第11章 《三角形》 初中数学人教版八年级上册专题课件

这是一份第11章 《三角形》 初中数学人教版八年级上册专题课件，共39页。
综合专题讲解第十一章 三角形专题目录专题一：与角平分线有关的模型专题三：不规则多边形中的角度和专题二：三角形中常见的数学思想方法专题四：探索多边形边数及角度问题专题一：与角平分线有关的模型类型一：两内角平分线的夹角例1 如图，在 △ABC 中，P 是 ∠ABC 和 ∠ACB 的平分线的交点.有位同学得出 ∠BPC＝90°＋ ∠A 的结论，你认为正确吗？请给出理由.∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)分析：解：正确. 理由如下：∵BP 平分∠ABC，CP 平分 ∠ACB，∴∠PBC＋∠PCB＝ (∠ABC＋∠ACB)＝ (180°－∠A)＝90°－ ∠A.∴∠BPC＝180°－(∠PBC＋∠PCB)＝180°－(90°－ ∠A)＝90°＋ ∠A.例2 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，BE 平分 ∠ABC 交 AD 于点 E.若 ∠BED＝45°，则∠C 的度数为____.90°∠BED＝∠EAB＋∠EBA＝ (∠CBA＋∠CAB)分析：例3 如图，在 △ABC 中，∠A＝80°，点 O 是∠ABC 和 ∠ACB 的平分线的交点，点 P 是∠BOC 和∠OCB 的平分线的交点. 若∠OPC＝100°，则 ∠ACB 的度数为____.60°求∠ACB 求∠ABC ∠OPC = 90°＋ ∠OBC 求∠OBC 分析：例4 如图，BD，CD 分别是 ∠ABC，∠ACB 的三等分线(∠DBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB)，则∠D 与 ∠A 之间存在的数量关系是__________________.分析：【总结】若 BD，CD 分别是 ∠ABC，∠ACB 的 n 等分线(∠DBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB)，则∠D 与 ∠A 之间存在的数量关系是 ∠D＝180°－ (180°－∠A).类型二：　一内角平分线与一外角平分线的夹角例5 如图，在 △ABC 中，E 是边 BC 延长线上一点，∠ABC 的平分线 BO 与∠ACE 的平分线 CO 交于点 O.求证： .∠BOC＝∠ECO－∠OBC ＝分析：例6 (1) 如图，BO 平分△ABC 的外角∠CBD，CO 平分△ABC 的外角 ∠BCE，则 ∠BOC 与 ∠A 的关系为 ；(2) 请就(1)中的结论进行证明.类型三：两外角平分线的夹角证明：如图，∵ BO，CO 分别是 △ABC 的外角∠DBC，∠ECB 的平分线，∴∠DBC＝2∠1＝∠ACB＋∠A，∠ECB＝2∠2＝∠ABC＋∠A.∴2∠1＋2∠2＝∠A＋∠A＋∠ABC＋∠ACB＝∠A＋180°.∴∠1＋∠2＝ ∠A＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC＝180°，∴∠BOC＝180°－(∠1＋∠2)例7 如图所示，AB，CD 相交于点 E，CF，BF 分别为∠ACD 和∠ABD 的平分线且相交于点 F，求证： .类型四：蝴蝶型两角平分线夹角∠F +∠3＝∠A +∠1∠F +∠2＝∠D +∠4∠1＝∠2，∠3＝∠4分析：类型五：三角形一内角平分线与一高的夹角例8 (金牛区校级期中)如图，AD 是 △ABC 的高，AE 是△ABC 的角平分线，若∠B＝48°，∠C＝68°，则∠DAE 的度数是 (　　)A. 10° B. 12° C. 14° D. 16°A∠DAE＝∠CAE-∠CAD∠CAD＝90°-∠C∠DAE＝10°分析：∠CAB＝180° -∠C -∠B1.(湖州期末)如图，在 △ABC 中，AE 是 △ABC 的角平分线，D 是 AE 延长线上一点，DH⊥BC 于点 H.若 ∠B＝30°，∠C＝50°，则 ∠EDH＝ 　.10°∠B+∠BAC+∠C＝180°∠EDH＝10°分析：专题二：三角形中常见的数学思想方法类型一：方程思想例1 在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，∠A 的 3 倍与∠B 的 2 倍相等，∠B 的 5 倍与∠C 的 6 倍相等，求∠A：∠B：∠C：∠D.解得 x＝80°.所以∠A＝80°，∠B＝120°，∠C＝100°，∠D＝60°.所以∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝4∶6∶5∶3.1.