2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题基础作业 第9节平行四边形的性质与判定（含答案）

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课前检测
1.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．是轴对称图形
2.下列说法不正确的是
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的对边平行且相等
3.如图，在四边形中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且点恰好为边的中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若于点，，，求的长．
课中讲解
一.平行四边形的性质
1.定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（平行四边形属于中心对称图形）
2.性质
（1）两组对角分别 ，邻角
（2）对角线
（3）两组对边分别
3.衍生性质
（1）夹在两条平行线间的平行的 相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”）
（2）连接任意四边形各边的中点所得图形是 （推论）
（3）平行四边形的面积等于
（4）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（5）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和
（6）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份
例1.下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．是轴对称图形
例2.如图，在中，，，点的坐标为，则点的坐标为

A．B．，C．，D．
例3.如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为
A．B．C．D．
例4.下列说法：
①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．
②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．
③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．
④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
过关检测
1.如图，在中，下列说法一定正确的是
A．B．C．D．
2.如图，在中，，，的平分线交于点，则等于

A．2B．3C．4D．5
3.在中，是、的交点，过点与垂直的直线交边于点，若的周长为，则的周长为
A．B．C．D．
4.如图，在中，，过作于点，延长至点，使，连接．若，，则的面积为 ．
二.平行四边形的判定
1.判定方法：
（1）两组对边 的四边形是平行四边形（定义判定法）；
（2）一组对边 的四边形是平行四边形；
（3）两组对边 的四边形是平行四边形；
（4）两组对角 的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；
（5）对角线 的四边形是平行四边形。
例1.如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是
A．，B．，
C．，D．，
例2.下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是
A．两组对边分别平行的四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形
C．两组对角分别相等的四边形
D．对角线互相平分的四边形
例3.四边形中，从，，，的度数之比中，能判定四边形是平行四边形的是
A．B．C．D．
过关检测
1.已知四边形，对角线与交于点，从下列条件中：①；②；③；④，任取其中两个，以下组合能够判定四边形是平行四边形的是
A．①②B．②③C．②④D．①④
2.下列说法正确的是
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
3.四边形中，，，，的度数比为，则
A．B．C．D．
三.综合运用
例1.如图，在四边形中，点和点是对角线上的两点，，，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
过关检测
1.如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且点恰好为边的中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若于点，，，求的长．
例2.如图，四边形中，，，，，是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求四边形的面积．
过关检测
1.如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和等边，为边的中点，与交于点，与交于点，，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）若，求的周长．
学习任务
1.能判定四边形是平行四边形的是
A．，B．，
C．，D．，
2.下列说法不正确的是
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的对边平行且相等
3.如图，在平行四边形中，，，对角线、相交于点，则的取值范围是
A．B．C．D．
4.如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有

