2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业 第4节图形的平移与旋转习（含答案）

这是一份2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业 第4节图形的平移与旋转习（含答案），共36页。试卷主要包含了把点A等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
课前检测
1.把点A（2，）向上平移2个单位得到点A′坐标为（ ）
A．（2，﹣）B．（2，）C．（2，﹣3 ） D．（2，3 ）
2.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C′的位置，A′B′恰好经过点B，则旋转角α的度数为 ．
3.下列生活现象中，属于平移现象的是（ ）
A．急刹车时汽车在地面滑行
B．足球在草地上跳动
C．投影片的文字经投影转换到屏幕上
D．钟摆的摆动
4.如图，P为等边三角形ABC内一点，PC＝3，PA＝4，PB＝5，求∠APC的度数．
课中讲解
一.平移的概念与性质
平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动成为平移.平移不改变图形的形状和大小.
平移的性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等.
例1.下列现象中是平移的是（ ）
A．翻开书中的每一页纸张 B．飞碟的快速转动
C．将一张纸沿它的中线折叠 D．电梯的上下移动
过关检测
1.下列现象属于数学中的平移的是（ ）
A．树叶从树上随风飘落 B．升降电梯由一楼升到顶楼
C．汽车方向盘的转动 D．“神舟”号卫星绕地球运动
2.下列运动属于平移的是（ ）
A．电风扇扇叶的转动 B．石头从山顶滚到山脚的运动
C．电梯从一楼运动到三楼 D．荡秋千
二.坐标系下点的平移
例1.将点P（1，2）向左平移3个单位后的坐标是（ ）
（﹣2，2）B．（1，﹣1）C．（1，5）D．（﹣1，﹣1）
例2.如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
过关检测
1.已知点A的坐标为（1，3），点A向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度．则点A的对应点的坐标为（ ）
A．（5，3）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，﹣1） D．（0，﹣1）
2.如图，点A、B的坐标分别为（1，2）、（4，0），将△AOB沿x轴向右平移，得到△CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为 ．
三.旋转的概念与性质
旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转不改变图形的形状和大小.
旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.
例1.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（ ）
A．55°B．60°C．65°D．70°
过关检测
1.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，则BM的长是 ．
2.如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为 ．
四.旋转的作图（格点下）
例1.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）；
（4）求出（2）△A2BC2的面积是多少．
过关检测
1.如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位1）网格的格点上．
（1）△ABC的形状是 （直接写答案）；
（2）平移△ABC，若A对应的点A1坐标为（3，﹣1），画出△A1B1C1；
（3）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的△BA2C2并求出旋转过程中△ABC扫过的面积．（结果保留π）
五.解密旋转全等的构造
例1.如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF＝EF，则∠EAF＝
度．
过关检测
1.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120度．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN．
（1）求证：MN＝BM+NC；
（2）求△AMN的周长为多少？
2.已知：如图，点P是等边三角形ABC内一点，,,，求∠BPC的度数．
3.（1）阅读理解
利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，PA＝1，PB＝，PC＝2．求∠BPC的度数．
为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C，连接PP′，则PP′的长为 ；
在△PAP′中，易证∠PAP′＝90°，且∠PP′A的度数为 ，综上可得∠BPC的度数为 ；
（2）类比迁移
如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，∠ACB＝90°，PA＝2，PB＝，PC＝1．求∠APC的度数；
（3）拓展应用
如图3，在四边形ABCD中，BC＝5，CD＝8，AB＝AC＝AD，∠BAC＝2∠ADC，请直接写出BD的长．
六.中心对称图形及性质
概念：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们对称中心.如图，△ABC与△A`B`C`成中心对称，点O是它们的对称中心.
性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平方.
