苏教版 (2019)选择性必修第一册5.1 导数的概念教案配套ppt课件

这是一份苏教版 (2019)选择性必修第一册5.1 导数的概念教案配套ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了1导数的概念，第5章导数及其应用，信息技术，答案略，答案6ms，答案3ms，边际函数，习题51，感受·理解，思考·运用等内容，欢迎下载使用。
只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅仅表明状态，而且也表明过程：运动.——恩格斯
世界充满着变化，有些变化几乎不被人们所察觉，而有些变化却让人们发出感叹与惊呼.某市某年4月20日最高气温为33.4℃，而4月19日和4月18日最高气温分别为24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温陡增14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了!”
但是，如果我们将该市某年3月18日最高气温 3.5℃ 与4月18日最高气温 18.6℃ 进行比较，发现两者温差为 15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感叹.这是什么原因呢?
原来前者变化得太快，而后者变化得缓慢，
● 用怎样的数学模型刻画变量变化的快与慢?● 这样的数学模型有哪些应用?
在本章引言的案例中，气温“陡增”的数学意义是什么呢?
为了弄清气温变化的快慢问题，我们先来观察如图 5-1-1 所示的气温曲线图 (以3月18日作为第一天).
●如何量化曲线上某一段的“陡峭”程度呢?
容易看出点 B，C 之间的曲线比点 A，B 之间的曲线更加“陡峭”. 陡峭的程度反映了气温变化的快与慢
5.1.1 平均变化率
为了量化气温变化的快与慢，我们不仅要考察气温的变化 ∆T＝TC－TB，同时还要考察对应时间的变化 ∆t＝tC－tB. 联想到用斜率来量化直线的倾斜程度，我们用比值
来近似地量化点 B，C 之间这一段曲线的陡峭程度，并称该比值为气温在区间 [32，34] 上的平均变化率.
虽然点 A，B 之间的温差与点 B，C 之间的温差几乎相同，但它们的平均变化率却相差很大.一般地，
在图 5-1-1 中，我们可以感受到：平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图5-1-2所示，试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.
水经过虹吸管从容器甲流向容器乙 (图5-1-3)，t s 后容器甲中水的体积 V(t)＝5e－0.1t (单位：cm3)，试计算第一个10s内 V 的平均变化率.
已知函数 f(x)＝x2，分别计算函数 f(x) 在区间 [1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001] 上的平均变化率.
已知函数 f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算函数 f(x) 及 g(x) 在区间 [－3，－1]，[0，5] 上的平均变化率.
在例 4 的求解中，你能发现一次函数 y＝kx＋b 在区间 [m，n] 上的平均变化率有什么特点吗?
1. 甲、乙两人投人相同的资金经营某商品，甲用5年时间获利10万元，乙用5个月时间获利2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果?
2. 环境保护部门在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，连续检测结果如图所示 (其中 W1(t)，W2(t) 分别表示甲、乙两企业的排污量)，试比较这两家企业的治污效果.
解：由图可知，甲企业比乙企业的平均排污率大，所以从排污量这项指标检查，可以认为甲企业治污效果更好.
3. 已知函数 f(x)＝3x＋1，求 f(x) 在区间 [a，b] 上的平均变化率：(1) a＝－1，b＝2；(2) a＝－1，b＝1；(3) a＝－1，b＝－0.9.
答案：(1) 3；(2) 3；(3) 3.
4. 求经过函数 y＝x2 图象上两点 A，B 的直线的斜率：(1) xA＝1，xB＝1.001；(2) xA＝1，xB＝0.9；(3) xA＝1，xB＝0.99；(4) xA＝1，xB＝0.999.
答案：(1) 2.001；(2) 1.9；(3) 1.99； (4) 1.999.
5. 若一质点的运动方程为 S＝t＋3 (位移单位：m，时间单位：s)，则在时间段 [3，3＋Δt] 上的平均速度是多少?
答案：(∆t＋6) m/s.
5.1.2 瞬时变化率 —— 导数
平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势，那么，如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢?
如果将点 P 附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点 P 附近看上去有点像是直线(图5-1-4).如果将点 P 附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点 P 附近看上去几乎成了直线.
