四川省泸县第四中学2024届高三上学期开学考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份四川省泸县第四中学2024届高三上学期开学考试数学（文）试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知复数,则( )
A.B.C.D.
2．已知一组数据的频率分布直方图如图所示，则数据的中位数估计值为( )
A.64B.65C.64.5D.66
3．成立的充要条件是( )
A.B.C.D.或
4．曲线在处的切线方程是( )
A.B.C.D.
5．函数的图象大致是( )
A.B.
C.D.
6．直线与圆相交,则点与圆的位置关系是( )
A.在圆上B.在圆内C.在圆外D.不确定
7．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂,吸引了大量的数学家和数学爱好者,有些猜想已经被数学家证明,如“费马大定理”,但大多猜想还未被证明,如“哥德巴赫猜想”,“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是:对于每一个正整数,如果它是奇数,则将它乘以再加1;如果它是偶数,则将它除以;如此循环,最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为,则输出i的值为( )
A.B.C.D.
8．设x,y为正数,若,则的最小值为( )
A.6B.9C.12D.15
9．经研究发现:某昆虫释放信息素t秒后,在距释放处x米地方测得信息素浓度y满足函数(A,K为非零常数).已知释放1秒后,在距释放处2米的地方测得信息素浓度为a,则释放信息素4秒后,信息素浓度为的位置距释放处的距离为( )米.
A.B.2C.D.4
10．若,,,则( )
A.B.C.D.
11．在三棱柱中,,侧棱底面ABC,若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上,且球O的表面积的最小值为,则该三棱柱的侧面积为( )
A.B.C.D.3
12．若函数在区间上有零点,则的最小值为( )
A.B.C.D.e
二、填空题
13．已知向量,,且满足,则_______.
14．若实数x,y满足,则目标函数的取值范围为______.
15．将某个圆锥体沿着母线和底面圆周剪开后展开,所得的平面图形是一个圆和扇形,已知该扇形的半径为3cm,圆心角为,则圆锥的体积是_________.
16．已知双曲线的右焦点F到C的一条渐近线的距离为,则双曲线C的方程为___________________.
三、解答题
17．为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有100人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间，将他们的成绩（满分100分）分成五组依次为，，，，，制成如图所示的频率分布直方图.
（1）试估计这100人的竞赛成绩的平均数；
（2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在内的学生中随机抽取6人作为航天知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自同一组的概率.
18．某校积极开展社团活动,在一次社团活动过程中,一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体,于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题,如图1,E,F,G分别是边长为4的正方形的三边AB,CD,AD的中点,先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉,再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起,连接AB,CG就得到了一个“刍甍”（如图2）.
（1）若O是四边形EBCF对角线的交点,求证:平面GCF;
（2）若,求三棱锥的体积.
19．高二理科班有60名同学参加某次考试,从中随机抽选出5名同学,他们的数学成绩x与物理成绩y如下表:
数据表明y与x之间有较强的线性关系.
（1）求y关于x的线性回归方程,并估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩;
（2）本次考试中,规定数学成绩达到125分为数学优秀,物理成绩达到100分为物理优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为50%和60%,且所有同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有6人,请你在答卷页上填写下面列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关?
参考公式及数据:回归直线的系数,,,,.,.
20．已知,
（1）若的单调递减区间是,求实数a的值
（2）若,且对任意,,,都有,求实数a的取值范围
21．已知椭圆的离心率,短轴长为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）已知经过定点的直线l与椭圆相交于A,B两点,且与直线相交于点Q,如果,,那么是否为定值?若是,请求出具体数值;若不是,请说明理由.
22．在平面直角坐标系xOy中,设曲线的参数方程为(t为参数), 以坐标原点O为极点, 以x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程;
(2)若曲线上恰有三个点到曲线的距离为,求实数a的值.
23．已知,.
（1）解不等式;
（2）若方程有一个解,求实数a的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：由已知可得,因此,.
故选:A.
2．答案：B
解析：解：因为，所以中位数位于之间，
设中位数为x，则，解得，
即中位数为.
故选：B.
3．答案：D
解析：因为,,,即,解得或,即,
故成立的充要条件是“或”.
故选:D
4．答案：C
解析：的导数为,
可得在处的切线斜率为,
切点为,
即有在处的切线方程为,
即为.
故选:C.
5．答案：C
解析：,函数定义域为,
,函数为奇函数,排除BD;
,,故,排除A.
故选:C
6．答案：C
解析：因为直线与圆相交,
可得圆心到直线的距离为,解得,
所以点在圆外.
故选:C.
7．答案：B
解析：输入,不成立,n是偶数成立,则,;
不成立,n是偶数不成立,则,;
不成立,n是偶数成立,则,;
不成立,n是偶数成立,则,;
不成立,n是偶数成立,则,;
不成立,n是偶数成立,则,;
成立,跳出循环,输出i的值为6.
