初中11.3.2 多边形的内角和教学课件ppt

这是一份初中11.3.2 多边形的内角和教学课件ppt，共27页。PPT课件主要包含了回顾旧知，小试牛刀，与边数无关，能力提升，思维拓展，课后作业等内容，欢迎下载使用。

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
3.从n边形的一个顶点出发，可以引出_______条对角线，将多边形 分割成了________个三角形.
2.什么是多边形的对角线？
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
合作探究---多边形内角和
思考1：三角形的内角和等于180°，长方形、正方形的内角和都等于______.
任意四边形的内角和是否也等于360°呢？你能用三角形内角和证明四边形的内角和等于360 ？
方法1：如图，连接AC,所以四边形被分为两个三角形，所以四边形ABCD内角和为180°×2=360°.
想一想，还有别的做法吗？
方法2：如图，在CD边上任取一点E，连接AE,DE，所以该四边形被分成三个三角形，所以四边形ABCD的内角和为180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
方法3：如图，在四边形ABCD内部取一点E，连接AE,BE,CE,DE，把四边形分成四个三角形：△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.所以四边形ABCD内角和为：180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°.
方法4：如图，在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD内角和为180° ×3－ 180° = 360°.
这四种方法都运用了转化思想，把四边形分割成三角形，转化到已经学了的三角形内角和求解.
结论： 四边形的内角和为360°.
思考2：你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方法求五边形和六边形内角和吗?
内角和为180°×3 = 540°.
内角和为180°×4 = 720°.
180°×3=540°
180°×4=720°
180°×(n － 2)
由特殊到一般：n 边形的内角和等于（n －2）×180°
1.七边形的内角和等于( ) A.360° B.900° C.1080° D.1260°
2.在四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝3∶1∶2∶3，则该四边形中最大的角的度数是 .
3、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由.
如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°.
∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180 °= 360 °，
∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =180°.
如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
变式训练：如图，在四边形ABCD中， ∠A与∠C互补， BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证：△DCF为直角三角形．
证明：∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠CDF+∠EBF=90°，∵BE∥DF，∴∠EBF=∠CFD，∴∠CDF+∠CFD=90°，故△DCF为直角三角形．
4、已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°．（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，说明理由；
解：∵360°÷180°=2， 630°÷180°=°， ∴甲的说法对，乙的说法不对， 360°÷180°+2=4． 故甲同学说的边数n是4；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
解：依题意有（n+x-2）×180°-（n-2）×180°=360°，解得x=2．故x的值是2．
合作探究---多边形外角和
思考3：在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.你能求出六边形的外角和吗？
解：∵六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180 °，∴六边形的6个外角加上与它们相邻的内角，所得总和等于6×180°.∴六边形外角和=总和－内角和 =6×180°－（6－2）×180°=2×180°=360°
由特殊到一般：在n边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做n边形的外角和．
n边形的外角和等于360°.
－(n－2) × 180°
=n个平角-n边形内角和
思考4：n边形的外角和又是多少呢？
问题4：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
练一练：(1)若一个正多边形的内角是150 °,那么这是正 ____边形.(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是 ______边形.
1、已知一个多边形，它的内角和等于外角和的2倍，求这个多边形的 边数.
解： 设多边形的边数为n. ∵它的内角和等于 (n－2)•180°，多边形外角和等于360°， ∴ (n－2)•180°=2× 360º. 解得 n=6. ∴这个多边形的边数为6.
2、 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？
解：设这个多边形边数为n，则 （n-2）•180=360+720， 解得n=8， ∵这个多边形的每个内角都相等， （8-2）×180°=1080°， ∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°．
1.四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°. (1)如图①，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出 ∠C的度数；
解：(1)∵BE∥AD，∴∠A＋∠ABE＝180°，即140°＋∠ABE＝180°，∴∠ABE＝40°，∴∠ABC＝80°，由∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＝360°，得∠C＝360°－140°－80°－80°＝60°
2、 已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°,根据题意得:
即每个内角是140 °，每个外角是40 °.
360° ÷40 °=9.
答：这个多边形是九边形.
1.四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°. (2)如图②,若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,试求出∠BEC的度数.
(2)∵∠EBC＝ ∠ABC，∠ECB＝ ∠BCD，由∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°得140°＋2∠EBC＋2∠ECB＋80°＝360°，∴∠EBC＋∠ECB＝70°，∴∠BEC＝110°
3、一个正多边形的一个外角比一个内角大60°，求这个多边形的每个内角的度数及边数．
解：设该正多边形的内角是x°，外角是y°，则得到一个方程组 解得而任何多边形的外角和是360°，则该正多边形的边数为360÷120=3，故这个多边形的每个内角的度数是60°，边数是三条．
4、 一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和.
解：∵1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.
1、如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7的度数.
解：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°.
今天我们收获了哪些知识？
1.说一说多边形内角和公式？ 2.在探究多边形内角和公式中，连接对角线起到什么作用？ 3.多边形的外角和等于多少？ 4.正多边形的一个外角和一个内角的公式是什么？