2024郑州宇华实验学校高二下学期5月月考试题数学含解析

这是一份2024郑州宇华实验学校高二下学期5月月考试题数学含解析，共15页。试卷主要包含了已知函数的定义域为，且满足等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A.B.C.D.
2.已知，，，则的大小关系为（ ）
A.B.C.D.
3.已知的外接圆的半径为1，，则的最大值为（ ）
A.B.C.D.1
4.在中，，，BC边上的中线，则的面积S为（ ）
A. B. C. D.
5.已知是双曲线的左、右焦点，经过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A.B.C.D.
6.杭州亚运会于月日至月日举办，组委会将甲、乙、丙、丁名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作，每座体育馆至少派名志愿者，表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”；表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”；表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”，则（ ）
A.事件与相互独立B.事件与为互斥事件
C.D.
7.已知函数所有极小值点从小到大排列成数列，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数的定义域为，且满足（是的导函数），则不等式的解集为（ ）
A.B.C.D.
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.已知复数 (为虚数单位)，复数的共轭复数为，则下列结论正确的是（ ）
A.在复平面内复数所对应的点位于第一象限
B.
C.
D.
10.在平面直角坐标系中，曲线C上任意点P与两个定点和点连线的斜率之积等于2，则关于曲线C的结论正确的有（ ）
A.曲线C为双曲线B.曲线C是中心对称图形
C.曲线C上所有的点都在圆外D.曲线C是轴对称图形
11.已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.函数存在两个不同的零点
B.函数既存在极大值又存在极小值
C.当时，方程有且只有两个实根
D.若时，，则的最小值为
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.已知函数，，若关于的方程有6个解，则的取值范围为 .
13.如图，已知矩形ABCD的边，.点P，Q分别在边BC，CD上，且，则的最小值为 .
14.某景区内有如图所示的一个花坛，此花坛有9个区域需栽种植物，要求同一区域中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，且圆环的3个区域种植绿色植物，中间的6个扇形区域种植鲜花.现有3种不同的绿色植物和3种不同的鲜花可供选择，则不同的栽种方案共有 种.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)已知函数(且)
（1）若，求实数的取值范围；
（2）当时，求方程的解.
16.(15分)如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，，.
(1)求证：；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.
17.(15分)已知椭圆（）的离心率为，且点在椭圆上，设与平行的直线与椭圆相交于，两点，直线，分别与轴正半轴交于，两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)判断的值是否为定值，并证明你的结论.
18.(17分)京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的.
(1)甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列.
(2)乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒?
19.(17分)已知数列的前项和为，满足与的等差中项为（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，是不等式（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）设，，若集合恰有个元素，求实数的取值范围.
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.【答案】A
【解析】令，则，其中，
因为在上单调递减，所以在上单调递增，
则满足，即，解得，
所以，的一个充分不必要条件是.
故选：A.
2.【答案】C
【解析】由题可得，，
同理，
则，
故选：C.
3.【答案】C
【解析】由，所以，令，
正弦定理得， 即，且
，
当且仅当，即时，取等号，
故选：C
4.【答案】C
【解析】如图所示，
延长AD到点E使，连接CE，
又∵，，∴（SAS），
∴，，的面积等于的面积.
在中，由余弦定理得，
又，则，
∴.故选：C.
5.【答案】B
【解析】由题意可知：，可得，
取的中点，连接，可知，
因为，可得，
则，
可得，
在中，由余弦定理可得，
即，整理得，
所以双曲线C的离心率为.
故选：B.
6.【答案】D
【解析】将名志愿者分配到三座体育馆，每座体育馆至少派名志愿者，共有种安排方案；
志愿者甲派往黄龙体育中心、志愿者乙派往黄龙体育中心、志愿者乙派往杭州奥体中心，各有种方案，；
志愿者甲、乙均派往黄龙体育中心，有种方案，；
志愿者甲派往黄龙体育中心且乙派往杭州奥体中心，有种方案，；
对于A，，事件与不相互独立，A错误；
对于B，，事件与不是互斥事件，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D.
7.【答案】D
【解析】因为，则，
由，即，可得，
由，即，可得，
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，函数的极小值点为，
将函数所有极小值点从小到大排列成数列，
则，，易知数列为等差数列，
且数列的公差为，则，
因此，.
故选：D .
8.【答案】C
【解析】令，则，即在上递增，
又，则等价于，即，
所以，解得，原不等式解集为.
故选：C
二、多项选择题：本题共３小题，每小题６分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对1个得3分；若只有3个正确选项，每选对1个得2分.