事实上，如果继续放大，那么曲线在点 P 附近将逼近一条确定的直线l，该直线 l 是经过点 P 的所有直线中最逼近曲线的一条直线 (图5－1－5).
因此，在点 P 附近我们可以用这条直线来代替曲线. 也就是说，在点 P 附近，曲线可以看作直线(即在很小范围内以直代曲). 既然点 P 附近的曲线被看作直线，那么我们可以用直线 l 的斜率来刻画曲线经过点 P 时上升或下降的“变化趋势”
如图5-1-6，直线 l1，l2 为经过曲线上一点 P 的两条直线.
(1) 试判断哪一条直线在点 P 附近更加逼近曲线；(2) 在点 P 附近能作出一条比 l1，l2 更加逼近曲线的直线 l3 吗?(3) 在点 P 附近能作出一条比 l1，l2，l3 更加逼近曲线的直线 l 吗?
怎样找到经过曲线上一点 P 处最逼近曲线的直线呢?
如图5-1-7，设 Q 为曲线 C 上不同于 P 的一点，这时，直线 PQ 称为曲线的割线 (secant line). 随着点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动，割线 PQ 在点 P 附近越来越逼近曲线 C . 当点 Q 无限逼近点 P 时，直线 PQ 最终就成为在点P 处最逼近曲线的直线，这条直线称为曲线在点 P 处的切线 (tangent line).
利用这种割线逼近切线的方法，我们来计算曲线上一点处切线的斜率.
∆x 可正也可负，当 ∆x 取负值时，点 Q 位于点 P 的左侧.
已知 f(x)＝x2，求曲线 y＝f(x) 在 x＝2 处的切线斜率.
分析 为求得过点 (2，4) 的切线斜率，我们从经过点 (2，4) 的任意一条直线 (割线) 人手.
在 Excel 中计算(图5-1-9)，可知当 ∆x 越接近0时，割线 PQ 的斜率 kPQ 就越接近常数 4.
1. 利用直尺，用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点 P 处的切线.
2. 在下列3个图中，直线 l 为曲线在点 P 处的切线，分别求的斜率.
3. 如图，直线 l 为经过曲线上点 P 和 Q 的割线.(1) 若 P(1，2)，Q(5，7) 求 l 的斜率；(2) 当点 Q 沿曲线向点尸靠近时，l 的斜率变大还是变小?
答案：(1) 切线斜率分别为 0，－4，6 ； (2) x＝－1 .
在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，它反映了物体在某段时间内运动的快慢程度，那么，如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢?
已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，假设 t s 时的速度为 v(t) ＝t2＋3，求当 t＝t0 s 时轿车的瞬时加速度 a.
2. 一质点的运动方程为 S＝t2＋10 (位移单位：m，时间单位：s)，试求该质点在 t＝3 时的瞬时速度.
前面的实际问题都涉及了函数在某一点处的瞬时变化率——导数.
Δx 表示自变量 x 的改变量， ∆y 表示相应的函数的改变量.
Lim，是英文 limit的缩写，这在高等数学的“极限知识”中将会介绍.
导数 f′(x0) 的几何意义就是曲线 y＝f(x) 在点 P(x0，f(x0)) 处的切线的斜率 (图5－1－11).
已知 f(x) ＝x2＋2.(1) 求 f(x) 在 x＝1 处的导数 f(1)；(2) 求 f(x) 在 x＝a 处的导数 f′(a).
若 f(x) 对于区间 (a，b) 内任一点都可导，则 f(x) 在各点处的导数也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是自变量的数，该函数称为 f(x) 的导函数 (derived functin)，记作 f(x) .
在不引起混淆时，导函数 f′(x) 也简称为 f(x) 的导数.
如无特别说明，本章所涉及的函数都是可导函数.
瞬时速度是运动物体的位移 S(t) 对于时间 t 的导数，即 v(t)＝S(t)；瞬时加速度是运动物体的速度 v(t) 对于时间 t 的导数，即a(t)＝v′(t).f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0) 就是导函数 f′(x) 在 x＝x0 处的函数值.
例如，f(x) 在 x＝2，x＝2x0＋3 处的导数分别是导函数 f′(x) 在该处的函数值 f′(2)，f′(2x0＋3).
