
21.（本小题9分）
在等腰中，，点D为的中点，E为边上一点，将线段绕点E按逆时针方向旋转90°得到，连接，.
图1 图2
（1）如图1，若点E与点C重合，与相交于点O，求证：.
（2）如图2，若点G为的中点，连接.过点D、F作于点N，于点M，连结.若，，求的长.
22.（本小题9分）
已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
（1）求k的取值范围：
（2）若，试求k的值.
23.（本小题10分）
如图，是的直径，点C在的延长线上，与相切于点D，交的延长线于点E.
（1）求证：；
（2）若，.求：
①的长：
②的长.
24.（本小题13分）
如图1，抛物线与直线相交于，两点，与x轴交于点.
图1 图2 （备用图）
（1）则抛物线的解析式为______；
（2）如图2，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点C重合），过点P作直线轴于点D，交直线于点E，连接，，设点P的横坐标为m，
①当时，求P点坐标；
②当点P在抛物线上运动的过程中，存在点P使得以点B，E，C为顶点的等腰三角形，请求出此时m的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A，是一元二次方程，符合题意；
B、是一元一次方程，不符合题意；
C、是一元一次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不符合题意，
故选：A.
利用一元二次方程的定义判断即可，
此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键.
2.【答案】B
【解析】解：A、一个不透明的袋子中只装有2个黑球，搅匀后从中随机摸出一个球，结果是红球，是不可能事件，故A不符合题意；
B、抛掷一枚质地均匀且6个面上分别标上数字1∼6的骰子，朝上一面的数字小于7，是必然事件，故B符合题意；
C、从车间刚生产的产品中任意抽取一个是次品，是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放广告，是随机事件，故C不符合题意；
故选：B.
根据随机事件、必然事件、不可能事件的特点，逐一判断即可解答.
本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件、必然事件、不可能事件的特点是解题的关键.
3.【答案】B
【解析】解：∵，弧长为，
∴，
∴
故选：B.
利用弧长公式求解即可，
本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式
4.【答案】D
【解析】解：该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，因而A、B、C都错误，能与其自身重合的是D.
故选：D.
五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合.
本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.
5.【答案】A
【解析】解：当U一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为，I与R反比例函数关系，但R不能小于0，所以图象A不可能，B可能；
当R一定时，电压U、电流I、电阻R三者之间的关系式为：，U和I成正比例函数关系，所以C、D均有可能，故选：A.
分不同的已知量分别讨论后即可确定符合题意的选项.
本题考查了反比例函数的图象，正比例函数的图象，解题的关键是能够根据不同的定值确定函数关系类型，难度不大.
6.【答案】C
【解析】解：所有出现的情况如下，共有16种情况，积为奇数的有4种情况，
所以在该游戏中甲获胜的概率是.
乙获胜的概率为.
故选：C.
列举出所有情况，看两指针指的数字和为奇数的情况占总情况的多少即可.
本题主要考查用列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率.
7.【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C.
根据垂径定理，推出，可得，由同弧所对的圆周角等于圆心角的两倍解题即可.
本题考查圆的性质，其中涉及垂径定理、圆周角定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.
8.【答案】A
【解析】解：∵过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，
∴，
又∵，，
∴，
∴四边形的面积为：.
故选：A.
首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即，得出，再根据反比例函数的对称性可知：，，即可求出四边形的面积.
本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即；同时考查了反比例函数图象的对称性.
9.【答案】B
【解析】解：设的半径为r，
解一元一次方程得，，
∵的半径是一元二次方程的一个根，
∴，
∵圆心O到直线l的距离，
∴，
∴直线l与相离，
故选：B.
设的半径为r，解一元一次方程得，，则，所以，可知直线l与圆O相离，于是得到问题的答案.
此题重点考查一元一次方程的解法，直线与圆的位置关系等知识与方法，求出一元一次方程的解并且判断圆心O到直线l的距离d与的半径r之间的大小关系是解题的关键.
10.【答案】D
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴，
∴，所以①正确；
∵抛物线经过点，
∴时，，
∴，所以②错误：
∵对称轴为，且经过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴，
∴，
∴，所以③正确：
∵点离对称轴要比点离对称轴要远，
∴，所以④正确：
∵抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，，
∵，
∴，即（其中），所以⑤正确.
故选：D.
根据抛物线开口方向得到，根据抛物线的对称轴得，则，根据抛物线与y轴的交点在x轴上方得到，则，于是可对①进行判断：由于经过点，则得到，则可对②进行判断；根据对称轴和一个与x轴的交点，求得另一个交点，由根与系数的关系即可得出，则得到，于是可对③进行判断：通过点，离对称轴的远近对④进行判断：根据函数的最值可对⑤进行判断.
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右.（简称：左同右异）.抛物线与y轴交于.抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点.
11.【答案】
【解析】解：，
去括号，得，
合并，得，
所以常数项是.
故答案为：.
先把化方程为一般式，从而得到常数项.
本题考查了一元二次方程的一般式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式.这种形式叫一元二次方程的一般形式.其中叫做二次项，a叫做二次项系数；叫做一次项；c叫做常数项.一次项系数b和常数项c可取任意实数.
12.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了概率公式和中心对称图形的定义，要弄清概率公式适用的条件方可解题.
先判断出圆、矩形、等边三角形、等腰梯形中的中心对称图形，再根据概率公式解答即可.
【解答】
解：圆、矩形、等边三角形、直角三角形、平行四边形中，中心对称图形有圆，矩形，平行四边形共3个；
则P（中心对称图形）.
故答案为：.
13.【答案】
【解析】解：中，∵，，.
