2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题基础作业 第3节一次函数综合（含答案）

这是一份2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题基础作业 第3节一次函数综合（含答案），共40页。试卷主要包含了有三种购进方案等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
课前检测
1．在平面直角坐标系里，一条线段的函数表达式为，则与它垂直交于轴的函数表达式是 ．
2．平面直角坐标系中把函数的图象关于轴对称后得到新的函数图象，则该新图象对应的函数表达式是 .
3．在平面直角坐标系中，已知 ，点是轴上一点，若为等腰三角形，则点的坐标为 ．
4．如图，已知直线与直线交于点，与轴交于点，且直线过点和点，连接．
（1）求直线的解析式；
（2）求交点的坐标，并求出的面积；
课中讲解
一.一次函数的解析式
例1.（1）已知一次函数的图象经过点和，则此函数的解析式为 ．
（2）已知一次函数的图象经过点且和平行，则函数解析式为 ．
（3）已知直线与轴、轴的交点分别为、，则线段的垂直平分线的解析式为 ．
（4）将直线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得的直线的表达式为 ．
（5）一直线关于轴对称的直线函数表达式是 ．
过关检测
1．平面直角坐标系中，已知点和点，则直线的解析式为 ．
2．一次函数的图象在轴上的截距为3，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是 ．
3．已知直线过，且垂直于直线，直线的解析式为 ．
4．将直线向下平移2个单位，再向左平移2个单位，所得直线的函数表达式是 ．
5．若一次函数与函数的图象关于轴对称，且交点在轴上，则这个函数的表达式为： ．
6．已知直线，则直线关于轴对称的直线函数关系式是 ．
二.一次函数背景下的方案选择
例1．世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”．为了响应节能减排的号召，某品牌汽车店准备购进型（电动汽车）和型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求．市场营销人员经过市场调查得到如下信息：
（1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？
（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为30万公里，那么从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由．
过关检测
1．某工厂从外地购得种原料16吨，种原料13吨，现计划租用甲，乙两货车共6辆将
购得的原料一次性运回工厂．已知一辆甲种货车可装2吨种原料和3吨原料；一辆乙
种货车可装3吨种原料和2吨种原料．设安排甲种货车辆．
（1）如何安排甲，乙两种货车？写出所有可行方案．
（2）若甲种货车的运费是每辆500元，乙种货车的运费是每辆350元．设总运费为元，（元与（辆之间的函数关系式；
（3）在（2）的前提下，当为何值时，总运费最少，此时总运费是多少元？
三.一次函数与面积
例1．如图，直线分别与轴、轴交于点，，已知点的坐标为，点的坐标为．
（1）求的值；
（2）若点是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，试写出的面积关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）探究：当点运动到什么位置时，的面积为，并说明理由．
过关检测
1．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）求的面积；
（2）过点作直线与轴相交于点，若的面积是16，求点的坐标；
四.一次函数背景下的存在性问题
例1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形．若不存在，请说明理由；若存在，
请直接写出点的坐标．
例2．如图，直线的函数关系式为，且与轴交于点，直线经过点，，直线与交于点．
（1）求直线的函数关系式；
（2）求的面积；
（3）点是轴上一动点，问是否存在一点，恰好使为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
五.一次函数与动点
例1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点在直线上，点是线段上的一个动点，过点作轴交直线点，设点的横坐标为．
（1）的值为 ；
（2）用含有的式子表示线段的长；
（3）若的面积为，求与之间的函数表达式，并求出当最大时点的坐标；
例2．如图（），直线经过点、，，直线交轴于点，且与直线交于点，连接．
（1）求直线的表达式；
（2）求的面积；
（3）如图（），点是直线上的一动点；连接交线段于点，当与的面积相等时，求点的坐标．
六.一次函数与几何综合