1. 质点的运动方程为 S＝3t＋1 (位移单位：m，时间单位：s)，分别求该质点在 t＝1，t＝2 时的速度.
3. f′(1) 与 f(1) 的含义有什么不同? f′(1)与 f′(x) 的含义有什么不同?
解：f′(1) 表示 f(x) 在 x＝1 处的导数，f(1) 表示 f(x) 在 x＝1 时的函数值.f′(1) 表示 f(x) 在 x＝1 时的函数值， (x) 表示 f(x)的导函数.
4. 求函数 y＝(2x－1)2 在 x＝3 处的导数.
答案：f′(3)＝20.
答案：f(1)＋f′(1)＝3.
6. 已知某水库在泄洪过程中水面的高度 h 与泄洪时间 t 的函数关系是 h＝ f(t)，请说明 f(t) 的实际意义.
答案：f′(t)表示水面的高度在 t 时刻变化的瞬时速度.
在经济学中，生产x件产品的成本称为成本函数，记为 C(x)；出售工件产品的收益称为收益函数，记为 R(x)；R(x)－C(x) 称为利润函数，记为P(x). 相应地，它们的导数C′(x)，R′(x) 和 P′(x) 分别称为边际成本函数、边际收益函数和边际利润函数.
如图5-1-12，C(x) 在 x＝a 处的导数C′ (a) 称为生产规模为 a 时的边际成本值，该值给出了生产规模为 a 时，再增加 1 个产品，成本的增加量. 边际值表现为两个微增量的比.
经济学中涉及的函数，有时是“离散型”函数，我们仍将其看成“连续型”函数.参看《数学(必修第一册)》“函数的实际应用”.
由图可见：C(a＋1)－C(a)≈C′(a)×1＝C′(a).C(a＋1)－C(a) 表示生产规模由 a 增加为 a＋1 时成本的相应增加量.经济学中，边际成本 C′(a) 通常近似地看成生产规模增加 1 个单位时成本的增加量，类似地，对 R(x) 和 P(x) 也有相应的数学模型.
试用上述知识解决下面的问题：设成本函数 C(x)＝0.005x3－3x，x 为每天生产的产品数.(1)若每天生产产品数由 1000 件改为1001件，成本的绝对增加值是多少?(2)在 x＝1000 处的边际成本是多少?
1. 函数 y＝f(x) 的图象如图所示，在图中作线段，分别表示 f(2)，f(2＋h)，f(2＋h)－f(2)，h.
答案：f(2) 是函数 y＝f(x) 的图象上点 C 的纵坐标，可用图中线段 AC 表示；同理可用线段 BE 表示 f(2＋h)；用线段 DE 表示 f(2＋h)－f(2)；用线段 AB 或 CD 表示 h.
2. 如图，曲线 y＝f(x) 在点 P 处的切线方程是 y＝－x＋8，求 f(5) 及 f′(5) .
答案：f(5)＝3，f(5)＝－1.
3. 如图，A，B，C，D，E，F，G 为函数 y＝f(x) 图象上的点. 在哪些点处，曲线的切线斜率为 0 ? 在哪些点处，切线的斜率为正? 在哪些点处，切线的斜率为负? 在哪一点处，切线的斜率最大?在哪一点处，切线的斜率最小?
答案：在点 E，F 处，曲线的切线斜率为0；在点 A，B，C 处，曲线的切线斜率为正；在点 D，G 处，曲线的切线斜率为负；在点 B 处，切线的斜率最大；在点 D 处，切线的斜率最小.
5. 如图，求 f(a)，并估计 f′(a).
答案：f′(a)≈0.5.
6. 根据所给函数 y＝f(x) 的图象，估计 f′(1).
答案：f′(1)≈1.6. (估计数值不唯一，估计数值在 1.5 附近，且稍大于 1.5)
答案：(1) f′(x)＝2x＋5.(2) g′(x)＝3x2.
10. 已知曲线 y＝x2 的一条切线的斜率是－4，求切点的坐标.
答案： (－2，4).
答案：(1) P′(n)＝－3n2＋1 200n＋67 500；(2) n＝450；(3)当 n＝450 时，利润函数 P(n) 取到最大值，这时工厂的利润最大.