2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业 第10节中位线和多边形内角和（含答案）

这是一份2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题拔高作业 第10节中位线和多边形内角和（含答案），共40页。试卷主要包含了如图，已知，几何证明等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
课前检测
1.如图：在中，，，点，分别是，的中点，连接，，如果，那么的周长是 ．
2.已知：如图，，求图形中的的值．
3.如图，的周长为36，对角线，相交于点，点是的中点，，求的周长．
课中讲解
中位线
1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.中位线逆定理：
①在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段，是三角形的中位线.
②在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线.
例1.如图所示，为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为 m.
例2.如图，在中，，点，分别是边，的中点，延长至，使，若，则线段的长为 ．
例3.如图，在中，是上一点，且，，垂足是，是的中点．求证：．
例4.已知：四边形中，，，、分别是，的中点，则线段的取值范围是
A．B．C．D．
例5.如图，在四边形中，是对角线的中点，，分别是，的中点，，，则与的等量关系为________，的度数是 度．
例6.如图，四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、，得到的四边形叫中点四边形．
求证：四边形是平行四边形
例7.几何证明
（1）已知：如图1，、分别是的外角平分线，过点作，，垂足分别是、，连接，延长、，与直线相交．求证：．
（2）若、分别是的内角平分线，其余条件不变（如图，线段与的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
例8.如图，在四边形中，，．分别是．的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，则（不必证明）
提示：在图（1）中，连接，取的中点，连接．，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线的性质，可证明
（1）如图（2），在四边形中，与相交于点，，．分别是．的中点，连接，分别交．于点．，判断的形状，请直接写出结论．
（2）如图（3）中，在中，，点在上，，．分别是．的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，连接，判断形状并证明．
过关检测
1.如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，求的周长_______
2.如图，在中，，、、分别是边、、的中点，，，则四边形的周长是
A．18B．16C．14D．12
3.如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则长度的最大值为 ．
4.如图，，是四边形的对角线，，点为的中点，连接交于点，，．若，则长为 ．
5.如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．
（1）求证：；
（2），平分，，求的长．
6.如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接，，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）若，，求四边形的面积．
多边形内角和
1.多边形的对角线
①定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
②多边形的对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，n边形共有条对角线.
2.多边形的内角和定理：n边形的内角和等于.
3.多边形的外角和：与边数无关，始终等于.
基本公式使用
1.若正边形的每个内角都是，则的值是
A．3B．4C．6D．8
2.外周边缘为正八边形的木花窗挂件的每个内角为
A．B．C．D．
3.一个多边形的边数由原来的3增加到时，且为正整数），它的外角和
A．增加B．减小
C．增加D．没有改变
例2.
1.若经过边形的一个顶点的所有对角线可以将该边形分成7个三角形，则为
A．7B．8C．9D．10
2.从边形的一个顶点出发可以连接2018条对角线，则
A．2018B．2019C．2020D．2021
例3.如图，已知中，，若沿图中虚线剪去，则等于
A．B．C．D．
例4.如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点，且，则
B．C．D．
例5.如图，五边形是正五边形．若，则 ．
例6.如图的七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为何？
A．B．C．D．
学习任务
一个正多边形的每个内角等于，则它的边数是 ．
2．如图，在中，，，，分别是，，的中点，若，则的长是
A．1B．2C．3D．
3.如图，等边的边长是2，、分别为、的中点，延长至点，使，连接和．
（1）求证：；
（2）求的长．
4.如图，在中，平分，于点，点是的中点．
（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：；
（2）如图2，请直接写出线段、、的数量关系．
第9讲 中位线和多边形内角和（解析版）
目标层级图
本节内容
1新课，主要定位平行四边形章节中，中位线和多边形内角和部分。必考6-10分（A卷选填中）
2本节课的主要目标：1能够识别和使用中位线；2会计算多边形内角和；3多见识常考中低难度题型。中位线部分，综合题目中，难度会比较大，涉及构造和转化使用。这部分将在后期的中点综合中讲解，此讲义不会涉及。
3建议在授课过程中，中位线部分，定理和逆定理的使用需要关注。知道中位线怎么使用，还需要能够逆向判断是中位线，简单构造中位线。多边形内角和部分，比较简单，有两种方式算边或者角。一是直接使用公式，二是利用外角360°始终不变计算。两种方法都需要讲解。另外，注意多边形对应的规律题部分。
４在授课内容中，可提前复习，直角三角形斜边中线、等腰三角形三线合一、垂直平分线和角平分线考点使用。
课前检测
1.如图：在中，，，点，分别是，的中点，连接，，如果，那么的周长是 18 ．
【考点】：三角形中位线定理
【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：，分别是，的中点，
，，
，
，
，
，
，
，又是的中点，
直线是线段的垂直平分线，
，
的周长，
故答案为：18．
2.已知：如图，，求图形中的的值．
【分析】根据平行线的性质先求的度数，再根据五边形的内角和公式求的值．
【解答】解：，，
，
，
．
3.如图，的周长为36，对角线，相交于点，点是的中点，，求的周长．
【考点】：三角形中位线定理；：平行四边形的性质
【分析】根据平行四边形的对边相等和对角线互相平分可得，，又因为点是的中点，可得是的中位线，可得，所以易求的周长．
【解答】解：的周长为36，
，则．
四边形是平行四边形，对角线，相交于点，，
．
又点是的中点，
是的中位线，，，
的周长，
即的周长为15．
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课中讲解
中位线
1.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2.中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3.中位线逆定理：
①在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线.