例1．如图，在等边中，点，点是原点，点是轴正半轴上的动点，以为边向左侧作等边，当时，求的长．
例2．如图所示，把矩形纸片放入直角坐标系中，使、分别落在、轴的正半轴上，连接，且，
（1）求所在直线的解析式；
（2）将纸片折叠，使点与点重合（折痕为，求折叠后纸片重叠部分的面积．
（3）求所在的直线的函数解析式．
学习任务
1．已知直线与直线互相垂直，且直线经过点，现将直线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到的新直线解析式为 ．
2．一条直线经过点，且与直线平行， 则这条直线的解析式为 ．
3．已知，如图，一次函数的图象经过了点和，与轴交于点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在轴上存在一点，且的面积为，求点的坐标．
4．今年6月份，海南某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10
辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，一种货车可装荔枝香
蕉各2吨；若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，设总运
费为，租用甲种货车辆．
（1）该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来
（2）写出和的函数关系式；该果农应选择哪种方案，使运费最少？最少运费是多少元？
5．已知：如图，直线与轴交于，直线分别与轴交于点，与轴交于点，两条直线相交于点，连接．
（1）直接写出直线、的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）在轴上存在点，能使为等腰三角形，求出所有满足条件的点的坐标．
第3讲 一次函数综合（解析版）
目标层级图
课前检测
1．在平面直角坐标系里，一条线段的函数表达式为，则与它垂直交于轴的函数表达式是 ．
【解答】解：令，则，
令，则，解得，
所以，直线与轴的交点坐标为，
与轴的交点坐标为，
所求直线与垂直交于轴，
所求直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
设直线解析式为，
则，
解得，
函数表达式为．
故答案为：．
2．平面直角坐标系中把函数的图象关于轴对称后得到新的函数图象，则该新图象对应的函数表达式是
【解答】解：因为函数的图象经过，两点，
，关于轴对称后得到新的坐标为，，
把，代入，
可得：，
解得：，
所以该新图象对应的函数表达式是，
故答案为：．
3．在平面直角坐标系中，已知 ，点是轴上一点，若为等腰三角形，则点的坐标为 ．
【解答】解：如图所示：，
分三种情况：当时，可得到2点，，，；当时，可得到一点，；当时，可得到一点，．
故答案为：，，，，．
4．如图，已知直线与直线交于点，与轴交于点，且直线过点和点，连接．
（1）求直线的解析式；
（2）求交点的坐标，并求出的面积；
【解答】解：（1）设直线解析式为：，
直线过点和点，
，
直线解析式为：，
（2）根据题意得：，
解得：，
点坐标为；
直线与轴交于点，
，
和点，
，，
，
，
；
课中讲解
一.一次函数的解析式
例1.（1）已知一次函数的图象经过点和，则此函数的解析式为 ．
【解答】解：由题意可得方程组，
解得，
则此函数的解析式为：．
（2）已知一次函数的图象经过点且和平行，则函数解析式为 ．
【解答】解：由一次函数的图象平行于直线，可知
则一次函数为，
将的坐标代入，得：，
解得：
这个一次函数的解析式是．
故答案为：．
（3）已知直线与轴、轴的交点分别为、，则线段的垂直平分线的解析式为 ．
【解答】解：直线与轴、轴的交点分别为、，
当时，，当时，，
，，
线段的中点为，
设线段的垂直平分线的解析式为，
代入得，，
解得，
线段的垂直平分线的解析式为，
故答案为．
（4）将直线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后，所得的直线的表达式为 ．
【解答】解：根据题意知，平移后的直线解析式是：．即．
故答案是：．
（5）一直线关于轴对称的直线函数表达式是 ．
【解答】解：关于轴对称的点纵坐标不变横坐标互为相反数，
直线关于轴对称的直线函数表达式为．
故答案为．
过关检测
1．平面直角坐标系中，已知点和点，则直线的解析式为 ．
【解答】解：设直线的解析式为，
把，代入得到，
解得，
直线的解析式为，
故答案为．
2．一次函数的图象在轴上的截距为3，且与直线平行，那么这个一次函数的解析式是 ．
【解答】解：设所求直线解析式为，
一次函数的图象在轴上的截距为3，且与直线平行，
，，
所求直线解析式为．
故答案为．
3．已知直线过，且垂直于直线，直线的解析式为 ．
【解答】解：直线与直线垂直，
可设直线的解析式是，
把代入得：，
直线解析式是，
故答案为：．
4．将直线向下平移2个单位，再向左平移2个单位，所得直线的函数表达式是 ．
【解答】解：将直线先向下平移2个单位，得到直线，即，
再向左平移2个单位，所得的解析式为，即．
故答案为：．
5．若一次函数与函数的图象关于轴对称，且交点在轴上，则这个函数的表达式为： ．
