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2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题基础作业 第8节分式方程（含答案）
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这是一份2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题基础作业 第8节分式方程（含答案），共37页。试卷主要包含了当为何值时，方程会产生增根，解方程，解分式方程的步骤，若关于的方程有增根，则的值是，若关于的方程无解，则的值是，列方程解应用题等内容，欢迎下载使用。
目标层级图
课前检测
1．（1）当为何值时，方程会产生增根．
（2）当为何值时，方程无解．
（3）已知关于的方程的解为正数，求的取值范围．
2．解方程：
（1） （2）
课中讲解
一、分式方程的定义及解法
1．分式方程的定义： 含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边 且 的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
3．解分式方程的步骤
①去分母（即在方程两边都乘 ，把分式方程化为 ）；
②求出整式方程的解；
③检验（验根，把整式方程的根代入最简公分母；① →是原方程的根；
② →是原方程的 ）．
增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
④得出结论．
例1.下列各式中分式方程有 个．
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1B．2C．3D．以上都不对
过关检测
1．下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
例2．解分式方程，去分母得
A．B．C．D．
例3．解方程：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
过关检测
1．解分式方程时，去分母可得
A．B．C．D．
2．解方程：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
二、分式方程含参
例4．（1）若关于的方程有增根，则的值是
A．B．C．3D．
（2）若分式方程有增根，则实数的取值是
A．0或2B．4C．8D．4或8
（3）若方程有增根，则它的增根是
A．0B．1C．D．1和
过关检测
1．关于的方程有增根，则方程的增根是
A．B．4C．D．2
2．关于的方程有增根，则
A．或6B．或C．或6D．或或6
3．分式方程有增根，则的值为
A．0和3B．1C．1和D．3
例5．（1）若关于的方程无解，则的值是
A．B．2C．D．3
（2）若关于的分式方程无解，则的值为
A．B．1C．或2D．或
过关检测
1．若关于的分式方程无解，则的值是
A．或B．C．D．或
2．若关于的分式方程无解，则 ．
例6．（1）已知关于的方程有解，则的取值范围是 ．
（2）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是
A．或 B．C．D．且
（3）若分式方程有正数解，则的取值范围是 ．
过关检测
1．已知关于的方程有解，则的取值范围是 ．
2．已知关于的分式方程有解，则应满足的条件是
A．且B．C．或D．或
3．若关于的分式方程，有负数解，则实数的取值范围是 ．
三、分式方程的应用
列分式方程解应用题步骤
（1）审（审题，明确已知量和未知量）
（2）设（设出未知数）
（3）列（找出等量关系，列出分式方程）
（4）解（解这个分式方程）
（5）验（检验根是否满足原分式方程且符合题意）
（6）答（写出答案并作答）
例7．（1），两地相距48千米，一艘轮船从地顺流航行至地，又立即从地逆流返回地，共用去9小时，已知水流速度为4千米时，若设该轮船在静水中的速度为千米时，则可列方程
A．B．
C．D．
（2）在临桂新区建设中，需要修一段全长的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路，则根据题意可得方程 ．
过关检测
1．，两地相距，新修的高速公路开通后，在，两地间行驶的长途客车平均车速提高了，而从地到地的时间缩短了．若设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
2．某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元．设此商品的进价是元，则可列方程 ．
例8．列方程解应用题
今年1月下旬以来，新冠肺炎疫情在全国范围内迅速蔓延，而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌．企业复工复产急需口罩，某大型国有企业向生产口罩的、两厂订购口罩，向厂支付了1.32万元，向厂支付了2.4万元，且在厂订购的口罩数量是厂的2倍，厂的口罩每只比厂低0.2元．求、两厂生产的口罩单价分别是多少元？
