浙江省舟山市舟山中学2023-2024学年高二下学期4月清明返校测试数学试卷(含答案)

这是一份浙江省舟山市舟山中学2023-2024学年高二下学期4月清明返校测试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知的展开式中所有项的二项式系数之和为32,则的展开式中x的系数为( )
A.-80B.-10C.10D.80
2．已知为等差数列,为其前n项和．若,公差,,则m的值为( )
A.4B.9C.6D.5
3．已知,分别是等差数列与的前n项和,且,则( )
A.B.C.D.
4．用数学归纳法证明：的过程中,从到时,比共增加了( )
A.1项B.项C.项D.项
5．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著,根据贝叶斯统计理论,随机事件A,B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05,现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为,即在被检验者患病的前提下用该试剂检测,有的可能呈现阳性;该试剂的误报率为,即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测,有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者,已知检验结果呈现阳性,则此人患病的概率为( )
A.B.C.D.
6．假设变量x与变量Y的n对观测数据为,,,两个变量满足一元线性回归模型.要利用成对样本数据求参数b的最小二乘估计,即求使取最小值时的b的值,则( )
A.B.
C.D.
7．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理,若随机变量,则当且时,可以由服从正态分布的随机变量近似替代,且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次,利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为( )
附：若：,则,,．
B.0.5
8．已知函数,若对,都有,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就,揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述,正确的是( )
A.
B.第20行中,第11个数最大
C.记第n行的第i个数为,则
D.第34行中,第15个数与第16个数的比为
10．下列有关导数的运算和几何意义的说法,正确的是( )
A.若,则
B.若,则
C.在处的切线斜率是
D.过点的切线方程是
11．小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数x的相关性时,忘记了第二次和第四次月考排名,但小明记得平均排名,于是分别用和得到了两条回归直线方程：,,对应的相关系数分别为、,排名y对应的方差分别为、,则下列结论正确的是( )
（附：,）
A.B.C.D.
三、填空题
12．有5位大学生要分配到A，B，C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习的不同分配方案有_________种.（用数字作答）
13．数列满足,,,．前n项和为,则____________．
14．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则a的取值范围是_________.
四、解答题
15．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和,形成新的数列,再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1,2进行构造,第一次得到数列1,3,2;第二次得到数列1,4,3,5,2;依次构造,第次得到的数列的所有项之和记为.
（1）设第n次构造后得的数列为1,,,,,2则,请用含,,,的代数式表达出,并推导出与满足的关系式;
（2）求数列的通项公式;
（3）证明：
16．回答下列问题
（1）若,求的值;
（2）在的展开式中,二项式系数最大的项只有第五项,
①求n的值;
②若第k项是有理项,求k的取值集合;
③求系数最大的项．
17．2024年甲辰龙年春节来临之际,赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量,抽查了一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克）,质量的分组区间为,,…,,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.
（1）根据频率分布直方图,求质量超过515克的产品数量和样本平均值;
（2）由样本估计总体,结合频率分布直方图,近似认为该产品的质量指标值服从正态分布,其中近似为（1）中的样本平均值,计算该批产品质量指标值的概率;
（3）从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过515克的产品数量,求Y的分布列和数学期望.
附：若,则,
,.
18．将保护区分为面积大小相近的多个区域,用简单随机抽样的方法抽取其中15个区域进行编号,统计抽取到每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量（,2,…,15）,得到数组.已知,,.
(1)求样本（,2…,15）的相关系数;
(2)假设该植物的寿命为随机变量X（X可取任意正整数）.研究人员统计大量数据后发现：对于任意的,寿命为的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相同,均等于0.1,这种现象被称为“几何分布的无记忆性”.
（ⅰ）求（）的表达式;
（ⅱ）推导该植物寿命期望的值.
附：相关系数.
19．牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程的其中一个根r在的附近，如下图所示，然后在点处作的切线，切线与x轴交点的横坐标就是，用代替重复上面的过程得到；一直继续下去，得到，，，…，.从图形上我们可以看到较接近r，较接近r，等等.显然，它们会越来越逼近r于是，求r近似解的过程转化为求，若设精度为，则把首次满足的称为r的近似解.
已知函数.
(1)试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解（取，且结果保留小数点后第二位）；
(2)若对任意都成立，求整数a的最大值.（计算参考数值：，，，，）
参考答案
1．答案：A
解析：因为展开式中所有项的二项式系数之和为32,即,所以.
又的展开式的通项,
令,则的展开式中的系数为.
故选：A．
2．答案：B
解析：因为,所以,
所以,即,
所以,所以,
又,所以不恒为0,因为,所以.
故选：B.
3．答案：A
解析：.
故选：A.
4．答案：D
解析：因为,
所以,共项,
则共项,
所以比共增加了项,
故选：D.
5．答案：C
解析：依题意,设用该试剂检测呈现阳性为事件B,被检测者患病为事件A,未患病为事件,
则,,,,
故,
则所求概率为.
故选：C.
6．答案：A
解析：因为
,
上式是关于b的二次函数,
因此要使Q取得最小值,当且仅当b的取值为.