【解答】解：两函数图象交于轴，
，
解得：，
，
与关于轴对称，
，
．
故答案为：．
6．已知直线，则直线关于轴对称的直线函数关系式是 ．
【解答】解：关于轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，
直线与直线关于轴对称，则直线的解析式为．
故答案为：．
二.一次函数背景下的方案选择
例1．世界环境日的主题为“多个物种、一颗星球、一个未来”．为了响应节能减排的号召，某品牌汽车店准备购进型（电动汽车）和型（太阳能汽车）两种不同型号的汽车共16辆，以满足广大支持环保的购车者的需求．市场营销人员经过市场调查得到如下信息：
（1）若经营者的购买资金不少于576万元且不多于600万元，则有哪几种进车方案？
（2）在（1）的前提下，如果你是经营者，并且所进的汽车能全部售出，你会选择哪种进车方案才能使获得的利润最大？最大利润是多少？
（3）假设每台电动汽车每公里的用电费用为0.65元，且两种汽车最大行驶里程均为30万公里，那么从节约资金的角度，你做为一名购车者，将会选购哪一种型号的汽车？并说明理由．
【解答】解：（1）设型汽车购进辆，则型汽车购进辆．
根据题意得：，解得：．
为整数，取6、7、8．有三种购进方案：
（2）设总利润为万元．根据题意得：
．
，随的增大而减小，
当时，有最大值，（万元）
当购进型车6辆，型车10辆时，可获得最大利润，最大利润是42万元．
（3）设电动汽车行驶的里程为万公里．
当时，解得：．选购太阳能汽车比较合算．
过关检测
1．某工厂从外地购得种原料16吨，种原料13吨，现计划租用甲，乙两货车共6辆将
购得的原料一次性运回工厂．已知一辆甲种货车可装2吨种原料和3吨原料；一辆乙
种货车可装3吨种原料和2吨种原料．设安排甲种货车辆．
（1）如何安排甲，乙两种货车？写出所有可行方案．
（2）若甲种货车的运费是每辆500元，乙种货车的运费是每辆350元．设总运费为元，（元与（辆之间的函数关系式；
（3）在（2）的前提下，当为何值时，总运费最少，此时总运费是多少元？
【解答】解：（1）由题意可得，
，解得，，有两种可行方案，
方案一：安排甲种货车1辆，乙种货车5辆，
方案二：安排甲种货车2辆，乙种货车4辆；
（2）由题意可得，，
即（元与（辆之间的函数关系式是；
（3）由（2）知，，，
当时，取得最小值，此时，
答：为1时，总运费最少，此时总运费是2250元．
三.一次函数与面积
例1．如图，直线分别与轴、轴交于点，，已知点的坐标为，点的坐标为．
（1）求的值；
（2）若点是该直线上的一个动点，且在第二象限内运动，试写出的面积关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
（3）探究：当点运动到什么位置时，的面积为，并说明理由．
【解答】解；（1）直线过点，，；
（2）点的坐标为，，
点是第二象限内的直线上的一个动点，
的面积；
（3）设点时，其面积，则，解得，
则或者（舍去），
当时，，则，故，时，三角形的面积为．
过关检测
1．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点．
（1）求的面积；
（2）过点作直线与轴相交于点，若的面积是16，求点的坐标；
【解答】解：（1）把代入得：，即点的坐标为：，
把代入得：，解得：，即点的坐标为：，
，即的面积为12，
（2）根据题意得：点到的距离为4，，解得：，
即点到点的距离为8，，，即点的坐标为：或．
四.一次函数背景下的存在性问题
例1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线相交于点．
（1）求直线的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）在轴上是否存在一点，使是等腰三角形．若不存在，请说明理由；若存在，
请直接写出点的坐标．
【解答】解：（1）将点，代入中，得，
，直线的函数表达式为；
（2）由（1）知，直线的函数表达式为①，
直线，联立①②解得，，，
，，；
（3）设，
，，．，，
是等腰三角形，
①当时，，，或，
②当时，，，，，
③当时，，（舍或，，
即：满足条件的点的坐标为或或或，．
例2．如图，直线的函数关系式为，且与轴交于点，直线经过点，，直线与交于点．
（1）求直线的函数关系式；
（2）求的面积；
（3）点是轴上一动点，问是否存在一点，恰好使为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设直线的函数关系式为：，
直线过点，，
，解得：，
直线的函数关系式为：；
（2）直线与交于点．
，解得，
将代入得，
点的坐标是，
点的坐标是，
，
；
（3）存在一点，恰好使为直角三角形，
点的坐标为或，
如图，
当时，轴，
由（2）知，，
点坐标为，
当时，
设，则，，
，，
，，
在中，，
在中，，
，
解得：，
，
即：满足条件的点的坐标为或．
五.一次函数与动点
例1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，点在直线上，点是线段上的一个动点，过点作轴交直线点，设点的横坐标为．
（1）的值为 7 ；