故选:B.
8．答案：B
解析：,,则
,当且仅当,即时取等号.
故选:B
9．答案：D
解析：由题知:当,时,,
代入得:
,
当,时,
,
即,
而,
解得:或(舍)
故选:D.
10．答案：D
解析：因为,所以为减函数,
所以,即
因为,所以为增函数,
所以,即.
因为,所以为增函数,
所以,即,
所以.
故选:D
11．答案：B
解析：如图:设三棱柱上,下底面中心分别为,,则的中点为O,
设球O的半径为R,则,设,,
则,,
则在中,,
当且仅当时,等号成立,
所以,所以,所以,
所以该三棱柱的侧面积为.
故选:B.
12．答案：A
解析：由题意,函数,
设t为函数在上的零点,则,
即,即点在直线上,
又表示点到原点的距离的平方,则,即,
令,则,
因为,所以,在单调递增.
所以最小值为.
故选:A
13．答案：4
解析：由已知,又,
所以,.
故答案为:4.
14．答案：
解析：作出图象,如图所示阴影区域为可行域:
作直线的平行线,
因为,越往上移,z越大,越往下移,z越小,
当目标函数经过可行域的时,目标函数取得最大值2,
目标函数经过时,目标函数取得最小值.
所以目标函数的取值范围为.
故答案为:.
15．答案：
解析：设圆锥的底面半径为r,高为h,
则,,,
所以圆锥的体积为.
故答案为:
16．答案：
解析：渐近线的方程为,,,又,
由点到直线的距离公式知:,
,,,,双曲线C的方程为:;
故答案为:.
17．答案：（1）73.5
（2）
解析：（1）依题意可得：，解得：，
根据频率分布直方图知：每组的频率依次为0.15，0.2，0.35，0.25，0.05，
则平均数的估计值为，
所以这100人的竞赛成绩的平均数的估计值为73.5.
（2）由题意可知：竞赛成绩在，两个组的人数之比为，
若采用分层抽样从中抽取6人，所以每组各抽学生人数分别为，
分别记中所抽取的5人编号依次为1，2，3，4，5，中所抽取的1人编号为A，
所以从6人中随机抽取2人的情况为：，，，，，，，，，，，，，，共15种结果，其中这2人来自同一组（记为事件M）的有10种，则，所以这2人来自不同组的概率为.
18．答案：（1）证明见解析;
（2）.
解析：（1）在图2中取线段CF中点H,连接OH,GH,如图所示:
由图1可知,四边形EBCF是矩形,且,
O是线段与的中点,且,
图1中且,而且.
所以在图2中,且,
且,
四边形AOHG是平行四边形,则,
由于平面GCF,平面GCF,
平面GCF.
（2）,,AE,面ABE,,面ABE,
,
所以,
即三棱锥的体积为.
19．答案：（1）,估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分;
（2）能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关.
解析：（1）,
.
,
.
关于x的线性回归方程为,
取,得.
估计该班某同学的数学成绩为90分时该同学的物理成绩为63分;
（2）由题意填写列联表:
,
能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得,则,
因为的单调递减区间是,所以在上的解集为,
所以,解得.
（2）设,,
令,则是上的递减函数,
当时,,,函数是上的增函数,
故,
当时,,,函数是上增函数,
故,
所以实数a的取值范围是.
21．答案：（1）;
（2）.
解析:（1）由题意得,解得,,
故椭圆C的方程为;
（2）当直线l的斜䔞不存在时,,,,
则,,,,
此时,,
当直线l的斜率存在时,设斜率为k,则直线l的方程为,
联立可得,
设,,
联立可得,
则,,
因为,,
所以,,
所以
.
22．答案：(1)
(2)
解析：由已知得代入,消去参数t得 曲线的普通方程为.
(2)由曲线的极坐标方程得,
又，,
所以,即,
所以曲线是圆心为,半径等于的圆.
因为曲线上恰有三个点到曲线的距离为,
所以圆心到直线的距离,
即,解得.
23．答案：（1）;
（2）.
解析：（1）不等式,即为.
当时,即化为,得,此时不等式的解集为,
当时,即化为,解得,此时不等式的解集为.
综上,不等式的解集为.
（2）,即.
作出函数的图象如图所示,
当直线与函数的图象有一个公共点时,方程有一个解,所以或.
所以实数a的取值范围是.
数学成绩x
140
130
120
110
100
物理成绩y
110
90
100
80
70
物理优秀
物理不优秀
合计
数学优秀
数学不优秀
合计
物理优秀
物理不优秀
合计
数学优秀
24
6
30
数学不优秀
12
18
30
合计
36
24
60