高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课堂检测

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课堂检测，共7页。试卷主要包含了单选题，四象限的角平分线，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，下列为正交分解的是( )
A. AB=OB−OA
B. BD=AD−AB
C. AD=AB+BD
D. AB=AC+CB
2.已知基向量i=(1,0)，j=(0,1)，m=4i−j，则m的坐标是( )
A. (4,1)B. (−4,1)C. (4,−1)D. (−4,−1)
3.已知基向量i=(1,0)，j=(0,1)，m=4i−j，n=i+3j，则m+n的坐标是( )
A. (1,−2)B. (3,−4)C. (5,2)D. (7,0)
4.已知向量AB=(2,−1)，点B的坐标为(−1,2)，那么点A的坐标为( )
A. (−3,1)B. (1,1)C. (3,−3)D. (−3,3)
5.如果将OA=( 32,12)绕原点O逆时针方向旋转120∘得到OB，则OB的坐标是( )
A. (−12, 32)B. ( 32,12)C. (−1, 3)D. (− 32,12)
6.已知平面向量a=(x,1)，b=(−x,x2)，则向量a+b( )
A. 平行于x轴B. 平行于第一、三象限的角平分线
C. 平行于y轴D. 平行于第二、四象限的角平分线
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
7.已知向量a=(1,2),b=(3,4)，则2a−b=______.
8.已知向量a=(x−2,1)，b=(−1,y+3)，且a=b，则实数x=______，y=______.
9.已知A(2,−3)，B(8,3)，若AC=2CB，则点C的坐标为______.
10.已知向量a=(2,−3,5)与向量b=(−4,x,y)平行，则x=______，y=______.
11.已知点A(0,1)，B(2,5)，C(x,−3)，则向量AB的坐标是__________；若A，B，C三点共线，则实数x=__________.
12.向量AB，BC，MN在正方形网格中的位置如图所示，若MN=λAB+μBC(λ,μ∈R)，则λμ=______.
三、解答题：本题共3小题，共36分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题12分)
已知A(2,−4)，B(−1,3)，C(3,4)，若CM→=2CA→+3CB→，求点M的坐标．
14.(本小题12分)
已知A(−1,−1)，B(1,3)，C(2,5)
(1)证明A，B，C三点共线；
(2)若AB=2CD，求点D的坐标．
15.(本小题12分)
已知点A(1,0)，B(0,2)，C(−2,tanα)，D(3,−6)，O为坐标原点，且OA−OB与OC+OD相等，求BA+BC的坐标.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：对于A，AB=OB−OA，但是OB与OA不垂直，故A错误；
对于B，BD=AD−AB，AD⊥AB，故B正确；
对于C，AD=AB+BD，但是AB与BD不垂直，故C错误；
对于D，AB=AC+CB，但是AC与CB不垂直，故D错误．
故选：B.
首先判断各个选项中的向量加减运算是否正确，接下来根据平面向量正交分解的定义逐一分析判断各选项即可．
本题考查平面向量的加、减法运算法则和正交分解的定义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：∵i=(1,0)，j=(0,1)，
∴m=4i−j=4(1,0)−(0,1)=(4,−1).
故选：C.
利用平面向量的坐标运算可得答案．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：∵i=(1,0)，j=(0,1)，m=4i−j，n=i+3j，
∴m+n=5i+2j=5(1,0)+2(0,1)=(5,2).
故选：C.
利用面向量的坐标运算可得答案．
本题考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：设点A的坐标为(x,y)，则AB=(−1−x,2−y)=(2,−1)，
所以−1−x=22−y=−1，解得x=−3y=3，
所以A(−3,3).
故选：D.
设出点A的坐标，利用坐标表示与向量相等列方程组求出即可．
本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：向量OA与x轴夹角的正切：tanα= 33，则α=30∘.
OA绕原点O点逆时针转120∘，到OB，OB与x轴正向夹角为120∘+30∘=150∘，
可见：OB与OA相对y轴对称．
因此B点的坐标为：B(− 32,12).
故选：D.
求出向量OA与x轴夹角的正切，可得α的值，再结合已知条件即可求出答案．
本题考查了旋转的性质，是基础题．
6.【答案】C
【解析】解：a+b=(0,1+x2)，1+x2≠0，
故a+b平行于y轴．
故选C
先做出两个向量的和，横标和纵标都用含x的代数式表示，结果和的横标为零，得到和向量与纵轴平行，要熟悉几种特殊的向量坐标特点，比如：与横轴平行的向量、与纵轴平行的向量．
本题要求从坐标判断向量的特点，即用到向量的方向又用到向量的大小，大小和方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．
7.【答案】(−1,0)
【解析】解：根据题意，向量a=(1,2),b=(3,4)，
则2a=(2,4)，
则2a−b=(−1,0)；
故答案为：(−1,0).