故选：A.
7．答案：D
解析：骰子向上的点数为偶数的概率,故,
显然,其中,,
故,
则,
由正态分布的对称性可知,估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为
.
故选：D.
8．答案：B
解析：函数,,,
令,显然函数在上单调递增,而不等式为,
因此,,
令函数,求导得,当时,,递增,
当时,,递减,因此,于是,解得,
所以实数的取值范围是.
故选：B.
9．答案：BCD
解析：由图知,第n行的第i个数为,则,
对于A,由可得,
,故A错误;
对于B,第20行有21项,中间一项最大为,是第11个数,故B正确;
对于C,第n行的第i个数为,,
,故C正确;
对于D,第34行中,第15个数与第16个数的比为
,故D正确.
故选：BCD.
10．答案：BC
解析：A选项,,A错误;
B选项,,,B正确;
C选项,,故,
所以在处的切线斜率是,C正确;
D选项,因为,故不在上,
,设切点为,
故,
故过点的切线方程是,
将代入切线方程中,,
即,
变形得到,即,
解得或,
故切线方程的斜率为3或,
故切线方程不为,D错误.
故选：BC.
11．答案：BD
解析：当时,,,解得,
则,
,,
,
,
所以,
得,
,
;
同理,当时,,,,,
所以,,,,
故选：BD．
12．答案：
解析：根据特殊元素“甲同学”分类讨论，
当A单位只有甲时，其余四人分配到B，C，不同分配方案有种；
当A单位不只有甲时，其余四人分配到A，B，C，不同分配方案有种；
合计有50种不同分配方案，
故答案为：50.
13．答案：1078
解析：当时,,
即,所以数列是首项为1,公差为1的等差数列,则;
当时,,
所以数列是首项为1,公比为2的等比数列,则,
所以．
故答案为：1078.
14．答案：
解析：当时，，所以，当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，且，，当时，，当时，，当时，与一次函数相比，函数呈爆炸性增长，从而，当时，，所以，当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，且，.当时，，当时，，当时，与对数函数相比，一次函数呈爆炸性增长，从而，当，且时，，根据以上信息，可作出函数的大致图象如下:
函数的零点个数与方程的解的个数一致，方程，可化为，所以或，由图象可得没有解，所以方程的解的个数与方程解的个数相等，而方程的解的个数与函数的图象与函数的图象的交点个数相等，由图可知:当时，函数的图象与函数的图象有3个交点.故答案为:.
15．答案：（1）,;
（2）;
（3）证明见解析.
解析：（1）设第n次构造后得的数列为1,,,,,2,则,
根据题意可得第次构造后得到的数列为1,,,,,,,,,2,
所以,
即与满足的关系式为.
（2）由,可得,
且,,
所以数列是以为首项,3为公比的等比数列,
所以,即.
（3）由（2）得,
所以
16．答案：（1）;（2）①;②;③.
解析：（1）令得,
再令得,
所以.
（2）①因为展开式中只有第五项的二项式系数最大,
所以,展开式共有9项,所以.
②第项为,
若第项为有理项,则为整数,则,
所以,第1,3,5,7,9项为有理项,所以k的取值集合为.
③因为第项的系数为,
所以第项的系数绝对值为,
设第项的系数的绝对值最大,则,
整理得,解得,
又因为第6项的系数,第7项的系数,
所以,第7项的系数最大,.
17．答案：（1）26,
（2）
（3）分布列见解析,
解析：（1）由频率分布直方图可知,
质量超过515克的产品的频率为,
质量超过515克的产品数量为（件）.
.
（2）由题意可得,
则,
则该批产品质量指标值的概率：
.
（3）根据用样本估计总体的思想,从该流水线上任取一件产品,
该产品的质量超过515克的概率为.
所以,从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看作二项分布.
故,质量超过515克的件数Y可能的取值为0,1,2,且,
,
,
,,
分布列为
Y的均值为或者
18．答案：（1）0.8
（2）（ⅰ）（ⅱ）10
解析：（1）由,,,
得相关系数.
（2）（ⅰ）依题意,,又,
则,当时,把换成,则,
两式相减,得,即,
又,于是对任意都成立,从而是首项为0.1,公比为0.9的等比数列,
所以;
（ⅱ）由定义知,,
而,
显然,
于是,
两式相减得
,
因此,
当足够大时,,,则,可认为.
所以该植物寿命期望的值是10.
19．答案：(1)-1.35
(2)-9
解析：（1）解：因为，则，
，，曲线在处的切线为，且，
，，曲线在处的切线为，且，
故用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为-1.35.
（2）将整理得到：，
令，，
因为，令，即，得或，
令，即，得，
所以在上为增函数，在上为减函数，
所以的极小值为，
因此有且仅有一个零点，所以有且仅有一个极小值点，即，
所以有，
方法一：由（1）有，则.
方法二：.
方法三：，
所以，a能取到的最大整数值为-9.
x
1
2
3
4
5
y
10
m
6
n
2
Y
0
1
2
P