例9．某快餐店欲购进、两种型号的餐盘，每个种型号的餐盘比每个种型号的餐盘费用多10元，且用120元购进的种型号的餐盘与用90元购进的餐盘的数量相同．
（1）、种两型号的餐盘单价为多少元？
（2）若该快餐店决定在成本不超过3000元的前提购进、两种型号的餐盘80个，求最多购进种型号餐盘多少个？
过关检测
1．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
2．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
学习任务
1．在下列方程中，关于的分式方程的个数有
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．将分式方程去分母后得到的整式方程，正确的是
A．B．C．D．
3．分式方程有增根，则的值为
A．0和2B．1C．1和D．2
4．当 时，方程无解．
5．要使方程有正数解，则的取值范围是 ．
6．甲、乙两地相距，如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均速度是特快列车的1.6倍，设特快列车的平均速度为，根据题意可列方程为 ．
7. 解分式方程：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
8．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
第8讲 分式方程（解析版）
目标层级图
课前检测
1．（1）当为何值时，方程会产生增根．
（2）当为何值时，方程无解．
（3）已知关于的方程的解为正数，求的取值范围．
【解答】解：（1）方程会产生增根，
，
，
分式方程化为整式方程后得，，
当时，；
当时，；
当或时，方程会产生增根；
（2）分式方程化为整式方程后得，，整理得，，
当时，，经检验是分式方程的增根，
当时，方程有无数个解，
当时，方程无解；
（3）分式方程化为整式方程后得，，
整理得，，
，
关于的方程的解为正数，
且，
，且，
的取值范围，且；
2．解方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
（2）去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解．
课中讲解
一、分式方程的定义及解法
1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
3．解分式方程的步骤
①去分母（即在方程两边都乘最简公分母，把分式方程化为整式方程）；
②求出整式方程的解；
③检验（验根，把整式方程的根代入最简公分母；①最简公分母→是原方程的根；②最简公分母→是原方程的增根）．
增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
④得出结论．
例1.下列各式中分式方程有 个．
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1B．2C．3D．以上都不对
【解答】解：（1）不是等式，故不是分式方程；
（2）是分式方程；
（3）是无理方程，不是分式方程；
（4）是分式方程．
故选：
过关检测
1．下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：关于的方程②，③中，分母中都含有字母，都是分式方程；
关于的方程①，④中，程分母中不含未知数，故不是分式方程．
综上所述，是分式方程的有②、③，共2个．
故选：．
例2．解分式方程，去分母得
A．B．C．D．
【解答】解：分式方程整理得：，
去分母得：，
故选：．
例3．解方程：
（1）；
（2）
（3）
（4）
（5）
【解答】解：
（1），
解得，
经检验是方程的根．
（2）
解得
经检验：是原方程的根
原方程的解是．
（3）
解得
检验：把代入到中，
得：
原分式方程无解．
（4），
解得，
经检验是方程的增根．
方程无解．
（5）原方程可变形为：，
左右两边分别通分得：，
整理得：，
去分母得：，
解得：．
检验：将代入．
得：是增根，
原方程无解．
过关检测
1．解分式方程时，去分母可得
A．B．C．D．
【解答】解：去分母得：，
故选：．
2．解方程：
（1）
（2）
（3）．
（4）．
（5）
【解答】解：
（1）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化为1，得：，
经检验，当时，，即是原分式方程的解，
所以原方程的解是．
（2）去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
（3）去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的增根，
原分式方程无解．
（4）方程两边同乘得，
，
解这个方程，得，