根据题意，由向量的坐标计算公式计算可得2a=(2,4)，进而计算可得答案．
本题考查向量的坐标计算，关键是掌握向量的坐标计算公式．
8.【答案】1−2
【解析】解：知向量a=(x−2,1)，b=(−1,y+3)，且a=b，
可得x−2=−1，1=y+3，解得x=1，y=−2.
故答案为：1；−2.
直接利用相等向量，列出方程求解即可．
本题考查向量相等条件的应用，基本知识的考查．
9.【答案】(6,1)
【解析】解：设C(x,y)，
∵A(2,−3)，B(8,3)，AC=2CB，
∴(x−2,y+3)=2(8−x,3−y)=(16−2x,6−2y)，
∴x−2=16−2xy+3=6−2y，解得x=6，y=1，
∴点C的坐标为(6,1).
故答案为：(6,1).
利用平面向量坐标运算法则直接求解．
本题考查点的坐标的求法，考查平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】6−10
【解析】解：当向量a=(2,−3,5)与向量b=(−4,x,y)平行时，
有−42=x−3=y5，
解得x=6，y=−10.
故答案为：6，−10.
根据空间向量的共线定理，得出关于x、y的方程组，求出解即可．
本题考查了空间向量的共线定理与应用问题，是基础题目．
11.【答案】(2,4) ； 2
【解析】解：已知点A(0,1)，B(2,5)，C(x,−3)，
AB=(2,4)，
若A，B，C三点共线，则AB与AC共线，
由AC=(x,−4)，
由向量共线定理，4x=−8，x=−2，
故答案为：(2,4)；−2
直接求出向量AB=(2,4)，A，B，C三点共线，则AB与AC共线，由向量共线定理，求出x即可．
考查向量的运算，向量共线定理的应用，基础题．
12.【答案】2
【解析】解：如图，作向量i,j，则：
AB=i+5j,BC=6i−4j，MN=4i+3j；
∴MN=λAB+μBC=λ(i+5j)+μ(6i−4j)=(λ+6μ)i+(5λ−4μ)j；
∴根据平面向量基本定理得，λ+6μ=45λ−4μ=3；
解得λ=1μ=12；
∴λμ=2.
故答案为：2.
可在图中作出向量i,j，根据图形便可得出AB=i+5j,BC=6i−4j，MN=4i+3j，根据MN=λAB+μBC进行向量的数乘运算便可得出MN=(λ+6μ)i+(5λ−4μ)j，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的二元一次方程组，解出λ，μ，从而便可求出λμ的值．
考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，平面向量基本定理．
13.【答案】解：∵A(2,−4)，B(−1,3)，C(3,4)，
∴CA→=(−1,−8)，CB→=(−4,−1)，
设M(x,y)，则CM→=(x−3,y−4)，
∵CM→=2CA→+3CB→，
∴(x−3,y−4)=(−2,−16)+(−12,−3)=(−14,−19)，
∴x−3=−14y−4=−19，解得x=−11，y=−15，
∴M(−11,−15).
【解析】利用平面向量坐标运算法则求解．
本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．
14.【答案】解：(1)∵A(−1,−1)，B(1,3)，C(2,5)
∴AB=(1,3)−(−1,−1)=(2,4)，AC=(2,5)−(−1,−1)=(3,6)
可知AC=32AB，故AC//AB
∴A，B，C三点共线；
(2)AB=2CD，设D(x,y)
则可知(2,4)=2(x−2,y−5)
即2(x−2)=22(y−5)=4解得x=3y=7
∴D(3,7)
【解析】(1)先根据A(−1,−1)，B(1,3)，C(2,5)求出向量AB与AC，根据AB=λAC可得A，B，C三点共线；
(2)设D(x,y)，根据AB=2CD建立等式，解之即可求出点D的坐标．
本题主要考查了平面向量的坐标运算，以及三点共线的证明，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
15.【答案】解：∵OA=(1,0),OB=(0,2)，OC=(−2,tanα),OD=(3,−6)，
∴OA−OB=(1,−2)，OC+OD=(1,tanα−6)，
∴(1,−2)=(1,tanα−6)，
∴tanα=4，
∴OC=(−2,4)，
∴BA=OA−OB=(1,−2)，BC=OC−OB=(−2,2)，
∴BA+BC=(1,−2)+(−2,2)=(−1,0).
【解析】根据条件可得出OA=(1,0),OB=(0,2)，OC=(−2,tanα),OD=(3,−6)，根据OA−OB=OC+OD即可求出C点的坐标，进而可求出BA+BC的坐标．
本题考查了向量坐标的定义，向量坐标和点的坐标的关系，考查了计算能力，属于基础题．