5.在平行四边形中，依次四个角之比可能是
A．B．C．D．
6.如图，在平行四边形中，是边的中点，延长，与延长线相交于点，连接、．求证：；
7.已知：如图，在四边形中，于，于，，．求证：四边形是平行四边形．
第9讲 平行四边形的性质与判定（解析版）
目标层级图
课前检测
1、下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．是轴对称图形
【解答】解：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，但对角线不相等，
选项、、正确．错误．
故选：．
2、下列说法不正确的是
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的对边平行且相等
【解答】解：、平行四边形的判定定理：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项正确；
、平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，故本选项正确；
、平行四边形的对角相等，邻角互补，故本选项错误；
、平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，故本选项正确；
故选：．
3、如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且点恰好为边的中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若于点，，，求的长．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
点恰好为边的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
．
课中讲解
平行四边形的性质
1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（平行四边形属于中心对称图形）
2、性质
（1）两组对角分别相等，邻角互补
（2）对角线互相平分
（3）两组对边分别互相平行
3、衍生性质
（1）夹在两条平行线间的平行的高相等。（简述为“平行线间的高距离处处相等”）
（2）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形（推论）
（3）平行四边形的面积等于底和高的积
（4）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。
（5）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和
（6）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等份
例1、下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A．对边相等 B．对角相等
C．对角线互相平分 D．是轴对称图形
【解答】解：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，但对角线不相等，
选项、、正确．错误．
故选：．
例2、如图，在中，，，点的坐标为，则点的坐标为
A．B．，C．，D．
【解答】解：点的坐标为，
，
，
，
解得：，
四边形是平行四边形，
，
点坐标为：，．
故选：．
例3、如图，在周长为的中，，、相交于点，交于，则的周长为
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，
，
是的线段垂直平分线，
，
的周长．
故选：．
例4、下列说法：
①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形．
②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍．
③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形．
④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解答：解：根据平行四边形的基本性质和判定，可知：
①平行四边形的任意一条对角线把平行四边形分成两个全等三角形，正确．
②平行四边形的面积等于三角形的面积的2倍，说明不清楚，比较对象不明了，所以错误．
③平行四边形的两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的小三角形，正确．
④平行四边形对角线的交点到一组对边的距离相等，正确．
故选：C．
过关检测
1、如图，在中，下列说法一定正确的是
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是平行四边形，
；
故选：．
2、如图，在中，，，的平分线交于点，则等于
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：四边形为平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故选：．
3、在中，是、的交点，过点与垂直的直线交边于点，若的周长为，则的周长为
A．B．C．D．
【解答】解：四边形是平行四边形
，，，
又，
，
的周长为，
的周长
故选：．
4、如图，在中，，过作于点，延长至点，使，连接．若，，则的面积为 ．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
在和中，，
，
，，
四边形是矩形，
，
在中，，，
，
，
的面积，
故答案为：．
平行四边形的判定
判定方法：
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形（定义判定法）；
（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形（两组对边平行判定）；
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。
例1、如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是
A．，B．，
C．，D．，
【解答】解：、，，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
、，，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
、，，
四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
、，无法得出四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
故选：．
例2、下列四组条件中，不能判定四边形是平行四边形的是
A．两组对边分别平行的四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形
C．两组对角分别相等的四边形
D．对角线互相平分的四边形
【解答】解：根据平行四边形的判定定理，选项、、均符合是平行四边形的条件，
选项则不能判定是平行四边形．
故选：．
例3、四边形中，从，，，的度数之比中，能判定四边形是平行四边形的是
A．B．C．D．
【解答】解：根据平行四边形的两组对角分别相等，可知正确．
故选：．
过关检测
1、已知四边形，对角线与交于点，从下列条件中：①；②；③；④，任取其中两个，以下组合能够判定四边形是平行四边形的是
A．①②B．②③C．②④D．①④
【解答】解：以①④作为条件，能够判定四边形是平行四边形．
理由：，
，
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
故选：．
2、四边形中，，，，的度数比为，则
A．B．C．D．
【解答】解：设，则，，，根据四边形的内角和为，得
，即，
，
．
故选：．
3、下列说法正确的是
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解答】解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，
选项不符合题意；
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，
选项不符合题意；
、一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，
选项不符合题意；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
选项符合题意；
故选：．
综合运用
例1、如图，在四边形中，点和点是对角线上的两点，，，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，求的长．
【解答】（1）证明：，
，
即，
，
，
在和中，，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
，
，
．
过关检测
1、如图，在中，的平分线与的延长线交于点，与交于点，且点恰好为边的中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若于点，，，求的长．
【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
点恰好为边的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，，
，
，
，
．
例2、如图，四边形中，，，，，是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求四边形的面积．
【解答】（1）证明：，
，
是边的中点，
，
在与中，，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）得：，
，
，，
，
，
，，
，
四边形的面积．
过关检测
1、如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和等边，为边的中点，与交于点，与交于点，，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）若，求的周长．
【解答】（1）证明：是等边三角形，
，，
，
，，
为的中点，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（3）解：为边的中点，
，
四边形是平行四边形；
，
，，
，
，
，
，
的周长．
学习任务
1、能判定四边形是平行四边形的是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：，，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
故选：．
2、下列说法不正确的是
A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等
D．平行四边形的对边平行且相等
【解答】解：、平行四边形的判定定理：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项正确；
、平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，故本选项正确；
、平行四边形的对角相等，邻角互补，故本选项错误；
、平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，故本选项正确；
故选：．
3、如图，在平行四边形中，，，对角线、相交于点，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解答】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故选：．
4、如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点，连接，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：①由折叠得：，
四边形是平行四边形，
，
；
故①正确
②由折叠得：，
，
，
，
，
故②正确；
③由折叠得：，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
，
，
；
故③正确；
④，，
，
，
由②知：，
，
，
，
故④正确；
所以本题正确的结论有：①②③④，共4个；
故选：．
5、在平行四边形中，依次四个角之比可能是
A．B．C．D．
【解答】解：在平行四边形中，两组对角相等，即，，
所以在、、、四个选项中，只有选项符合要求．
故选：．
6、如图，在平行四边形中，是边的中点，延长，与延长线相交于点，连接、．求证：；
【解答】解：（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
点为的中点，
，
在和中，
，
；
7、已知：如图，在四边形中，于，于，，．求证：四边形是平行四边形．
【解答】证明：，
，
，
在和中
，
，
，
四边形是平行四边形．