2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业 第5节 因式分解1（含答案）

这是一份2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业 第5节 因式分解1（含答案），共27页。试卷主要包含了若，求的值．，分解因式等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
课前检测
1.下列等式从左到右的图形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2.（1）若，求的值．
3.分解因式 = ．
课中讲解
一.概念
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也
叫作分解因式。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
注意：
（1）分解的结果要以积的形式表示；
（2）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须不高于原来多项式的次数；
（3）必须分解到每个多项式因式不能再分解为止
2.因式分解结果的要求
例1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A． B.
C． D．
过关检测
1. 下列从左到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
二.提公因式法
1．公因式定义：多项式的各项都含有相同的因式，我们把多项式各项都含有相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2．确定公因式的方法：
①系数——取多项式各项系数的最大公约数；
②字母或多项式因式——取各项都含有的字母或多项式因式的最低次幂
3．提公因式法定义：如果一个多项式的各项都含有公因式，可将这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
4．提公因式步骤：
①确定多项式中各项的公因式 （包括系数、字母、多项式因式）
②提出公因式（注意符号）
③确定多项式提出公因式后的因式（把原多项式除以公因式所得的商作为另一个因式，写出结果），将提出公因式后的因式合并同类项
（注意：如果某一项提出全部后，还剩1）
例1.（1） （2）

（3）
过关检测
1．因式分解：＝ ．
2．把下列各式因式分解
（1） （2）
（3） （4）
例2．对下列式子进行因式分解
（1） （2）
过关检测
1．把下列各式进行因式分解
（1）； （2）
（3） （4）
2．已知可分解因式为，其中、均为整数，则 ．
例3．若的公因式是，则等于（ ）
A．B．C．D．−2an+1
过关检测
1．利用因式分解计算：＝ ．
2．利用因式分解计算：＝ ．
三.公式法
1．根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法！
2．公式法两种类型：
平方差公式法：
形如的式子称为完全平方式。
用完全平方公式因式分解：
需要了解的几种类型：


