重庆市清华中学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份重庆市清华中学校2023-2024学年高一下学期5月期中考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．已知复数，则的虚部是( )
A.B.C.iD.1
2．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.若，，则B.若，，，则
C.若，，则D.若，，，则
3．在中，，，，则此三角形外接圆面积为( )
A.9B.C.36D.
4．已知向量、满足，，向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为( )
A.B.C.D.
5．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为（ ）
A.B.2C.D.
6．如图，在矩形中，，E，F分别为，的中点，G为中点，则( )
A.B.C.D.
7．嵩岳寺塔位于河南郑州登封市嵩岳寺内，历经1400多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存最早的砖塔.如图，为测量塔的总高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，现测得，，，在C点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为( )
A.B.C.D.
8．在正四棱台中，，侧棱，若P为的中点，则过B，D，P三点截面的面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知复数，其中i是虚数单位，则下列结论正确的是( )
A.z的模等于13
B.z在复平面内对应的点位于第四象限
C.z的共轭复数为
D.若是纯虚数，则
10．设向量，，则下列叙述错误的是（ ）
A.若与夹角为钝角，则且
B.的最小值为2
C.与共线的单位向量只有一个为
D.若，则或
11．在长方体中，，点E为棱上靠近点C的三等分点，点F是长方形内一动点（含边界），且直线，与平面所成角的大小相等，则( )
A.平面
B.三棱锥的体积为4
C.存在点F，使得
D.线段的长度的取值范围为
三、填空题
12．已知利用斜二测画法画出的直观图为直角边长为2的等腰直角三角形，则的面积是________.
13．如图，正方体中，E、F分别为棱，的中点，则异面直线DE与AF所成角的余弦值是________.
14．设的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C.已知，则的最大值为________.
四、解答题
15．已知向量，，且与共线.
（1）求m的值；
（2）若与垂直，求实数的值.
16．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
（1）求B的大小；
（2）若，，求的面积.
17．如图，长方体中，E为线段的中点,，，.
(Ⅰ)证明：平面；
(Ⅱ)求点A到平面的距离.
18．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，侧面底面，E，F分别为，的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）当时，求直线与平面所成角的正弦值.
19．如图：在斜坐标系中，x轴、y轴相交成60°角，、分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，若向量，则称有序实数对为向量的坐标，记作．在此斜坐标系中，已知满足：、.
（1）求的值；
（2）若坐标原点O为的重心（注：在斜坐标系下，若G为的重心，依然有成立）.
①求的面积；
②求满足方程的实数m的值.
参考答案
1．答案：D
解析：，
的虚部是1.
故选：D.
2．答案：C
解析：对于A，若，，则或，故A错误；
对于B，若，，，则或m与n异面，即B错误；
对于C，若，，由直线与平面垂直的性质可得，故C正确；
对于D，若，，，则m与n的关系为平行、相交或异面，故D错误；
故选：C.
3．答案：B
解析：在中，，，，
由余弦定理得：a2，即，
由正弦定理得：，即，
三角形外接圆面积.
故选：B.
4．答案：C
解析：根据题意，，，且向量与的夹角为，
则在方向上的投影向量为.
故选：C.
5．答案：C
解析：设球的半径为R，因为球是圆柱的内切球，则圆柱的底面半径为R，高为.
所以圆柱的表面积，球的表面积，
所以.
即圆柱的表面积与球的表面积之比为.
故选：C.
6．答案：C
解析：建立平面直角坐标系，如图所示；
矩形中，，E，F分别为，的中点，G为中点，
设，则，，，
；
，，，
设，
则，
即，
解得，；
.
故选：C.
7．答案：B
解析：设，则，
在中，，
，即，解得，
故选：B.
8．答案：A
解析：取的中点Q，连接，，则，，
又，则，又根据正四棱台的性质得，
则为等腰梯形，即过B，D，P三点截面为等腰梯形．
取的中点M，连接，
在等腰梯形中，，，，，
则，，
在等腰梯形中，，，
则梯形的高为，
所以等腰梯形的面积．
故选：A．
9．答案：BD
解析：，
，z在复平面内对应的点位于第四象限，，故AC错误，B正确，
为纯虚数，
则，解得，故D正确.
故选：BD.
10．答案：CD
解析：根据题意，依次分析选项：
对于A，，，与的夹角为钝角，则有，解可得且，故A正确；
对于B，向量，，必有，即的最小值为2，B正确；
对于C，，，与共线的单位向量有和，C错误；
对于D，若，即，解可得，D错误；
故选：CD.
11．答案：ACD
解析：平面平面平面，平面，∴平面，故A正确；
，故B错误；
连接，作交于，连接，
平面，为与平面所成的角，
平面，为与平面所成角．
直线，与平面所成角的大小相等，，
则，
又，，所以点F在的中垂线上，即点F在线段上运动，
当点F与点K重合时，，故C正确；
，E为棱上靠近C的三等分点，，，，
，，
当点F在点I或点H处时，线段的长度取得最大值，最大值为；
当点F在点K处时，线段的长度取得最小值，最小值为，
线段的长度的取值范围为，故D正确．
故选：ACD．
12．答案：
解析：根据题意，的直观图为直角边长为2的等腰直角三角形，
则其直观图的面积，
则的面积，
故答案为：.
13．答案：
解析：取的中点G，连接AG，FG，EG，如图所示，
，且，∴四边形为平行四边形，
，
异面直线DE与AF所成角为或其补角，
设正方形的边长为2，则，，，
在中，由余弦定理可得，
故答案为：.
14．答案：
解析：已知，
可得C是钝角；
那么，
即
，
.当且仅当时等号成立，
那么.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）
因为与共线，所以，
解得.
（2）由（1）知，所以，，，
由与垂直，得，
所以，
解得.
16．答案：（1）；
（2）
解析：（1），
由正弦定理可得，
又，
，
，
，
，
.
（2），，
由余弦定理可得，整理可得，
又，解得，
.
17．答案：（I）证明见解析；
（II）1
解析：(Ⅰ)证明：长方体中，E为线段的中点，
，，，在中,，,.
平面,
,
平面.
(Ⅱ)由平面，平面平面,
过A作,交于M,由平面与平面垂直的性质定理可知,平面,就是A到平面的距离,在中,，，，.
点A到平面的距离为：1.
18．答案：（I）证明见解析；
（II）
解析：（Ⅰ）取的中点M，连结，，
F，M分别是，的中点，，，
四边形是平行四边形，F是的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，又平面，平面，
所以平面.
（Ⅱ）取的中点O，连结，
，O是的中点，，
平面底面，平面底面，，
平面，又平面，
，又，，
平面，
过C作交延长线于N,连接,则平面，为直线与平面所成的角,
是边长为2的等边三角形,，,
,，，，
,
四边形是平行四边形,，,
，,
,故,
,即直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）0；
（2）①；②
解析：（1）由题知，，，
则
（2）①由题知，O为的重心，则的面积为面积的，
由（1）知，又，，
则面积为
②由①知，
则，，，
则，，
设，，，
则由，结合正弦、余弦定理化简得：
故