例1.下列美丽的图案中，是中心对称图形的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
过关检测
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2.如图，已知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（ ）
A．∠ABC＝∠A'B'C'B．∠AOB＝∠A'OB'
C．AB＝A'B'D．OA＝OB'
学习任务
1.已知平面直角坐标系中点P（﹣3，4）．将它沿y轴方向向上平移3个单位所得点的坐标是（ ）
A．（﹣3，1）B．（﹣3，7）C．（0，4）D．（﹣6，4）
2.下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3.如图，将△ABC向右平移得到△DEF，已知A，D两点的距离为1，CE＝2，则BF的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
4.两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，则CF＝ cm．
5.如图，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺
时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数； （2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．

第4节 图形的平移与旋转（解析版）
目标层级图
本节内容：
本节主要涉及的内容是图形的平移与旋转，根据层级图分成了6个版块
第一部分：首先学习了图形平移的概念，可以举一些生活中常见的例子如，坐电梯等，让学生能够更加清楚的理解到平移现象，然后通过例子去带学生研究出平移的性质，图形的形状和大小都不改变。
第二部分：引入平面直角坐标系下点坐标的平移，需要解释清楚上下左右平移分别对应的坐标变化情况，同时如果是任意的移动，可以转化成上下左右来进行移动，从而达到简便的目的
第三部分：旋转的概念，也需要举一些实际生活案例进行引入，比如：汽车的方向盘、钟表指针的旋转、汤秋千等，然后跟学生一起研究旋转的性质，一般考试不经常考旋转的概率判定，更多的是考察图形的旋转，对应的线段相等，角度相等，去求一些边长或关系或者角度问题，也有一定的难度；
第四部分：旋转网格作图题：这部分首先还是必须梳理图形，特别是三角形关于x轴、y轴、原点的对称图形的画法，其次也要讲清楚图形绕着原点（主）或不是原点（次）旋转90°或者180°的图形的画法，然后对应成绩好的学生还要讲解某条边在旋转过程中扫过的图形面积（扇形的面积公式或推导方法）；
第五部分：旋转在全等图形中的运用，这部分主要从“半角模型”和“奔驰模型”两种模型进行讲解，首先需要给学生解释清楚半角和奔驰的模型判定方法，然后会正确的画出旋转之后的图形构造出全等图形，从而实现边和角的转化；特别是奔驰模型，建议新老师一定要提前梳理清楚；
第六部分：中心对称，这部分内容比较简单，也不是一个重难点考点，所以带学生梳理清楚中心对称的定义及能够简单进行运用即可。
课前检测
1.把点A（2，）向上平移2个单位得到点A′坐标为（ ）
A．（2，﹣）B．（2，）C．（2，﹣3 ）D．（2，3 ）
【答案】D
【解答】解：将点A（2，）向上平移2个单位，得到点A′，则A′的坐标为
（﹣2，3），
故选：D．
2.如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C′的位置，A′B′恰好经过点B，则旋转角α的度数为 70° ．
【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝35°，
∴∠ABC＝55°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A′B′C的位置，
∴∠B′＝∠ABC＝55°，∠B′CA′＝∠ACB＝90°，
CB＝CB′，
∴∠CBB′＝∠B′＝55°，
∴∠α＝70°，
故答案为：70°．
【点评】此题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．
3.下列生活现象中，属于平移现象的是（ ）
A．急刹车时汽车在地面滑行
B．足球在草地上跳动
C．投影片的文字经投影转换到屏幕上
D．钟摆的摆动
【答案】A
【解答】解：A．急刹车时汽车在地面滑行，是平移现象；
B．足球在草地上跳动，方向变化，不符合平移的定义，不属于平移；
C．投影片的文字经投影转换到屏幕上，大小发生了变化，不符合平移的定义，不属于平移；
D．钟摆的摆动，不沿直线运动，是旋转运动，不属于平移．
故选：A．
4.如图，P为等边三角形ABC内一点，PC＝3，PA＝4，PB＝5，求∠APC的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：将△BCP绕点C顺时针旋转60°得△ACQ，连接PQ．再过A作CP的延长线的垂线AD，垂足为D，
∴AQ＝PB＝5，CQ＝PC，∠PCQ＝60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴PQ＝PC＝3，∠QPC＝60°，
在△PAQ中，∵PA＝4，AQ＝5，PQ＝3，
∴AQ2＝PA2+PQ2，
∴∠APQ＝90°，
∴∠APC＝∠APQ+∠QPC＝150°．
课中讲解
平移的概念与性质
平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动成为平移.平移不改变图形的形状和大小.