例1．利用平方差公式进行因式分解：

过关检测
1．因式分解下列各式
（1） （2）
（3）
2．下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
例2．用完全平方式法对下列各式进行因式分解
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
过关检测
1．因式分解下列各式
（1） （2）
（3） （4）
例3．已知，求的值．
过关检测
1．（1） （2）
学习任务
1．下列各式从左到右，是因式分解的是（ ）
A．B．
C． D．
2．阅读下列材料：如果，那么，则，由此可知：．根据以上材料计算的根为（ ）
A．B．
C．D．
3．若是正整数,且,则数对为 ．
4．用完全平方式法对下列各式进行因式分解
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7）
5．分解因式：
（1）
（2）
第5讲 因式分解1（解析版）
目标层级图
本节内容：
本节主要是涉及因式分解的认识及提公因式和公式法的分解方法
1、先带领学生认识什么叫因式分解，重点强调必须是整式及因式分解的结果，并附上因式分解的一些格式要求，要求学生一定要完全理解
2、运用提公因式法对整式进行分解，首先需要理解什么是公因式，以及确定公因式的方法，特别注意先系数，在单项式，在进行多项式的公因式提取，某一项全部提出后剩余1，难版增加了提公因式次数为字母的提公因式，注意提取指数的最低次幂
3、运用公式法包含平方差、完全平方公式以及立方和立方差公式运用，注意分解后检查是否分解完全，立方和及立方差的分解需要老师提前刷一下讲义。
课前检测
1.下列等式从左到右的图形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、m（a﹣b）＝ma﹣mb，是单项式乘以多项式，故此选项错误；
B、2a2+a＝a（2a+1），是分解因式，符合题意；
C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，是整式乘法运算，故此选项错误；
D、m2+4m+4＝m（m+4）+4，不符合因式分解的定义，故此选项错误．
故选：B．
2.（1）若，求的值．
【解答】解：（1）∵x+y＝4，xy＝3，
∴x2y+xy2＝xy（x+y）＝3×4＝12；
3.分解因式 = ．
【解答】解：x2（x﹣y）+（y﹣x）
=x2（x﹣y）﹣（x﹣y）
=（x﹣y）（x2﹣1）
=（x﹣y）（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣y）（x+1）（x﹣1）．
课中讲解
概念
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也
叫作分解因式。
分解因式与整式乘法互为逆变形。
注意：
（1）分解的结果要以积的形式表示；
（2）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须不高于原来多项式的次数；
（3）必须分解到每个多项式因式不能再分解为止
2.因式分解结果的要求
例1.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A． B.
C． D．
【解答】
A、是整式的乘法运算，故选项错误；
B、结果不是积的形式，故选项错误；
C、x2﹣1＝（x+1）（x﹣1），正确；
D、结果不是积的形式，故选项错误．
故选：C．
过关检测
1.下列从左到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、不合因式分解的定义，故本选项错误；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、左边＝右边，是因式分解，故本选项正确．
故选：D．
2．下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、右边不是积的形式，错误；
B、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
C、是平方差公式，x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），正确；
D、结果不是整式的积，错误．
故选：C．
3．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，从左到右的变形是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项错误；
B、x2+x﹣1＝（x﹣1）（x+2）+1，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项错误；
C、a+ax+ay＝a（1+x+y），故此选项错误；
D、a2b﹣ab2＝ab（a﹣b），从左到右的变形，是因式分解，故此选项正确．
故选：D．
提公因式法
1、公因式定义：多项式的各项都含有相同的因式，我们把多项式各项都含有相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。
2、确定公因式的方法：
①系数——取多项式各项系数的最大公约数；
②字母或多项式因式——取各项都含有的字母或多项式因式的最低次幂
3、提公因式法定义：如果一个多项式的各项都含有公因式，可将这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
4、提公因式步骤：
①确定多项式中各项的公因式 （包括系数、字母、多项式因式）
②提出公因式（注意符号）
③确定多项式提出公因式后的因式（把原多项式除以公因式所得的商作为另一个因式，写出结果），将提出公因式后的因式合并同类项
（注意：如果某一项提出全部后，还剩1）
例1.（1） （2）
【解答】解： 【解答】解：（1）原式＝9a2bc（5ab+1﹣6b）；
（3）（单项式的提公因式）
【解答】解：
过关检测
1．因式分解：＝ ．
【解答】解：原式＝2a（a﹣2）．
故答案为：2a（a﹣2）．
2.把下列各式因式分解
（1） （2）
【解答】解： ． 【解答】解： ．
（3） ． （4）
【解答】解：原式， 【解答】解：原式=
例2. 对下列式子进行因式分解（多项式的提公因式）
（1）
【解答】解：原式＝（a﹣b）4+a（a﹣b）3﹣b（a﹣b）3＝（a﹣b）3（a﹣b+a﹣b）
＝2（a﹣b）4；
（2）
【解答】解：原式＝ ．
过关检测
1. 把下列各式进行因式分解
（1）； （2）
【解答】解：原式＝（x-3）(a+2b) 【解答】解：原式＝5（x-y）2(x-y+2)
（3） （4）
【解答】解：原式＝2（1-p）2 (2q-2qp+1) 【解答】解：原式＝（x-y）(3m +n)
2.已知可分解因式为，其中、均为整数，则 ．
【解答】解：，
，
，
则，，
故，
故答案为：．
例3. 若的公因式是，则等于（ ）（次数为字母的提公因式，注意提最低次幂，在运用幂的运算求剩下的次数）
A．B．C．D．−2an+1
【解答】解：﹣2an﹣1﹣4an+1＝﹣2an﹣1（1+a2），
故选：C．
过关检测
1. 利用因式分解计算：＝ ．
【解答】解：=
2．利用因式分解计算：＝ ．
【解答】解：（﹣2）101+（﹣2）100+299
＝﹣2101+2100+299
＝299（﹣22+2+1）
＝﹣299．
故答案为：﹣299．
公式法
1.根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法！
2.公式法两种类型：
平方差公式法：
形如的式子称为完全平方式。
用完全平方公式因式分解：
需要了解的几种类型：（一般学生都不知道，需要大概讲解下）
（立方和） （立方差）
（完全立方和）
（完全立方差）
（三项式的完全平方和）
例1.利用平方差公式进行因式分解：
【解答】解： 原式＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．

【解答】解： 原式=（7n-m）(7m-n)