把代入原来的分母，有一个分母等于0，所以不是原分式方程的解，
即是原方程的增根，原方程无解．
（5）方程两边同乘，
得：，
整理解得．
经检验是增根，
故原方程无解．
二、分式方程含参
例4．（1）若关于的方程有增根，则的值是
A．B．C．3D．
【解答】解：由得，
关于的方程有增根，
，
当时，，
解得，
故选：．
（2）若分式方程有增根，则实数的取值是
A．0或2B．4C．8D．4或8
【解答】解：方程两边同乘，得，
由题意得，分式方程的增根为0或2，
当时，，
解得，，
当时，，
解得，，
故选：．
（3）若方程有增根，则它的增根是
A．0B．1C．D．1和
【解答】解：方程两边都乘，得
，
由最简公分母，可知增根可能是或．
当时，，
当时，得到，这是不可能的，
所以增根只能是．
故选：．
过关检测
1．关于的方程有增根，则方程的增根是
A．B．4C．D．2
【解答】解：由分式方程有增根，得到，
解得：．
故选：．
2．关于的方程有增根，则
A．或6B．或C．或6D．或或6
【解答】解：原方程去分母得：
因为分式方程的増根为，
所以或
得或．
故选：．
3．分式方程有增根，则的值为
A．0和3B．1C．1和D．3
【解答】解：分式方程有增根，
，，
，．
两边同时乘以，原方程可化为，
整理得，，
当时，代入得：，
当时，代入得：，
当时，方程为，
此时，
即方程无解，
时，分式方程有增根，
故选：．
例5．（1）若关于的方程无解，则的值是
A．B．2C．D．3
【解答】解：方程无解，
是方程的增根，
，
．
故选：．
（2）若关于的分式方程无解，则的值为
A．B．1C．或2D．或
【解答】解：方程两边都乘以得：，
即，
分两种情况考虑：
①当时，此方程无解，
此时，
②关于的分式方程无解，
或，
即，，
当时，代入①得：，
解得：此方程无解；
当时，代入①得：，
解得：，
的值是或，
故选：．
过关检测
1．若关于的分式方程无解，则的值是
A．或B．C．D．或
【解答】解：去分母得：，
由分式方程无解，得到或，
把代入整式方程得：；
把代入整式方程得：．
故选：．
2．若关于的分式方程无解，则 或6或1 ．
【解答】解：（1）为原方程的增根，
此时有，即，
解得．
（2）为原方程的增根，
此时有，即，
解得．
（3）方程两边都乘，
得，
化简得：．
当时，整式方程无解．
综上所述，当或或时，原方程无解．
例6．（1）已知关于的方程有解，则的取值范围是 ．
【解答】解：去分母得：，
，
，
，
关于的方程有解，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
（2）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是
A．或B．C．D．且
【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：
，
关于的分式方程有解，
，且，
即，
系数化为1得：，
且，
即，，
综上所述：关于的分式方程有解，则字母的取值范围是，，
故选：．
（3）若分式方程有正数解，则的取值范围是 且 ．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
由分式方程有正数解，得到且，
解得：且，
则的取值范围是且；
故答案为：且．
过关检测
1．已知关于的方程有解，则的取值范围是 ．
【解答】解：去分母得：，
，
，
，
关于的方程有解，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
2．已知关于的分式方程有解，则应满足的条件是
A．且B．C．或D．或
【解答】解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
分式方程有解，
，
且，
故选：．
3．若关于的分式方程，有负数解，则实数的取值范围是 且 ．
【解答】解：，
分式方程去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
分式方程的解为负数，
且，
解得：且．
故答案为：且．
三、分式方程的应用
列分式方程解应用题步骤
（1）审（审题，明确已知量和未知量）
（2）设（设出未知数）
（3）列（找出等量关系，列出分式方程）
（4）解（解这个分式方程）
（5）验（检验根是否满足原分式方程且符合题意）
（6）答（写出答案并作答）
例7．（1），两地相距48千米，一艘轮船从地顺流航行至地，又立即从地逆流返回地，共用去9小时，已知水流速度为4千米时，若设该轮船在静水中的速度为千米时，则可列方程
A．B．
C．D．
【解答】解：顺流时间为：；逆流时间为：．
所列方程为：．
故选：．
（2）在临桂新区建设中，需要修一段全长的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路，则根据题意可得方程 ．
【解答】解：原计划用的时间为：，实际用的时间为：．所列方程为：，
故答案为：．
过关检测