平移的性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等.
例1.下列现象中是平移的是（ ）（平移的定义判定）
A．翻开书中的每一页纸张
B．飞碟的快速转动
C．将一张纸沿它的中线折叠
D．电梯的上下移动
【答案】D
【解答】解：A不是沿某一直线方向移动，不属于平移．B不是沿某一直线方向移动，不属于平移．C新图形与原图形的形状和大小不同，不属于平移．因此C错误．
故选：D．
过关检测
1.下列现象属于数学中的平移的是（ ）（平移的定义判定）
A．树叶从树上随风飘落
B．升降电梯由一楼升到顶楼
C．汽车方向盘的转动
D．“神舟”号卫星绕地球运动
【答案】B
【解答】解：A、树叶从树上随风飘落不属于平移，故此选项不合题意；
B、升降电梯由一楼升到顶楼属于平移，故此选项符合题意；
C、汽车方向盘的转动属于旋转，故此选项不合题意；
D、“神舟”号卫星绕地球运动属于旋转，故此选项不合题意；
故选：B．
2.下列运动属于平移的是（ ）（平移的定义判定）
A．电风扇扇叶的转动
B．石头从山顶滚到山脚的运动
C．电梯从一楼运动到三楼
D．荡秋千
【答案】C
【解答】解：A．电风扇扇叶的转动不是平移，故A选项不符合题意；
B．石头从山顶滚到山脚的运动不是平移，故B选项不符合题意；
C．电梯从一楼运动到三楼是平移，故C选项符合题意；
D．荡秋千不是平移，故D选项不符合题意；
故选：C．
坐标系下点的平移
例1.将点P（1，2）向左平移3个单位后的坐标是（ ）（点的平移）
A．（﹣2，2）B．（1，﹣1）C．（1，5）D．（﹣1，﹣1）
【答案】A
【解答】解：点P（1，2）向左平移3个长度单位后，坐标为（1﹣3，2），即（﹣2，2）．
故选：A．
例2.如图，A，B的坐标为（2，0），（0，1），若将线段AB平移至A1B1，则a+b的值为（ ）（线段的平移，也可以转化成点的平移）
A．2B．3C．4D．5
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：由B点平移前后的纵坐标分别为1、2，可得B点向上平移了1个单位，
由A点平移前后的横坐标分别是为2、3，可得A点向右平移了1个单位，
由此得线段AB的平移的过程是：向上平移1个单位，再向右平移1个单位，
所以点A、B均按此规律平移，
由此可得a＝0+1＝1，b＝0+1＝1，
故a+b＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
过关检测
1.已知点A的坐标为（1，3），点A向左平移1个单位长度，向下平移4个单位长度．则点A的对应点的坐标为（ ）（平移的定义判定）
A．（5，3）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，﹣1）D．（0，﹣1）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：点A（1，3）向左平移1个单位，再向下平移4个单位所得的对应点的坐标为（1﹣1，3﹣4），即对应点的坐标是（0，﹣1）．
故选：D．
2.如图，点A、B的坐标分别为（1，2）、（4，0），将△AOB沿x轴向右平移，得到△CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为 （4，2） ．（图形的平移，利用平移的性质求解）
【分析】利用DB＝1，B（4，0），得出△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，再利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（1，2）、（4，0），将△AOB沿x轴向右平移，得到△CDE，DB＝1，
∴OD＝3，
∴△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，
∴点C的坐标为：（4，2）．
故答案为：（4，2）．
【点评】此题主要考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
旋转的概念与性质
旋转的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转不改变图形的形状和大小.