【解答】解： 原式=（15b-4a）(8a-9b)
过关检测
1.因式分解下列各式

【解答】解：a2（x﹣y）+4（y﹣x）
＝（x﹣y）（a2﹣4）
＝（x﹣y）（a+2）（a﹣2）．
= 2 \* GB3 ②
【解答】解：ax2﹣9a
＝a（x2﹣9）
＝a（x+3）（x﹣3）
= 3 \* GB3 ③
【解答】解：（m﹣n）2﹣9（m+n）2
＝[（m﹣n）+3（m+n）][（m﹣n）﹣3（m+n）]
＝[m﹣n+3m+3n][m﹣n﹣3m﹣3n]
＝（4m+2n）（﹣2m﹣4n）
＝﹣4（2m+n）（m+2n）．
2.下列多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A． B．C． D．
【解答】解：A、符合平方差公式的特点；
B、两平方项的符号相同，不符和平方差公式结构特点；
C、符合平方差公式的特点；
D、符合平方差公式的特点．
故选B．
3.下列多项式，不能运用平方差公式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：不能运用平方差公式分解的是﹣x2﹣y2，
故选：B．
例2.用完全平方式法对下列各式进行因式分解
（1） （2）
【解答】解：=14(3a+4b)2 【解答】解:=−(5x−1)2
（3） （4）
【解答】解:=3m22n−12 【解答】解:=(a−2b+1)2
（5） （6）
【解答】解:=(x−y)2 【解答】解:=110
过关检测
1.因式分解下列各式
（1）
【解答】解:=
（2）
【解答】解:=
（3）
【解答】解:=
（4）
【解答】解:=
例3. 已知，求的值（立方和公式因式分解）
【解答】解:a=-7
过关检测
1.（1） （立方差与平方差综合） （2）（立方和公式）
【解答】解:= 【解答】解:=
学习任务
1.下列各式从左到右，是因式分解的是（ ）
A．B．
C． D．
【解答】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，故本选项错误；
B、结果不是积的形式，故本选项错误；
C、不是对多项式变形，故本选项错误；
D、运用完全平方公式分解x2﹣4x+4=（x﹣2）2，正确．
故选D．
2.阅读下列材料：如果，那么，则，由此可知：．根据以上材料计算的根为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：x2﹣6x﹣16＝0，
（x﹣3）2﹣52＝0，
（x﹣3+5）（x﹣3﹣5）＝0，
解得：x1＝3﹣5＝﹣2，x2＝3+5＝8．
故选：A．
3.若m,n是正整数,且,则数对m,n为
【解答】解:当m=7时,n=2
m=23时，n=22
4.用完全平方式法对下列各式进行因式分解
(1) (2)
【解答】解:=(x+7)2 【解答】解:=(2a−3b)2

（3） （4）
【解答】解:=(4−x+y)2 【解答】解:=(a+b+3)2
（5）
【解答】解:=(x2+x−1)2
（6）
【解答】解:=(2x+2y−5)2
（7）
【解答】解:=(x2+4+4x)2
=(x+2)4
5.分解因式：
（1）
（2）
【解答】解：（1）a2（a﹣b）2﹣b2（a﹣b）2
＝（a﹣b）2（a2﹣b2）
＝（a﹣b）2（a+b）（a﹣b）
＝（a﹣b）3（a+b）；
（2）（a2+b2﹣c2）2﹣4a2b2
＝（a2+b2﹣c2﹣2ab）（a2+b2﹣c2+2ab）
＝[（a﹣b）2﹣c2][（a+b）2﹣c2]
＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）（a+b﹣c）（a+b+c）．
因式分解结果的标准形式
常见错误或不规范模式
符合定义，结果一定是乘积的形式
不能含有中括号，大括号
最后的因式不能再次分解
相同因式写成幂的形式
括号首项不能为负
因式中不含有分式
因式中不含无理数
单项式因式写在多项式因式前面
每个因式第一项系数一般不为分数
因式分解结果的标准形式
常见错误或不规范模式
符合定义，结果一定是乘积的形式
不能含有中括号，大括号
最后的因式不能再次分解
相同因式写成幂的形式
括号首项不能为负
因式中不含有分式
因式中不含无理数
单项式因式写在多项式因式前面
每个因式第一项系数一般不为分数