1．，两地相距，新修的高速公路开通后，在，两地间行驶的长途客车平均车速提高了，而从地到地的时间缩短了．若设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
【解答】解：设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为：
．
故选：．
2．某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元．设此商品的进价是元，则可列方程 ．
【解答】解：方程为：，
故答案为：．
例8．列方程解应用题
今年1月下旬以来，新冠肺炎疫情在全国范围内迅速蔓延，而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌．企业复工复产急需口罩，某大型国有企业向生产口罩的、两厂订购口罩，向厂支付了1.32万元，向厂支付了2.4万元，且在厂订购的口罩数量是厂的2倍，厂的口罩每只比厂低0.2元．求、两厂生产的口罩单价分别是多少元？
【解答】解：设厂生产的口罩单价为元，则厂生产的口罩单价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：厂生产的口罩单价为2.2元，厂生产的口罩单价为2元．
例9．某快餐店欲购进、两种型号的餐盘，每个种型号的餐盘比每个种型号的餐盘费用多10元，且用120元购进的种型号的餐盘与用90元购进的餐盘的数量相同．
（1）、种两型号的餐盘单价为多少元？
（2）若该快餐店决定在成本不超过3000元的前提购进、两种型号的餐盘80个，求最多购进种型号餐盘多少个？
【解答】解：（1）设型号的餐盘单价为元，则型号的餐盘单价为元，
由题意可列方程，
解得．
经检验：是原分式方程的根．
则．
答：型号的餐盘单价为40元，型号的餐盘单价为30元；
（2）设购进种型号餐盘个，
由题可知，
解得．
答：最多购进种型号餐盘60个．
过关检测
1．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是件，则购进第二批这种衬衫是件，依题意有
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件．
（2），
设每件衬衫的标价元，依题意有
，
解得．
答：每件衬衫的标价至少是150元．
2．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【解答】解：（1）设二号施工队单独施工需要天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要60天．
（2）根据题意得：（天．
答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天．
学习任务
1．在下列方程中，关于的分式方程的个数有
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：①是一元二次方程，
②，是数字不是未知数，是一元一次方程；
③是分式方程；
④是分式方程；
⑤是分式方程；
⑥是一元一次方程．
故选：．
2．将分式方程去分母后得到的整式方程，正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：去分母得：，
故选：．
3．分式方程有增根，则的值为
A．0和2B．1C．1和D．2
【解答】解：方程两边都乘，得，
方程有增根，
最简公分母，即增根是或，
把代入整式方程，得，
把代入整式方程，得，方程无解，
．
故选：．
4．当 时，方程无解．
【解答】解：原方程化为整式方程得，
因为无解即有增根，
，
，
当时，．
故答案为：
5．要使方程有正数解，则的取值范围是 且 ．
【解答】解：方程去分母得，解得．
因为方程有解，所以不能为增根，即，所以．
又因为方程的解为正数，所以，解得．故的取值范围是且．
6．甲、乙两地相距，如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均速度是特快列车的1.6倍，设特快列车的平均速度为，根据题意可列方程为 ．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
7. 解分式方程：
（1）．
（2）．
（3）
（4）
（5）．
【解答】解：
（1），
方程两边乘得：，
解得：，
检验：当时，．
所以原方程的解为．
（2）方程两边同时乘以，得
整理得，，
解得，，
检验：把代入，
因此是原方程的解．
（3）方程两边同乘，
得：，
解得．
经检验是方程的根．
（4）方程两边同乘，得
，
整理得，
解得．
经检验：是原方程的解．
（5）方程化为：，
方程两边都乘以得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，
即原方程无解．
8．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
【解答】解：（1）设第一批购进书包的单价是元．第二批供应书包单价元
则：．
解得：．
经检验：是原方程的根．
答：第一批购进书包的单价是80元．