旋转的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.
例1.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是（ ）（旋转的性质，对应边不变，从而出现等腰三角形）
A．55°B．60°C．65°D．70°
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠CAD＝45°，∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∴∠ADC＝180°﹣45°﹣70°＝65°，
故选：C．
【点评】此题考查旋转的性质，关键是根据旋转的性质和三角形内角和解答．
过关检测
1.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，则BM的长是 2 ．（解析给的方法是证明AC⊥BM，设交点为O，去分别求BO和OM的长度求和；对于成绩比较好的学生可以补充15°的直角三角形的三边关系，从而过点M作BC的垂线与点H，求出CH和HM的长度，然后利用勾股定理求解）
【分析】如图，连接AM，由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，得到△ACM为等边三角形根据AB＝BC，CM＝AM，得出BM垂直平分AC，于是求出BO＝AC，OM＝CM•sin60°，最终得到答案BM＝BO+OM＝2．
【解答】解：如图，连接AM，
由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°；
∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，
∴AC＝4，CM＝4
∵AB＝BC，CM＝AM，
∴BM垂直平分AC，
∴BO＝AC＝2，OM＝CM•sin60°＝2，
∴BM＝BO+OM＝2，
故答案是：2．
【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．
如图，OA⊥OB，等腰直角三角形CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则的值为 ．
（本题考察旋转的性质，对应的边相等，得到NC和CE相等，可以设出CD的长，求出CE的长，求出∠NCO=60°，再求出OC，进而可以比，对于题目有角度的时候，一定要注意特殊的角，是解题的关键）
【分析】根据旋转得出∠NCE＝75°，求出∠NCO，设OC＝a，则CN＝2a，根据△CMN也是等腰直角三角形设CM＝MN＝x，由勾股定理得出x2+x2＝（2a）2，求出x＝a，得出CD＝a，代入求出即可．
【解答】解：∵将三角形CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，
∴∠ECN＝75°，
∵∠ECD＝45°，
∴∠NCO＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵AO⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
∴∠ONC＝30°，
设OC＝a，则CN＝2a，
∵等腰直角三角形DCE旋转到△CMN，
∴△CMN也是等腰直角三角形，
设CM＝MN＝x，则由勾股定理得：x2+x2＝（2a）2，
x＝a，
即CD＝CM＝a，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰直角三角形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，旋转性质，三角形的内角和定理等知识点，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目比较好，但有一定的难度．
旋转的作图（格点下）
例1.如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标；（图形对称）
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2；（图形的旋转）
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）；（扇形面积，可以补充扇形面积公式和弧长公式）
（4）求出（2）△A2BC2的面积是多少．（图形的面积，常用割补法，利用四边形来减三角形）
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征，写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、C的对应点A2、C2，则可得到△A2BC2；
（3）C点旋转到C2点所经过的路径是以B点为圆心，BC为半径，圆心角为90°的弧，然后根据弧长公式计算即可；
（4）利用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出△A2BC2的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣4）；
（2）如图，△A2BC2为所作；
（3）BC＝＝，
所以C点旋转到C2点所经过的路径长＝＝π；
（4）△A2BC2的面积＝3×3﹣×1×2﹣×1×3﹣×2×3＝．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
过关检测
1.如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形（每个小正方形边长为单位1）网格的格点上．
（1）△ABC的形状是 等腰直角三角形 （直接写答案）；
（2）平移△ABC，若A对应的点A1坐标为（3，﹣1），画出△A1B1C1；
（3）画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的△BA2C2并求出旋转过程中△ABC扫过的面积．（结果保留π）