9.【答案】AC
【解析】因为，所以，故复数，而共轭复数
对于选项A，复数，对应点坐标为，所以在复平面内复数所对应的点位于第一象限，故A正确；
对于选项B，，故B错误；
对于选项C，，故C正确；
对于选项D，，故D错误.
故选：AC
10.【答案】BCD
【解析】设点，根据题意可得，即，且，
化简得，曲线是双曲线除去顶点，，如图所示，
故A错误；
对于B，曲线关于原点中心对称，故B正确；
对于C，曲线上所有点均在圆外，故C正确；
对于D，曲线关于轴对称，故D正确.
故选：BCD.
11.【答案】ABC
【解析】对于A.，解得，所以A正确；
对于B.，
当时，，当时，或，
所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确.
对于C.当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确.
故选：ABC.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.
12.【答案】
【解析】令，由函数的图象可知，方程(为常数)最多有3个解，
在上单调递增，
当时，，则在上单调递增，在上单调递减，
所以处取得极大值，即极大值为，如下图：
故结合图象可得，且方程的三个解中最小的解为.
又，在上单调递减，在上单调递增，
所以最小值为，即当时，有2个零点，
所以使关于的方程有6个解，则，
，即，令，
易知在上单调递增，又，所以的解集为，综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
13.【答案】
【解析】
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则，，.
设，则，，.
因为
.
当且仅当，即时，“＝”成立，所以的最小值为. 故答案为：
14.【答案】396
【解析】将六个扇形区域标号为1到6（如图所示），分两类完成这件事情：
第一类：若1和3种植的鲜花相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有6种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种.
第二类：若1和3种植的鲜花不相同，此时先种植区域和，有种；再种植区域和，共有种；最后种植圆环区域，共有种，按照分步乘法计数原理知，此种情况共种.
按照分类加法计数原理得，共有种.
故答案为：396.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)【答案】（1） （2）或
【解析】（1）函数
当时,函数单调递减,若.
则,解得
当时,函数单调递增,若
则,解得
综上可知,或,即
（2）当时,
因为
代入可得
化简可得
即
化简可得
即
解得或
即或
16.(15分)【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】（1）证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，所以，.
（2）解：取的中点，连接，
，为的中点，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设，其中，
则、、、、，
，，，
设平面的法向量为，则，取，则，
由题意可得，
，解得，则.
17.(15分)【答案】(1);
(2)，证明见解析.
【解析】（1）解：由题意，
解得，，.
故椭圆的标准方程为.
（2）解：假设直线TP或TQ的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为(2，－1)，直线l的方程为，即.
联立方程，得，
此时，直线l与椭圆C相切，不合题意，故直线TP和TQ的斜率存在.
设，，则直线，
直线，故，，
由直线，设直线（），
联立方程，，
当时，，，
.
故.
18.(17分)【答案】(1)答案见解析；
(2)2个.
【解析】（1）由题意可知，的取值可能是
则，
，
，
的分布列为
（2）设乙购买个盲盒，集齐一套京剧脸谱娃娃所需总费用为（单位：元），
则的取值可能是1，2，3.
方案一：购买1个盲盒，直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，
则总费用元.
方案二：购买2个盲盒，当盲盒中的京剧脸谱娃娃的款式相同时，
直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为；
当盲盒中的京剧脸谱娃娃的款式不相同时，直接购买第三款京剧脸谱娃娃，
总费用元，概率为.
所以购买2个盲盒的总费用的期望值为元.
方案三：购买3个盲盒，当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃款式均相同时，
直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为；
当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃恰有两个款式相同时，直接购买第三款京剧脸谱娃娃，
总费用元，概率为；
当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃款式均不相同时，总费用元，
概率为.
所以购买3个盲盒的总费用的期望值为元.
因为方案二购买费用的期望值最小，所以乙应购买2个盲盒.
19.(17分)【答案】（1）（2）11（3）
【解析】（1）由与的等差中项为得，①
当时，②
①②得，，有因为在①中令，得
是以，公比为的等比数列
数列的通项公式为
（2）原问题等价于（）恒成立.
当为奇数时，对任意正整数不等式恒成立；
当为偶数时，等价于恒成立，令，，
则等价于对恒成立，，
而的对称轴在轴左边，
所以在上递增，
故即，故正整数的最大值为；
（3）由，及，
得，，
即，所以数列是递减数列，
，，，，
由集合恰有个元素，得.2
3
4