（2）（元．
答：商店共盈利3700元．
目标层级图
课前检测
1．（1）当为何值时，方程会产生增根．
（2）当为何值时，方程无解．
（3）已知关于的方程的解为正数，求的取值范围．
2．解方程：
（1） （2）
课中讲解
一、分式方程的定义及解法
1．分式方程的定义： 含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边 且 的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
3．解分式方程的步骤
①去分母（即在方程两边都乘 ，把分式方程化为 ）；
②求出整式方程的解；
③检验（验根，把整式方程的根代入最简公分母；① →是原方程的根；
② →是原方程的 ）．
增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
④得出结论．
例1.下列各式中分式方程有 个．
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1B．2C．3D．以上都不对
过关检测
1．下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
例2．解分式方程，去分母得
A．B．C．D．
例3．解方程：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
过关检测
1．解分式方程时，去分母可得
A．B．C．D．
2．解方程：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
二、分式方程含参
例4．（1）若关于的方程有增根，则的值是
A．B．C．3D．
（2）若分式方程有增根，则实数的取值是
A．0或2B．4C．8D．4或8
（3）若方程有增根，则它的增根是
A．0B．1C．D．1和
过关检测
1．关于的方程有增根，则方程的增根是
A．B．4C．D．2
2．关于的方程有增根，则
A．或6B．或C．或6D．或或6
3．分式方程有增根，则的值为
A．0和3B．1C．1和D．3
例5．（1）若关于的方程无解，则的值是
A．B．2C．D．3
（2）若关于的分式方程无解，则的值为
A．B．1C．或2D．或
过关检测
1．若关于的分式方程无解，则的值是
A．或B．C．D．或
2．若关于的分式方程无解，则 ．
例6．（1）已知关于的方程有解，则的取值范围是 ．
（2）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是
A．或 B．C．D．且
（3）若分式方程有正数解，则的取值范围是 ．
过关检测
1．已知关于的方程有解，则的取值范围是 ．
2．已知关于的分式方程有解，则应满足的条件是
A．且B．C．或D．或
3．若关于的分式方程，有负数解，则实数的取值范围是 ．
三、分式方程的应用
列分式方程解应用题步骤
（1）审（审题，明确已知量和未知量）
（2）设（设出未知数）
（3）列（找出等量关系，列出分式方程）
（4）解（解这个分式方程）
（5）验（检验根是否满足原分式方程且符合题意）
（6）答（写出答案并作答）
例7．（1），两地相距48千米，一艘轮船从地顺流航行至地，又立即从地逆流返回地，共用去9小时，已知水流速度为4千米时，若设该轮船在静水中的速度为千米时，则可列方程
A．B．
C．D．
（2）在临桂新区建设中，需要修一段全长的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路，则根据题意可得方程 ．
过关检测
1．，两地相距，新修的高速公路开通后，在，两地间行驶的长途客车平均车速提高了，而从地到地的时间缩短了．若设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
2．某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元．设此商品的进价是元，则可列方程 ．
例8．列方程解应用题
今年1月下旬以来，新冠肺炎疫情在全国范围内迅速蔓延，而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌．企业复工复产急需口罩，某大型国有企业向生产口罩的、两厂订购口罩，向厂支付了1.32万元，向厂支付了2.4万元，且在厂订购的口罩数量是厂的2倍，厂的口罩每只比厂低0.2元．求、两厂生产的口罩单价分别是多少元？
例9．某快餐店欲购进、两种型号的餐盘，每个种型号的餐盘比每个种型号的餐盘费用多10元，且用120元购进的种型号的餐盘与用90元购进的餐盘的数量相同．
（1）、种两型号的餐盘单价为多少元？
（2）若该快餐店决定在成本不超过3000元的前提购进、两种型号的餐盘80个，求最多购进种型号餐盘多少个？
过关检测
1．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
2．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
学习任务