【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理即可判断；
（2）分别作出三顶点平移的对应点，再顺次连接可得答案；
（3）作出点A，C绕点B顺时针旋转90°的对应点，再顺次连接可得，旋转过程中三角形扫过的面积是三角形面积与扇形的面积和，据此列式计算．
【解答】解：（1）∵AB2＝12+22＝5，AC2＝12+22＝5，BC2＝12+32＝10，
∴AB2+AC2＝BC2，且AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）如图，△A1B1C1即为所求．
（3）如图，△BA2C2即为所求，
BC＝＝，BA＝＝，
△ABC扫过的面积＝××+＝．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：解题的关键是掌握轴对称变换与旋转变换的定义及其性质，扇形的面积公式等知识点．
解密旋转全等的构造
例1.如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE+DF＝EF，则∠EAF＝ 45 度．（半角旋转：分为两种，例题是半角完全包含在大角内部，还有一种部分包含的，需要老师提前找一个例题，带学生清楚的熟练两种不同的情况）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图：延长FD到G，使DG＝BE，则FG＝EF，
在△ABE和△ADG中，，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG
又∴AF＝AF，GF＝EF
∴△AGF≌△AEF
∴∠EAF＝∠GAF＝×90°＝45°．
过关检测
1.如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120度．以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN．
（1）求证：MN＝BM+NC；（半角模型证线段相等）
（2）求△AMN的周长为多少？（转化边）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，
∴∠BCD＝∠DBC＝30°，
∵△ABC是边长为3的等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，
∴∠DBA＝∠DCA＝90°，
延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，
在△BDF和△CND中，
，
∴△BDF≌△CND（SAS），
∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，
∵∠MDN＝60°，
∴∠BDM+∠CDN＝60°，
∴∠BDM+∠BDF＝60°，
在△DMN和△DMF中，
∵，
∴△DMN≌△DMF（SAS）
∴MN＝MF＝MB+BF＝MB+CN；
（2）由（1）证得MN＝MB+CN，
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+CN+AN＝AB+AC＝6．
2.已知：如图，点P是等边三角形ABC内一点，，求∠BPC的度数．
（奔驰模型，可以带学生把三个三角形分别进行旋转，对比不同的情况的求解过程）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：以BP为边作等边三角形BPD，连接AD，
则BD＝BP＝DP＝，∠DBP＝∠BDP＝60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵∠ABD+∠ABP＝∠CBP+∠ABP＝60°，
∴∠ABD＝∠CBP，
在△ABD与△CBP中，，
∴△ABD≌△CBP（SAS），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）
∴∠BPC＝∠BDA，AD＝PC＝1，
在△ADP中，∵PA＝2，PD＝，AD＝1，
∴AP2＝DP2+AD2，
∴△APD是直角三角形，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
∴∠ADP＝90°，
∴∠ADB＝∠ADP+∠BDP＝150°，
∴∠BPC＝150°．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
3.（1）阅读理解
利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P是等边三角形ABC内一点，PA＝1，PB＝，PC＝2．求∠BPC的度数．
为利用已知条件，不妨把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP′C，连接PP′，则PP′的长为 2 ；
在△PAP′中，易证∠PAP′＝90°，且∠PP′A的度数为 30° ，综上可得∠BPC的度数为 90° ；（奔驰旋转）
（2）类比迁移
如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，∠ACB＝90°，PA＝2，PB＝，PC＝1．求∠APC的度数；（奔驰旋转）
（3）拓展应用
如图3，在四边形ABCD中，BC＝5，CD＝8，AB＝AC＝AD，∠BAC＝2∠ADC，请直接写出BD的长．（需要平移△BAD，转化BD，刚好出现直角三角形，利用勾股定理求解，方法很灵活，需要提前做一遍）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）把△BPC绕点C顺时针旋转60°得△AP'C，连接PP′（如图1）．
由旋转的性质知△CP′P是等边三角形；
∴P′A＝PB＝、∠CP′P＝60°、P′P＝PC＝2，
在△AP′P中，∵AP2+P′A2＝12+（）2＝4＝PP′2；
∴△AP′P是直角三角形；
∴∠P′AP＝90°．
∵PA＝PC，
∴∠AP′P＝30°；
∴∠BPC＝∠CP′A＝∠CP′P+∠AP′P＝60°+30°＝90°．