（2）用含有的式子表示线段的长；
（3）若的面积为，求与之间的函数表达式，并求出当最大时点的坐标；
【解答】解：（1）点在直线上，则，
故答案为：7；
（2）点的横坐标为，点，
轴交直线于点，
点，
；
（3）直线与轴交于点，
点，
的面积的面积，
，
随的增大而增大，
点是线段上的一个动点，
当点与点重合时，有最大值，即时，有最大值．
当时，，
点；
例2．如图（），直线经过点、，，直线交轴于点，且与直线交于点，连接．
（1）求直线的表达式；
（2）求的面积；
（3）如图（），点是直线上的一动点；连接交线段于点，当与的面积相等时，求点的坐标．
【解答】解：（1），则点、的坐标分别为：、，
将点、的坐标代入一次函数表达式：得：，解得：，
故直线的表达式为：①；
（2）联立、的表达式得：，解得：，故点；
的面积；
（3）与的面积相等，
则，
则点、到的距离相等，故所在的直线与平行，
则直线的表达式为：②，
联立①②并解得：，
则点，．
六.一次函数与几何综合
例1．如图，在等边中，点，点是原点，点是轴正半轴上的动点，以为边向左侧作等边，当时，求的长．
【解答】解：如图，连结，作交于点，
和是等边三角形，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
的长为．
例2．如图所示，把矩形纸片放入直角坐标系中，使、分别落在、轴的正半轴上，连接，且，
（1）求所在直线的解析式；
（2）将纸片折叠，使点与点重合（折痕为，求折叠后纸片重叠部分的面积．
（3）求所在的直线的函数解析式．
【解答】解：
（1），
可设，则，
在中，由勾股定理可得，
，解得舍去），
，，
，，
设直线解析式为，
，解得，
直线解析式为；
（2）由折叠的性质可知，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
，解得，
，
，，
，
，
，
即重叠部分的面积为10；
（3）由（2）可知，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为．
学习任务
1．已知直线与直线互相垂直，且直线经过点，现将直线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到的新直线解析式为 ．
【解答】解：设直线的解析式为，
直线与直线互相垂直，
，
直线经过点，
，
，
，
直线先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，
新直线的解析式为，
故答案为
2．一条直线经过点，且与直线平行， 则这条直线的解析式为 ．
【解答】解： 设所求直线解析式为，
直线与直线平行，
，
把代入得，解得，
所求直线解析式为．
故答案是：．
3．已知，如图，一次函数的图象经过了点和，与轴交于点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）在轴上存在一点，且的面积为，求点的坐标．
【解答】解：（1）设一次函数的解析式为，
把点和代入得，解得，
所以一次函数解析式为；
（2）当时，，解得，则，，
在轴上存在一点，且的面积为，
，即，，或．
4．今年6月份，海南某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10
辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，一种货车可装荔枝香
蕉各2吨；若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，设总运
费为，租用甲种货车辆．
（1）该果农按排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来
（2）写出和的函数关系式；该果农应选择哪种方案，使运费最少？最少运费是多少元？
【解答】解：（1）设租用甲种货车辆，则租用乙种货车辆，
根据题意得，，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以，不等式组的解集是，
为货车的辆数，是正整数，、6、7，
租车方案有：方案一：租用甲货车5辆，乙货车5辆，
方案二：租用甲货车6辆，乙货车4辆，
方案三：租用甲货车7辆，乙货车3辆；
（2），，
，随的增大而增大，时，运费最少，
最少运费是：元．
5．已知：如图，直线与轴交于，直线分别与轴交于点，与轴交于点，两条直线相交于点，连接．
（1）直接写出直线、的函数表达式；
（2）求的面积；
（3）在轴上存在点，能使为等腰三角形，求出所有满足条件的点的坐标．
【解答】解：（1）直线与轴交于，，
直线的解析式，
直线分别与轴交于点，，，
直线的解析式；
（2）由（1）知，直线的解析式①，直线的解析式②，
联立①②解得，，，，，
对于直线的解析式，令，，，
；
（3）设，
，，，，，
是等腰三角形，①当时，，，，
②当时，，（舍或，，
③当时，，，，或，，
即：点的坐标为，或或，或．
成本价（万元辆）
售价（万元辆）
型
30
32
型
42
45
成本价（万元辆）
售价（万元辆）
型
30
32
型
42
45
型
6辆
7辆
8辆
型
10辆
9辆
8辆