(安庆期末)已知 △ABC 中，∠A 比它相邻的外角小10°，则∠B+∠C 为 (　　) A. 85° B. 95° C. 100° D. 110°B 2.(江都区期中)如图，△ABC 的面积为 18，BD＝2DC，AE＝EC，那么阴影部分的面积是_____.连接 FC 设 S△DFC = x，S△EFC = yS△BFD = 2x，S△AEF = yS△BEC = 9，S△ADC = 6分析：例2 (平泉市期末)已知：∠MON＝40°，OE 平分∠MON，点 A、B、C 分别是射线 OM、OE、ON 上的动点(A、B、C 不与点 O 重合)，连接 AC 交射线 OE 于点 D. 设∠OAC＝x°.(1)如图1，若 AB∥ON，则①∠ABO 的度数是 　 　；②当∠BAD＝∠ABD 时，x＝　 　；当∠BAD＝∠BDA 时，x＝　 　.20°12060类型二：分类讨论思想图1E(2)如图2，若 AB⊥OM，则是否存在这样的 x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由.(2) ①当点 D 在线段 OB 上时，∵OE 是 ∠MON 的角平分线，∴∠AOB = ∠MON＝20°.∵AB⊥OM，∴∠AOB +∠ABO＝90°.∴∠ABO＝70°.若∠BAD＝∠ABD＝70°，则 x＝20.若∠BAD＝∠BDA＝ (180°﹣70°)＝55°，则 x＝35.若∠ADB＝∠ABD＝70°，则∠BAD＝180°﹣2×70°＝40°，∴x＝50.图2EDC②当点 D 在射线 BE 上时，∵∠ABE＝110°，且三角形的内角和为180°，∴只有∠BAD＝∠BDA，此时 x＝125．综上可知，存在这样的 x 的值，使得 △ADB 中有两个相等的角，且 x＝20、35、50、125．ED例3 (武汉校级期中)(1)如图1，将△ABC 纸片沿着 DE 对折，使点 A 落在四边形 BCDE 内点 A′ 的位置，探索∠A，∠1，∠2 之间的数量关系，并说明理由.类型三：转化思想∠1+∠2＝2∠BAC∠1＝∠BAA′+∠AA′E∠2＝∠CAA′+∠AA′D∠1+∠2＝∠BAC +∠DA′E∠BAC＝∠DA′E图1分析：连接 AA′12(2)如图2，继续这样的操作，把△ABC 纸片的三个角按(1)的方式折叠，三个顶点都在形内，那么∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 的度数是　 　.∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝∠B+∠B'+∠C+∠C'+∠A+∠A'∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝2(∠B+∠C+∠A)＝360°图2分析：360°(3)如果把 n 边形纸片也做类似的操作，n 个顶点都在形内，那么∠1+∠2+∠3+…+∠2n 的度数为____________ (用含有 n 的代数式表示).∠1+∠2+∠3+…+∠2n＝2(∠B+∠C+∠A)(n﹣2)＝360°(n﹣2)．360°(n﹣2)图2分析：4.(凉山州期末)如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝(　　)°A.180 B.270 C.360 D.540把∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6 全部转化到 ∠2，∠3 所在的四边形中.C分析：专题三：不规则多边形中的角度和类型一　运用“A字形”结论求角度和【模型与结论】如图，∠ADE＋∠AED＝∠ABC＋∠C.1.如图，已知∠A＝40°，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数.解：∵∠A＝40°，∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4＝180°－∠A＝140°.∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝280°.例1【模型推理】如图①，求证：∠BOC＝∠A＋∠B＋∠C.证明：如图①，连接 AO 并延长.∵∠3 是 △ABO 的外角，∴∠1＋∠B＝∠3.∵∠4 是 △AOC 的外角，∴∠2＋∠C＝∠4.∴∠3＋∠4＝∠1＋∠B＋∠2＋∠C，即∠BOC＝∠BAC＋∠B＋∠C.类型二　运用“飞镖形”结论求角度和【模型与结论】如图，∠A＋∠D＝∠B＋∠C.