1．在下列方程中，关于的分式方程的个数有
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．将分式方程去分母后得到的整式方程，正确的是
A．B．C．D．
3．分式方程有增根，则的值为
A．0和2B．1C．1和D．2
4．当 时，方程无解．
5．要使方程有正数解，则的取值范围是 ．
6．甲、乙两地相距，如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均速度是特快列车的1.6倍，设特快列车的平均速度为，根据题意可列方程为 ．
7. 解分式方程：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
8．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
第8讲 分式方程（解析版）
目标层级图
课前检测
1．（1）当为何值时，方程会产生增根．
（2）当为何值时，方程无解．
（3）已知关于的方程的解为正数，求的取值范围．
【解答】解：（1）方程会产生增根，
，
，
分式方程化为整式方程后得，，
当时，；
当时，；
当或时，方程会产生增根；
（2）分式方程化为整式方程后得，，整理得，，
当时，，经检验是分式方程的增根，
当时，方程有无数个解，
当时，方程无解；
（3）分式方程化为整式方程后得，，
整理得，，
，
关于的方程的解为正数，
且，
，且，
的取值范围，且；
2．解方程：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
（2）去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解．
课中讲解
一、分式方程的定义及解法
1．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
注意：在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
3．解分式方程的步骤
①去分母（即在方程两边都乘最简公分母，把分式方程化为整式方程）；
②求出整式方程的解；
③检验（验根，把整式方程的根代入最简公分母；①最简公分母→是原方程的根；②最简公分母→是原方程的增根）．
增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．
④得出结论．
例1.下列各式中分式方程有 个．
（1）；（2）；（3）；（4）．
A．1B．2C．3D．以上都不对
【解答】解：（1）不是等式，故不是分式方程；
（2）是分式方程；
（3）是无理方程，不是分式方程；
（4）是分式方程．
故选：
过关检测
1．下列关于的方程①，②，③，④中，是分式方程的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
【解答】解：关于的方程②，③中，分母中都含有字母，都是分式方程；
关于的方程①，④中，程分母中不含未知数，故不是分式方程．
综上所述，是分式方程的有②、③，共2个．
故选：．
例2．解分式方程，去分母得
A．B．C．D．
【解答】解：分式方程整理得：，
去分母得：，
故选：．
例3．解方程：
（1）；
（2）
（3）
（4）
（5）
【解答】解：
（1），
解得，
经检验是方程的根．
（2）
解得
经检验：是原方程的根
原方程的解是．
（3）
解得
检验：把代入到中，
得：
原分式方程无解．
（4），
解得，
经检验是方程的增根．
方程无解．
（5）原方程可变形为：，
左右两边分别通分得：，
整理得：，
去分母得：，
解得：．
检验：将代入．
得：是增根，
原方程无解．
过关检测
1．解分式方程时，去分母可得
A．B．C．D．
【解答】解：去分母得：，
故选：．
2．解方程：
（1）
（2）
（3）．
（4）．
（5）
【解答】解：
（1）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化为1，得：，
经检验，当时，，即是原分式方程的解，
所以原方程的解是．
（2）去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解．
（3）去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的增根，
原分式方程无解．
（4）方程两边同乘得，
，
解这个方程，得，
把代入原来的分母，有一个分母等于0，所以不是原分式方程的解，
即是原方程的增根，原方程无解．
（5）方程两边同乘，
得：，
整理解得．
经检验是增根，
故原方程无解．
二、分式方程含参
例4．（1）若关于的方程有增根，则的值是
A．B．C．3D．
【解答】解：由得，
关于的方程有增根，
，
当时，，
解得，
故选：．
（2）若分式方程有增根，则实数的取值是
A．0或2B．4C．8D．4或8
【解答】解：方程两边同乘，得，
由题意得，分式方程的增根为0或2，
当时，，
解得，，
当时，，
解得，，
故选：．
（3）若方程有增根，则它的增根是
