高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算教学演示ppt课件

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册5.2 导数的运算教学演示ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了2导数的运算，第5章导数及其应用，答案y＝6x－7，一般地，答案略，习题52，感受·理解，思考·运用，探究·拓展等内容，欢迎下载使用。

在上一节中，我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念，即函数在某一点处的瞬时变化率. 那么，
● 如何求基本初等函数的导数呢?● 导数的运算法则有哪些?
5.2.1 基本初等函数的导数
根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图 (图5－2－1) 来表示.
以上求导公式可以归纳如下：
由上面的求导公式 (3)~(6)，你能发现什么规律?
为方便叙述，我们把函数 y＝xa (a为常数)，y＝ax (a＞0，a≠1)，y＝lgx (a＞0，a≠1)，y＝sinx，y＝csx 等称为基本初等函数.
对于基本初等函数，有下面的求导公式：
1. 对于函数 f(x) 来说，f′(1)，f′(2)与 f′(x) 有什么区别与联系?
解：f′(1)，f′(2) 是导函数 f′(x) 在 x＝1，x＝2 处的导数值； 而 f′(x) 是函数 f(x) 的导函数.
2. 求下列函数的导数：
答案： x＋4y－4＝0.
答案： b＝±2，切点坐标 (1，1) 或 (－1，－1).
6. 已知函数 f(x)＝x3，求 (f(－2))′ 以及 f′(－2).
答案：(f(－2))′＝(－8)′＝0，f′(－2)＝12.
答案：b＝ln 2－1.
5.2.2 函数的和、差、积、商的导数
已知函数 f(x)，g(x) 的导数 f′(x)，g′(x)，怎样求 (f(x)＋g(x))′ 呢?
求 y＝x2＋x 的导数.
一般地，我们有函数和的求导法则：
(f(x)＋g(x))′＝f′(x)＋g′(x)，
即两个函数的和的导数，等于这两个函数的导数的和.
类似地，函数的差、积、商的求导法则是：
有了函数的和、差、积、商的求导法则，我们就可以直接运用基本初等函数的求导公式求出较为复杂的函数的导数.
例 3(3) 还有其他解法吗?
1. 求下列函数的导数：(1) y＝x2＋cs x； (2) y＝2x－2ln x.
2. 求曲线 y＝x2＋2x－3 在 x＝2 处的切线方程.
3. 用两种方法求函数 y＝(2x－1)(x＋3) 的导数.
答案：y′＝4x＋5.
4. 求下列函数的导数：
5. 已知函数 f(x) 的导数是 f′(x)，求函数 (f(x))2 的导数.
答案：[(f(x))2]′＝2f(x)f′(x).
5.2.3 简单复合函数的导数
我们知道，函数 y＝x2 的导数为 y′＝2x，函数 y＝3x－1 的导数为 y′＝3，那么，如何求函数 y＝(3x－1)2 的导数呢?
观察函数 y＝(3x－1)3，我们发现，如果记 u＝3x－1，那么 y＝u2，从而函数 y＝(3x－1)2 就可以看成是由函数 y＝u2 和 u＝3x－1 经过“复合”得到的，即 y 可以经过中间变量 u 表示为自变量 x 的函数.
一般地，对于两个所数 y＝f(u) 和 u＝g(x)，如果通过中间变量 u，y 可以表示成关于 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u) 和 u＝g(x) 的复合函数 (cmpsite functin)，记作 y＝f(g(x)).
为了求复合函数的导数，我们先考察函数 y＝(3x－1)2，将 y 关于 x 的导数记为 y .
一方面，y′x＝ ((3x－1)2)′＝ (9x2－6x＋1)′＝18x－6＝6(3x－1).
另一方面，将 y＝(3x－1)2 看成由 y＝u2 及 u＝3x－1 复合而成，并将 y 关于 u 的导数记为 y′u，即 y′u＝(u2)′＝2u. 同理，将 u 关于 x 的导数记为 u′x，即 u′x＝ (3x－1)′＝3.因而有y′x＝6(3x－1)＝2(3x－1)×3＝2u×3，即 y′x＝y′u·u′x.
再考察函数 y＝sin 2x.
一方面，y′x＝ (sin 2x)′＝ (2sin x csx)′＝2(sin x)′csx＋2sinx(csx)′ ＝2cs2x－2sin2x＝2cs 2x.另一方面，将 y＝sin2x 看成由 y＝sinu 及 u＝2x 复合而成，仿上可得，y′u＝ (sinu)′＝cs u，u′x＝ (2x)′＝2.因而也有 y′x＝y′u・u′x .
对于由函数 y＝f(u) 和 u＝g(x) 复合而成的函数 y＝f(g(x))，它的导数与函数 y＝f(u)，u＝g(x) 的导数间的关系为 y′x＝y′u · u′x.
特别地，若 y＝f(u)，u＝ax＋b，则 y′x＝y′u·u′x，即y′x＝y′u·a.
求下列函数的导数：(1) y＝(2x－3)3； (2) y＝ln(5x＋1).
3. 求曲线 y＝sin 2x 在点 P(π，0) 处的切线方程.
答案： y＝2x－2π.
f(ax＋b) 的导数的一种解释
(1) 当a＝1时，不妨设 b＜0，设 f(x)＝g(x). 由图5-2-2可知，若 f(x)＝g(x)，则(f(x＋b))′＝g(x＋b).
(2) 当a＝－1，b＝0 时，设 f′(x)＝g(x). 由图5-2-3 可知，若 f′(x)＝g(x)，则(f(－x))′＝－g(－x).
(3)当 a＞0，b＝0 时，设 f(x)＝g(x). 由图5-2-4可知，若 f′(x)＝g(x)，则(f(ax))′＝ag(ax).
由(1)(2)(3)，你能得到什么结论?
4. (1) 求曲线 y＝ex 在 x＝0 处切线的方程； (2) 过原点作曲线 y＝ex 的切线，求切点的坐标.
答案：(1) x－y＋1＝0； (2) (1，e).
6. 求曲线 y＝x＋3x－8 在 x＝2 处切线的方程.
答案：y＝15x－24.
答案：v(r)＝k(R2－r2)，即 v(r)＝1 000 (0.04－r2).v(0.1)＝30，v′(r)＝－2 000r，v(0.1) ＝－200.解释略.
答案：(1) a＝0.4＋12t；(2) t＝2 s .
答案：(1) v＝5cs 5－2sin 5；(2) a＝－5sin t－2cs t .
答案： 25 000π (cm2/s).