②在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线.
性质证明学生版没有放置，需要老师证明为什么中位线平行且等于第三边一半
性质证明：已知：如图，DE是△ABC的中位线.
求证：DE//BC，DE=BC.
证明：如图，延长DE到F，使FE=DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE，∠AED=∠CEF，DE=FE，
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A=∠ECF，AD=CF.
∴CF//AB
∵BD=AD
∴CF=BD.
∴四边形DBCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DF//BC（平行四边形的定义）
DF=BC（平行四边形对边相等）
∴DE//BC，DE=BC.
中位线的直接使用
例1.如图所示，小明为了测量学校里一池塘的宽度AB，选取可以直达A、B两点的点O处，再分别取OA、OB的中点M、N，量得MN=20m，则池塘的宽度AB为 m.
【解答】40
中位线定平行四边形+直角三角形斜边中线
例2.如图，在中，，点，分别是边，的中点，延长至，使，若，则线段的长为 26 ．
【分析】先证平行四边形再用斜边中线
【解答】解：点，分别是边，的中点，
，，
，
，又，
四边形为平行四边形，
，
，点是边的中点，
，
故答案为：26．
等腰三角形三线合一可以定E点为中点
例3.如图，在中，是上一点，且，，垂足是，是的中点．求证：．
【解答】证明：在中，因为 且，
等腰三角形三线合一，所以为的中点
又因为是的中点，
所以，，且为的中位线，
因此，即．
例4在于中位线的构造，转化使用已知的AB、CD长，结合三角形三边关系写取值范围。
（初一二线段取值范围的求取一般为三点共线、三角形三边关系）
连接四边形的对角线AC或者BD，取中点。则结合中点可以围绕MN构造一个三角形。三边关系满足即可
例4.已知：四边形中，，，、分别是，的中点，则线段的取值范围是
A．B．C．D．
【考点】：三角形三边关系；：三角形中位线定理
【分析】当时，最短，利用中位线定理可得的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得的其他取值范围．
【解答】解：连接，过作，连接．
是边的中点，，，
是的中位线，，；
是的中点，，，
是的中位线，，
在中，由三角形三边关系可知，即，
，
当，即时，四边形是梯形，
故线段长的取值范围是．
故选：．
对边相等四边形+中位线构等腰三角形
例5.如图，在四边形中，是对角线的中点，，分别是，的中点，，，则与的等量关系为________，的度数是 18 度．
【分析】根据中位线定理和已知，易证明是等腰三角形．
【解答】解：在四边形中，是对角线的中点，，分别是，的中点，
，分别是与的中位线，
，，
，
，
故是等腰三角形．
，
．
故答案为：18．
中点四边形，一定是平行四边形（同一个对角线的中位线，平行且相等）
中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的
在本节课中，因为只学习了平行四边形，所以矩形、菱形等中点四边形未作拓展。
教师版有保留这部分内容，可结合自己情况拓展
例6.观察探究，完成证明和填空．
如图，四边形中，点、、、分别是边、、、的中点，顺次连接、、、，得到的四边形叫中点四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；（学生只保留一问）
当四边形变成平行四边形时，它的中点四边形是 平行四边形 ；
当四边形变成矩形时，它的中点四边形是 ；
当四边形变成菱形时，它的中点四边形是 ；
当四边形变成正方形时，它的中点四边形是 ；
（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？
【考点】：三角形中位线定理
【分析】（1）连接．利用三角形中位线定理推出所得四边形对边平行且相等，故为平行四边形；
（2）连接、．根据三角形的中位线定理，可以得到所得四边形的两组对边分别和原四边形的对角线平行，且分别等于原四边形的对角线的一半．
若顺次连接对角线相等的四边形各边中点，则所得的四边形的四条边都相等，故所得四边形为菱形；
若顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点，则所得的四边形的四个角都是直角，故所得四边形为矩形；
若顺次连接对角线相等且互相垂直的四边形各边中点，则综合上述两种情况，故所得的四边形为正方形；
（3）由以上法则可知，中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
【解答】（1）证明：连接．
、分别是、的中点，
是的中位线．
，．
同理得，．
，．
四边形是平行四边形．
（2）填空依次为平行四边形，菱形，矩形，正方形；
（3）中点四边形的形状是由原四边形的对角线的关系决定的．
故答案为平行四边形、菱形、矩形、正方形．
识别问题和构造中位线