A．0B．1C．D．1和
【解答】解：方程两边都乘，得
，
由最简公分母，可知增根可能是或．
当时，，
当时，得到，这是不可能的，
所以增根只能是．
故选：．
过关检测
1．关于的方程有增根，则方程的增根是
A．B．4C．D．2
【解答】解：由分式方程有增根，得到，
解得：．
故选：．
2．关于的方程有增根，则
A．或6B．或C．或6D．或或6
【解答】解：原方程去分母得：
因为分式方程的増根为，
所以或
得或．
故选：．
3．分式方程有增根，则的值为
A．0和3B．1C．1和D．3
【解答】解：分式方程有增根，
，，
，．
两边同时乘以，原方程可化为，
整理得，，
当时，代入得：，
当时，代入得：，
当时，方程为，
此时，
即方程无解，
时，分式方程有增根，
故选：．
例5．（1）若关于的方程无解，则的值是
A．B．2C．D．3
【解答】解：方程无解，
是方程的增根，
，
．
故选：．
（2）若关于的分式方程无解，则的值为
A．B．1C．或2D．或
【解答】解：方程两边都乘以得：，
即，
分两种情况考虑：
①当时，此方程无解，
此时，
②关于的分式方程无解，
或，
即，，
当时，代入①得：，
解得：此方程无解；
当时，代入①得：，
解得：，
的值是或，
故选：．
过关检测
1．若关于的分式方程无解，则的值是
A．或B．C．D．或
【解答】解：去分母得：，
由分式方程无解，得到或，
把代入整式方程得：；
把代入整式方程得：．
故选：．
2．若关于的分式方程无解，则 或6或1 ．
【解答】解：（1）为原方程的增根，
此时有，即，
解得．
（2）为原方程的增根，
此时有，即，
解得．
（3）方程两边都乘，
得，
化简得：．
当时，整式方程无解．
综上所述，当或或时，原方程无解．
例6．（1）已知关于的方程有解，则的取值范围是 ．
【解答】解：去分母得：，
，
，
，
关于的方程有解，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
（2）关于的分式方程有解，则字母的取值范围是
A．或B．C．D．且
【解答】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：
，
关于的分式方程有解，
，且，
即，
系数化为1得：，
且，
即，，
综上所述：关于的分式方程有解，则字母的取值范围是，，
故选：．
（3）若分式方程有正数解，则的取值范围是 且 ．
【解答】解：去分母得：，
解得：，
由分式方程有正数解，得到且，
解得：且，
则的取值范围是且；
故答案为：且．
过关检测
1．已知关于的方程有解，则的取值范围是 ．
【解答】解：去分母得：，
，
，
，
关于的方程有解，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
2．已知关于的分式方程有解，则应满足的条件是
A．且B．C．或D．或
【解答】解：方程两边同时乘以得：
，
解得：，
分式方程有解，
，
且，
故选：．
3．若关于的分式方程，有负数解，则实数的取值范围是 且 ．
【解答】解：，
分式方程去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
分式方程的解为负数，
且，
解得：且．
故答案为：且．
三、分式方程的应用
列分式方程解应用题步骤
（1）审（审题，明确已知量和未知量）
（2）设（设出未知数）
（3）列（找出等量关系，列出分式方程）
（4）解（解这个分式方程）
（5）验（检验根是否满足原分式方程且符合题意）
（6）答（写出答案并作答）
例7．（1），两地相距48千米，一艘轮船从地顺流航行至地，又立即从地逆流返回地，共用去9小时，已知水流速度为4千米时，若设该轮船在静水中的速度为千米时，则可列方程
A．B．
C．D．
【解答】解：顺流时间为：；逆流时间为：．
所列方程为：．
故选：．
（2）在临桂新区建设中，需要修一段全长的道路，为了尽量减少施工对县城交通工具所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了，结果提前8天完成任务，求原计划每天修路的长度．若设原计划每天修路，则根据题意可得方程 ．
【解答】解：原计划用的时间为：，实际用的时间为：．所列方程为：，
故答案为：．
过关检测
1．，两地相距，新修的高速公路开通后，在，两地间行驶的长途客车平均车速提高了，而从地到地的时间缩短了．若设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为
A．B．
C．D．
【解答】解：设原来的平均车速为，则根据题意可列方程为：
．
故选：．
2．某商场销售一种商品，第一个月将此商品的进价提高作为销售价，共获利1200元，第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高作为销售价，第二个月的销售量比第一个月增加80件，并且商场第二个月比第一个月多获利300元．设此商品的进价是元，则可列方程 ．
【解答】解：方程为：，
故答案为：．
例8．列方程解应用题