故答案为：2；30°；90°；
（2）如图2，把△BPC绕点C顺时针旋转90°得△AP'C，连接PP′．
由旋转的性质知△CP′P是等腰直角三角形；
∴P′C＝PC＝1，∠CPP′＝45°、P′P＝，PB＝AP'＝，
在△AP′P中，∵AP'2+P′P2＝（）2+（）2＝2＝AP2；
∴△AP′P是直角三角形；
∴∠AP′P＝90°．
∴∠APP'＝45°
∴∠APC＝∠APP'+∠CPP'＝45°+45°＝90°
（3）如图3，∵AB＝AC，
将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，
∵∠BAD＝∠CAG，
∴∠BAC＝∠DAG，
∵AB＝AC，AD＝AG，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，
∴△ABC∽△ADG，
∵AD＝2AB，
∴DG＝2BC＝10，
过A作AE⊥BC于E，
∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，
∴∠ADG+∠ADC＝90°，
∴∠GDC＝90°，
∴CG＝＝＝2，
∴BD＝CG＝2．
中心对称图形及性质
概念：如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们对称中心.如图，△ABC与△A`B`C`成中心对称，点O是它们的对称中心.
性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平方.
例1.下列美丽的图案中，是中心对称图形的个数是（ ）（中心对称图形的判定）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第1、3、4个图形为中心对称图形，共3个．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
过关检测
1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）（中心对称图形的判定）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.如图，已知△ABC和△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论错误的是（ ）（中心对称图形的性质）
A．∠ABC＝∠A'B'C'B．∠AOB＝∠A'OB'
C．AB＝A'B'D．OA＝OB'
【答案】D
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A′B′，OA＝OA′，∠ABC＝∠A′B′C′，
可得∠AOC＝∠A′OC′，
故A，B，C正确，只有D选项错误．
故选：D．
学习任务
1.已知平面直角坐标系中点P（﹣3，4）．将它沿y轴方向向上平移3个单位所得点的坐标是（ ）（点的平移）
A．（﹣3，1）B．（﹣3，7）C．（0，4）D．（﹣6，4）
【答案】B
【解答】解：所求点的横坐标为﹣3，
纵坐标为4+3＝7，
即（﹣3，7）．
故选：B．
2.下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）（中心对称和轴对称定义判定）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
3.如图，将△ABC向右平移得到△DEF，已知A，D两点的距离为1，CE＝2，则BF的长为（ ）（图形的平移）
A．5B．4C．3D．2
【答案】B
【解答】解：∵将△ABC向右平移得到△DEF，
∴AD＝BE＝CF＝1，
∵EC＝2，
∴BF＝BE+EF+CF＝1+2+1＝4，
故选：B．
4.两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，则CF＝ 2 cm．（旋转的性质）
【分析】利用旋转的性质得出DC＝AC，∠D＝∠CAB，再利用已知角度得出∠AFC＝90°，再利用直角三角形的性质得出FC的长．
【解答】解：∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，
∴DC＝AC，∠D＝∠CAB，
∴∠D＝∠DAC，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，
∴∠D＝∠CAB＝60°，
∴∠DCA＝60°，
∴∠ACF＝30°，
可得∠AFC＝90°，
∵AB＝8cm，∴AC＝4cm，
∴FC＝4cs30°＝2（cm）．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出∠AFC的度数是解题关键．
5.如图，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．（旋转的性质）
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．
【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE的度数，故此可求得∠DCE的度数；
（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关系可得到CE和DC的长，最后依据勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°．
由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°．
∴∠DCE＝∠BCE+∠BCA＝45°+45°＝90°．
（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，
∴AC＝＝4．
∵CD＝3AD，
∴AD＝，DC＝3．
由旋转的性质可知：AD＝EC＝．
∴DE＝＝2．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，求得∠DCE＝90°是解题的关键．
家长签字：____________