例7难度上稍微拔高一些，主要目的依然是学生见识题型，能够进行简单的问题转化。需要从问题FG＝（AB＋BC＋AC）中去识别和转化线段，能够联想中位线。能够从三线合一中确定中点（可在此处复习等腰三角形三线合一、垂直平分线性质、角平分线性质）
例7.几何证明
（1）已知：如图1，、分别是的外角平分线，过点作，，垂足分别是、，连接，延长、，与直线相交．求证：．
（2）若、分别是的内角平分线，其余条件不变（如图，线段与的三边又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理证得，然后由全等三角形的对应边相等进一步推出，，同理，，由此可以证明为的中位线，然后利用中位线定理求得；
【解答】解：（1）如图1，，，
，
在和中，
，
，
同理：，，
是的中位线
，
，
．
（2）图2中，
理由如下：如图2，
延长、，与直线相交于、，
由（1）中证明过程类似证，
，，
同理，
，
，
，
，
答：线段与三边的数量关系是．
中位线的综合使用
例８主要考察中位线的构造、使用和转化，能够对同时出现两个中点（考虑中位线）有一定的敏感度和联想。
三角形的形状，考虑特殊情况。等边、等腰、直角、等腰直角。（可以从角的角度证明，也可从边的角度）
例8.如图，在四边形中，，．分别是．的中点，连接并延长，分别与，的延长线交于点，，则（不必证明）
（温馨提示：在图（1）中，连接，取的中点，连接．，根据三角形中位线定理，证明，从而，再利用平行线的性质，可证明
（1）如图（2），在四边形中，与相交于点，，．分别是．的中点，连接，分别交．于点．，判断的形状，请直接写出结论．
（2）如图（3）中，在中，，点在上，，．分别是．的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，连接，判断形状并证明．
【分析】（1）作出两条中位线，根据中位线定理，找到相等的同位角和线段，进而判断出三角形的形状．
（2）利用平行线和中位线定理，可以证得三角形是等边三角形，再进一步确定，进而求出，故的形状可证．
【解答】解：（1）取中点，连接，，
可知，
，
，
同理，
，
，
又，
，
，
为等腰三角形．
（2）判断出是直角三角形．
证明：如图连接，取的中点，连接、，
是的中点，
，，
同理，，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形．
，
，
即是直角三角形．
过关检测
过关检测以常考题型为住，主要在于见识题型和简单的使用
1.如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，求的周长_______
【解答】（1）证明：平分
．（三线合一）
又点是中点，
是的中位线，
，
故的周长．
勾股和中位线
2.如图，在中，，、、分别是边、、的中点，，，则四边形的周长是 B
A．18B．16C．14D．12
【解答】解：，，，
，
、、分别是边、、的中点，
，，
四边形的周长．
故选：．
3.如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则长度的最大值为 3 ． 考虑放第三节-考虑
【考点】：三角形中位线定理；：勾股定理
【分析】根据三角形的中位线定理得出，从而可知最大时，最大，因为与重合时最大，此时根据勾股定理求得，从而求得的最大值为3．
【解答】解：，，
，
最大时，最大，
与重合时最大，
此时，
的最大值为3．
故答案为3．
中位线+直角三角形斜边中线
4.如图，，是四边形的对角线，，点为的中点，连接交于点，，．若，则长为 18 ．
【分析】利用三角形中位线定理求出，再根据，求出，利用直角三角形斜边中线定理求出即可；
【解答】解：，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为18．
5.如图，在四边形中，，，，分别为，的中点，连接，，．
（1）求证：；
（2），平分，，求的长．
【考点】：直角三角形斜边上的中线；：三角形中位线定理；：勾股定理
【分析】（1）根据三角形中位线定理得，根据直角三角形斜边中线定理得，由此即可证明．
（2）首先证明，根据即可解决问题．
【解答】（1）证明：在中，、分别是、的中点，
，，
在中，是中点，
，
，
．
（2）解：，平分，
，
由（1）可知，，
，
，
，
，
，
由（1）可知，
6.如图，在中，，点，分别是边，的中点，连接，
，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）若，，求四边形的面积．
【分析】（1）欲证明，只要证明即可；
（2）只要证明，即可；
（3）只要证明，求出、即可；
【解答】（1）证明：，
，
，，
，
．
（2），，
，，
，
，
四边形是平行四边形．
（3）在中，，，
，，
，
，
，
，
．
多边形内角和
1.多边形的对角线
①定义：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
②多边形的对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n-3）条对角线，n边形共有条对角线.