∴，
∵沿边所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，
所以所得到的几何体的全面积.
故答案为：.
先利用勾股定理得，由于沿边所在的直线旋转一周所得几何体为圆锥，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为3，然后计算它的侧面积和底面积的和即可.
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
14.【答案】
【解析】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
故答案为：.
将二次函数解析式化为顶点式，进而求解.
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，
15.【答案】
【解析】解：∵，O为的中点，
∴，
根据勾股定理，，
∴
故答案为：.
根据旋转和中心对称的性质，得，根据勾股定理求出的长即可.
此题主要考查了中心对称图形、等腰直角三角形和旋转的性质，关键是掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
16.【答案】6
【解析】解：设D点坐标为，
∵点D为对角线的中点，
∴，
∵四边形为矩形，
∴E点的横坐标为2a，F点的纵坐标为，
∴，，
∵四边形的面积，
∴，
∴.
故答案为：6.
根据反比例函数图象上点的坐标特征设D点坐标为，由点D为对角线的中点，可得，再分别表示出，，利用四边形的面积得到，然后解方程即可得到k的值.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数（k为常数，）的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即.
17.【答案】解：（1），
，
∴或，
∴，；
（2）∵，
∴，，，
∴，
∴，
∴，.
【解析】（1）利用因式分解法求解即可：
（2）利用公式法求解即可.
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
18.【答案】解：（1）绕点O逆时针旋转90°后的如图所示；
（2）∵，，
∴线段扫过的图形的面积.
【解析】（1）依据旋转变换的性质画出图形即可；
（2）依据图形面积的和差关系，可得扫过的面积扇形的面积扇形的面积，由此计算即可.
本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键.
19.【答案】解：（1）列表如下：
共12种等可能的结果，其中两次摸到都是红球的有2种，
∴两次摸到都是红球的概率为；
（2）设小聪摸到红球有x次，摸到黄球有y次，则摸到蓝球有次，
由题意得，
即，
∴
∵x、y、均为自然数，，，
∴，
∴当时，，；
当时，，；
当时，，.
综上：小聪共有三种摸法：摸到红、黄、蓝三种球分别为2次、4次、0次或3次、2次、1次或4次、0次、2次.
【解析】（1）根据树状图法，找准两点：全部情况的总数；符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.
（2）根据总分值得到相应的整数解即可.
此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比.
20.【答案】解：（1）设，
∵，
∴，
∴，
∴一次函数解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）联立，得，解得，，
∴A的横坐标为1，B的横坐标为6，
观察图象，直线在双曲线上方时x的取值范围是.
【解析】（1）利用三角形的面积即可求得m的值，进一步得到函数的解析式；
（2）解析式联立，求得A、B的横坐标，然后根据图象求得即可.
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，由三角形面积求得m的值是解题的关键.
21.【答案】（1）证明：∵将线段绕点E按逆时针方向旋转90°得到，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点D，点G分别是，的中点，
∴.
【解析】（）通过证明四边形是平行四边形，可得，即可求解：
（2）由“AAS”可证，可得，由等腰直角三角形的性质可求的长，由三角形中位线定理可求的长.
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.
22.【答案】解：（1）方程中，
，，，
由题意可知：，
解得：；
（2）∵是关于x的一元二次方程的根，
∴，即，
∵，
∴，即：①.
②，
联立①②解得：
即：，
解得：.
【解析】（1）因为方程有两个实数根，得到，由此可求k的取值范围；
（2）由一元二次方程的解的定义得出两根之和与两根之差的关系，解出两根，然后让代入即可求得k.
本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根的判别式是解题关键.
23.【答案】（1）证明：连接，
∵是切线
∴，
即，
∵为的直径，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
∴；
②∵，
，
∴弧的长为：.
【解析】（1）连接，由是切线，得到，根据为的直径，得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到，即可得到结论；
（2）①根据垂直的定义得到，根据平行线的性质得到，根据相似三角形的性质得到，解方程得到，在根据三角函数求出；
②根据弧长公式计算即可；
本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键.
24.【答案】
【解析】解：（1）把，，，代入抛物线解析式得：
，解得 ，
∴抛物线解析式为，
故答案为：；
（2）①∵点P的横坐标为m，
∴，则，，
则，，
∵，
∴，
当时，解得或，但当时，P与A重合不合题意，舍去，
∴；
当时，解得或，但当时，P与A重合不合题意，舍去，
∴；
综上可知P点坐标为或；
②∵，，，，
∴，
，
，
当为等腰三角形时，则有、或三种情况，
当时，则，
解得；
当时，则，解得或；
当时，则，
解得或（舍去）：
综上可知，存在点P使得以点B，E，C为顶点的等腰三角形，此时m的值为或或或0.
（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式：
（2）①可得出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出和的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；
②由E，B，C三点坐标可表示出，和的长，由等腰三角形的性质可得到关于m的方程，即可求解.
本题为二次函数的综合题，考查了待定系数法、勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在（川）中注意待定系数法的应用，在（2）①中用P点坐标分别表示出和的长是解题关键，在（2）②中用P点坐标表示出，和的长是解题的关键，注意分三种情况讨论.本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中.
积
1
2
3
4
1
1
2
3
4
2
2
4
6
8
3
3
6
9
12
4
4
8
12
16
红1
红2
蓝
黄
红1
（红1，红2）
（红1，蓝）
（红1，黄）
红2
（红2，红1）
（红2，蓝）
（红2，黄）
蓝
（蓝，红1）
（蓝，红2）
（蓝，黄）
黄
（黄，红1）
（黄，红2）
（黄，蓝）