例2 如图，A，B，C，D，E，F 是平面上的 6 个点，求 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 的度数.解：如图，连接 AF.易知∠C＋∠D＝∠DAF＋∠CFA，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝∠BAD＋∠DAF＋∠CFA＋∠CFE＋∠E＋∠B＝360°.类型三　运用“8字形”结论求角度和专题四：探索多边形边数及角度问题类型一：剪去一个角问题例1 (余干县月考)如图，将六边形纸片 ABCDEF 沿虚线剪去一个角(∠BCD)后，得到 ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝460°． (1)求六边形ABCDEF的内角和；(2)求∠BGD的度数．解：(1)六边形ABCDEF的内角和为：180°×(6﹣2)＝720°.(2)∵六边形ABCDEF的内角和为720°，1 +∠2 +∠3 +∠4 +∠5＝460°，∴∠GBC +∠C +∠CDG＝720°﹣460°＝260°.∴∠BGD＝360°﹣(∠GBC+∠C +∠CDG)＝100°.即∠BGD 的度数是 100°.1.(韶关期末)探索归纳：(1) 如图1，已知△ABC 为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2＝　 　．(2) 如图2，已知△ABC 中，∠A＝40°，剪去∠A 后成四边形，则∠1+∠2＝　 　．270°220°(3) 如图2，根据 (1) 与 (2) 的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2 与 ∠A 的关系是 　 　　 　．180°+∠A(4) 如图3，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图 3 形状，试探究 ∠1 +∠2 与 ∠A 的关系，并说明理由．解：(4)∵△EFP 是由△EFA 折叠得到的，∴∠AFE＝∠PFE，∠AEF＝∠PEF.∴∠1＝180°﹣2∠AFE，∠2＝180°﹣2∠AEF.∴∠1 +∠2＝360°﹣2(∠AFE+∠AEF).又∵∠AFE +∠AEF＝180°﹣∠A，∴∠1 +∠2＝360°﹣2(180°﹣∠A)＝2∠A.图3FE2．(淮阳区期末)将一个凸 n 边形剪去一个角得到一个新的多边形，其内角和为 1620°，求 n 的值．解：当原多边形不过顶点剪去一个角时，由 [(n+1)﹣2]·180°＝1620，解得：n＝10；当原多边形过一个顶点剪去一个角时，由 (n﹣2)·180°＝1620，解得：n＝11；当原多边形过两个顶点剪去一个角时，由 [(n﹣1)﹣2]·180°＝1620°，解得：n＝12．∴n＝10 或 11 或 12．类型二：多算、漏算、错算一个角问题例2 (宝应县校级月考)小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到 1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍.(1)若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？(2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？解：(1)设这个多边形的边数是 n，重复计算的内角的度数是 x°，则(n﹣2)·180°＝1840°﹣x°，180°×n＝2200﹣x°，∵ n 为正整数，∴n ＝12.故这个多边形的边数是 12．(2)设这个多边形的边数是 n，没有计算在内的内角的度数是 x°，则(n﹣2)·180°＝1840°+x，180°×n＝2200 + x°，∵ n 为正整数，∴n ＝12.∴漏算的那个内角：180°﹣40°＝140°.故漏算的那个内角是 140°，这个多边形是十三边形．3.(通山县校级月考)某同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是 1125°，老师指出他少加了一个内角的度数，你知道这个同学计算的是几边形的内角和吗？他少加的那个内角的度数是多少？解：设少加的度数为 x°，此多边形为 n 边形．∵ 1125 + x＝(n﹣2)×180，∴ x＝180(n﹣2)﹣1125.∵ 0＜x＜180，∴ 0＜180(n﹣2)﹣1125＜180.∴ 8.25＜n＜9.25.∴ n＝9，∴x＝135°．∴ 此多边形是九边形，少加的那个内角的度数是135°．