2.多边形的内角和定理：n边形的内角和等于.
3.多边形的外角和
①定义：从多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和.
②多边形的外角和定理：多边形的外角和等于.
用ｎ多边形一个顶点出发可以构造（ｎ－２）个三角形，证明内角和公式
灵活使用基本公式。直接用公式计算或外角等于３６０°计算
基本公式使用
(1)若正边形的每个内角都是，则的值是 C
A．3B．4C．6D．8
(2)外周边缘为正八边形的木花窗挂件的每个内角为 D
A．B．C．D．
（3）一个多边形的边数由原来的3增加到时，且为正整数），它的外角和 D
A．增加B．减小
C．增加D．没有改变
【解答】一问为例
1先算出外角，用外角360来算
解：正边形的每个内角都是，
每一个外角都是，
多边形外角和为，
多边形的边数为，故选：．
2直接利用内角和公式，设边数为n
(n-2)×180°=120n
（2）边数为8 ，直接带入公式
（3）多边形的外角和等于，与边数无关，
例2.简单，需要有这样的题型见识
（1）若经过边形的一个顶点的所有对角线可以将该边形分成7个三角形，则为
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：依题意有，
解得：．
故选：．
（2）从边形的一个顶点出发可以连接2018条对角线，则
A．2018B．2019C．2020D．2021
【解答】解：由题意得：，解得，
故选：．
三角形内角和及平角；也可看为多边形内角和
例3.如图，已知中，，若沿图中虚线剪去，则等于
A．B．C．D．
【考点】：三角形内角和定理；：多边形内角与外角
【解答】解：
，
，
，
，
，
．故选：．
技巧：等角用ｘ、ｙ标记，更容易找等量关系
例4.如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点，且，则
A．B．C．D．
【分析】利用四边形内角和是可以求得．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得的度数，所以根据的内角和定理求得的度数即可．
【解答】解：如图，，，
．
又的角平分线与的外角平分线相交于点，
，
．
故选：．
多边形内角和＋平行线
例5.如图，五边形是正五边形．若，则 72 ．
【分析】过点作，根据正五边形的性质可得的度数，再根据平行线的性质以及等量关系可得的度数．
【解答】解：过点作，
五边形是正五边形，
，
，，
，
，，
，
．
故答案为：72．
见识题型，利用多边形外角和３６０°解题。需要判断，选取哪一个多边形进行计算
例6.如图的七边形中，、的延长线相交于点．若图中、、、的外角的角度和为，则的度数为何？
A．B．C．D．
【分析】在延长线上找一点，根据多边形的外角和为可得出，再根据邻补角互补即可得出结论．
【解答】解：在延长线上找一点，如图所示．
多边形的外角和为，
．
，
．
故选：．
学习任务
1.一个正多边形的每个内角等于，则它的边数是 5 ．
【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为，再用外角和除以，计算即可得解．
【解答】解：正多边形的每个内角等于，
每一个外角的度数为，
边数，
这个正多边形是正五边形．
故答案为：5．
2.如图，在中，，，，分别是，，的中点，若，则的长是
A．1B．2C．3D．
【解答】解：，是的中点，
，
，分别是，的中点，
，
故选：．
3.如图，等边的边长是2，、分别为、的中点，延长至点，使，连接和．
（1）求证：；
（2）求的长．
【解答】（1）证明：、分别为、的中点，
为的中位线，
，
延长至点，使，
；
（2）解：，
四边形是平行四边形，
，
为的中点，等边的边长是2，
，，，
．
4．如图，在中，平分，于点，点是的中点．
（1）如图1，的延长线与边相交于点，求证：；
（2）如图2，请直接写出线段、、的数量关系．
【考点】：三角形中位线定理；：等腰三角形的判定与性质
【分析】（1）先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
（2）结论：，先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
，
，
，，
，
，
，，
，，
．
（2）结论：，
理由：如图2中，延长交的延长线于．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．