今年1月下旬以来，新冠肺炎疫情在全国范围内迅速蔓延，而比疫情蔓延速度更快的是口罩恐慌．企业复工复产急需口罩，某大型国有企业向生产口罩的、两厂订购口罩，向厂支付了1.32万元，向厂支付了2.4万元，且在厂订购的口罩数量是厂的2倍，厂的口罩每只比厂低0.2元．求、两厂生产的口罩单价分别是多少元？
【解答】解：设厂生产的口罩单价为元，则厂生产的口罩单价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：厂生产的口罩单价为2.2元，厂生产的口罩单价为2元．
例9．某快餐店欲购进、两种型号的餐盘，每个种型号的餐盘比每个种型号的餐盘费用多10元，且用120元购进的种型号的餐盘与用90元购进的餐盘的数量相同．
（1）、种两型号的餐盘单价为多少元？
（2）若该快餐店决定在成本不超过3000元的前提购进、两种型号的餐盘80个，求最多购进种型号餐盘多少个？
【解答】解：（1）设型号的餐盘单价为元，则型号的餐盘单价为元，
由题意可列方程，
解得．
经检验：是原分式方程的根．
则．
答：型号的餐盘单价为40元，型号的餐盘单价为30元；
（2）设购进种型号餐盘个，
由题可知，
解得．
答：最多购进种型号餐盘60个．
过关检测
1．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是件，则购进第二批这种衬衫是件，依题意有
，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件．
（2），
设每件衬衫的标价元，依题意有
，
解得．
答：每件衬衫的标价至少是150元．
2．某校利用暑假进行田径场的改造维修，项目承包单位派遣一号施工队进场施工，计划用40天时间完成整个工程：当一号施工队工作5天后，承包单位接到通知，有一大型活动要在该田径场举行，要求比原计划提前14天完成整个工程，于是承包单位派遣二号与一号施工队共同完成剩余工程，结果按通知要求如期完成整个工程．
（1）若二号施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若此项工程一号、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要多少天？
【解答】解：（1）设二号施工队单独施工需要天，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解．
答：若由二号施工队单独施工，完成整个工期需要60天．
（2）根据题意得：（天．
答：若由一、二号施工队同时进场施工，完成整个工程需要24天．
学习任务
1．在下列方程中，关于的分式方程的个数有
①；②；③；④；⑤；⑥．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：①是一元二次方程，
②，是数字不是未知数，是一元一次方程；
③是分式方程；
④是分式方程；
⑤是分式方程；
⑥是一元一次方程．
故选：．
2．将分式方程去分母后得到的整式方程，正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：去分母得：，
故选：．
3．分式方程有增根，则的值为
A．0和2B．1C．1和D．2
【解答】解：方程两边都乘，得，
方程有增根，
最简公分母，即增根是或，
把代入整式方程，得，
把代入整式方程，得，方程无解，
．
故选：．
4．当 时，方程无解．
【解答】解：原方程化为整式方程得，
因为无解即有增根，
，
，
当时，．
故答案为：
5．要使方程有正数解，则的取值范围是 且 ．
【解答】解：方程去分母得，解得．
因为方程有解，所以不能为增根，即，所以．
又因为方程的解为正数，所以，解得．故的取值范围是且．
6．甲、乙两地相距，如果乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用，已知高铁列车的平均速度是特快列车的1.6倍，设特快列车的平均速度为，根据题意可列方程为 ．
【解答】解：由题意可得，
，
故答案为：．
7. 解分式方程：
（1）．
（2）．
（3）
（4）
（5）．
【解答】解：
（1），
方程两边乘得：，
解得：，
检验：当时，．
所以原方程的解为．
（2）方程两边同时乘以，得
整理得，，
解得，，
检验：把代入，
因此是原方程的解．
（3）方程两边同乘，
得：，
解得．
经检验是方程的根．
（4）方程两边同乘，得
，
整理得，
解得．
经检验：是原方程的解．
（5）方程化为：，
方程两边都乘以得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，
即原方程无解．
8．某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
【解答】解：（1）设第一批购进书包的单价是元．第二批供应书包单价元
则：．
解得：．
经检验：是原方程的根．
答：第一批购进书包的单价是80元．
（2）（元．
答：商店共盈利3700元．
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